Теорема Бляшке – Лебега - Википедия - Blaschke–Lebesgue theorem

А Треугольник Рело, а кривая постоянной ширины площадь которого минимальна среди всех выпуклых множеств одинаковой ширины

В плоская геометрия то Теорема Бляшке – Лебега заявляет, что Треугольник Рело имеет наименьшую площадь из всех кривые заданной постоянной ширины.^[1] В том виде, в котором каждая кривая заданной ширины имеет площадь, по крайней мере равную площади треугольника Рело, она также известна как Неравенство Бляшке – Лебега.^[2] Он назван в честь Вильгельм Блашке и Анри Лебег, опубликовавший его отдельно в начале 20 века.

Заявление

Ширина выпуклого множества ${ displaystyle K}$ в евклидовой плоскости определяется как минимальное расстояние между любыми двумя параллельными линиями, которые его окружают. Обе линии с минимальным расстоянием обязательно касательные линии к ${ displaystyle K}$, с противоположных сторон. А кривая постоянной ширины является границей выпуклого множества со свойством, что для любого направления параллельных прямых две касательные с этим направлением, которые касаются противоположных сторон кривой, находятся на расстоянии, равном ширине. Эти кривые включают как круг, так и Треугольник Рело, изогнутый треугольник, образованный дугами трех окружностей равного радиуса, каждая с центром в точке пересечения двух других окружностей. Площадь, ограниченная треугольником Рело шириной ${ displaystyle w}$ является

${ displaystyle { frac {1} {2}} ( pi - { sqrt {3}}) w ^ {2} приблизительно 0,70477w ^ {2}.}$

Теорема Бляшке – Лебега утверждает, что это единственная минимально возможная площадь кривой постоянной ширины, а неравенство Бляшке – Лебега утверждает, что каждое выпуклое множество ширины ${ displaystyle w}$ имеет площадь, по крайней мере, такую ​​большую, с равенством только тогда, когда множество ограничено треугольником Рело.^[1]

История

Теорема Бляшке – Лебега была независимо опубликована в 1914 г. Анри Лебег^[3] а в 1915 г. Вильгельм Блашке.^[4] Со времени их работы было опубликовано еще несколько доказательств.^{[5][6][7][8][9][10]}

В других самолетах

Та же теорема верна и в гиперболическая плоскость.^[11] Для любой выпуклой функции расстояния на плоскости (расстояние, определяемое как норма векторной разности точек для любой нормы) справедлива аналогичная теорема, согласно которой кривая с минимальной площадью постоянной ширины является пересечением трех метрических дисков, каждый из которых центрируется в граничной точке двух других.^[12][13]

Заявление

Теорема Бляшке – Лебега использовалась, чтобы предоставить эффективную стратегию для обобщений игры Линкор, в котором у одного игрока есть корабль, образованный пересечением целочисленной сетки с выпуклым множеством, а другой игрок, найдя одну точку на этом корабле, стремится определить его местоположение, используя как можно меньше пропущенных выстрелов. Для корабля с ${ displaystyle n}$ точек сетки, можно ограничить количество пропущенных выстрелов ${ Displaystyle О ( журнал журнал п)}$.^[14]

Связанные проблемы

Посредством изопериметрическое неравенство, кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости с наибольшей площадью представляет собой круг.^[1] В периметр кривой постоянной ширины ${ displaystyle w}$ является ${ displaystyle pi w}$вне зависимости от формы; это Теорема Барбье.^[15]

Неизвестно, какие поверхности постоянной ширины в трехмерном пространстве имеют минимальный объем. Боннесен и Фенчель в 1934 году предположили, что минимизаторы - это два тела Мейснера, полученные путем округления некоторых ребер Тетраэдр Рёло,^[16] но это остается недоказанным.^[17]

Рекомендации