Тетраэдр Рёло - Reuleaux tetrahedron

Анимация тетраэдра Рело, показывающая также тетраэдр, из которого он образован.

Четыре шара пересекаются, образуя тетраэдр Рело.

В Тетраэдр Рёло пересечение четырех мячи из радиус s сосредоточен на вершины регулярного тетраэдр с длиной стороны s.^[1] Сферическая поверхность шара с центром в каждой вершине проходит через другие три вершины, которые также образуют вершины тетраэдра Рело. Таким образом, центр каждого шара находится на поверхностях трех других шаров. Тетраэдр Рело имеет ту же структуру граней, что и правильный тетраэдр, но с изогнутыми гранями: четыре вершины и четыре изогнутые грани, соединенные шестью ребрами дуги окружности.

Эта форма определена и названа по аналогии с Треугольник Рело, двумерный кривая постоянной ширины; обе формы названы в честь Франц Рёло, немецкий инженер 19-го века, который провел новаторскую работу по тому, как машины преобразуют один тип движения в другой. В математической литературе можно найти неоднократные утверждения о том, что тетраэдр Рело аналогично поверхность постоянной ширины, но это неправда: две середины противоположных краевых дуг разделены большим расстоянием,

${displaystyle left ({sqrt {3}} - {frac {sqrt {2}} {2}} ight) cdot sapprox 1.0249s.}$

Объем и площадь поверхности

В объем тетраэдра Рело есть^[1]

${displaystyle {frac {s ^ {3}} {12}} (3 {sqrt {2}} - 49pi +162 an ^ {- 1} {sqrt {2}};!) = {frac {s ^ {3 }} {12}} влево (32pi -81cos ^ {- 1} влево ({frac {1} {3}} ight) +3 {sqrt {2}} ight) примерно 0,422 с ^ {3}.}$

В площадь поверхности является^[1]

${displaystyle left [8pi -18cos ^ {- 1} left ({frac {1} {3}} ight) ight] s ^ {2} примерно 2,975 с ^ {2}.}$

Тела Мейснера

Мейснер и Шиллинг^[2] показали, как преобразовать тетраэдр Рело в поверхность постоянной ширины, путем замены трех его краевых дуг изогнутыми пятнами, образованными как поверхности вращения дуги окружности. В соответствии с которыми заменяются три реберные дуги (три с общей вершиной или три, образующие треугольник), в результате образуются две неконгруэнтные формы, которые иногда называют Тела Мейснера или же Тетраэдры Мейснера.^[3]

Нерешенная проблема в математике: Являются ли два тетраэдра Мейснера трехмерными формами минимального объема постоянной ширины? (больше нерешенных задач по математике)

Боннесен и Фенчель^[4] предположили, что тетраэдры Мейснера представляют собой трехмерные формы минимального объема постоянной ширины, гипотеза, которая все еще остается открытой.^[5] В связи с этой проблемой Кампи, Колесанти и Гронки^[6] показал, что поверхность вращения с минимальным объемом и постоянной шириной - это поверхность вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии.

Один из Ман Рэй картины, Гамлет, был основан на сделанной им фотографии тетраэдра Мейснера,^[7] который он считал похожим на череп Йорика и грудь Офелии из Шекспир с Гамлет.^[8]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Лашанд-Роберт, Томас; Ауде, Эдуард. «Сфероформы».
• Вебер, Кристоф. «Тела постоянной ширины». Есть еще фильмы и даже интерактивные картинки обоих тел Мейснера.