Аффинная плоскость (геометрия падения) - Affine plane (incidence geometry)

В геометрия, аффинная плоскость представляет собой систему точек и линий, удовлетворяющую следующим аксиомам:^[1]

Любые две различные точки лежат на единственной прямой.
Каждая линия имеет не менее двух точек.
Для любой линии и любой точки не на этой линии существует уникальная линия, которая содержит точку и не соответствует данной линии. (Аксиома Playfair )
Существуют три неколлинеарные точки (точки не на одной прямой).

На аффинной плоскости две прямые называются параллельно если они равны или непересекающийся. Используя это определение, аксиому Playfair, приведенную выше, можно заменить следующим:^[2]

Для данной точки и линии существует уникальная линия, которая содержит точку и параллельна прямой.

Параллелизм - это отношение эквивалентности на прямых аффинной плоскости.

Поскольку в аксиомах не задействованы никакие другие концепции, кроме тех, которые связаны с отношениями между точками и линиями, аффинная плоскость является объектом исследования, принадлежащим геометрия падения. Они невырожденные линейные пространства удовлетворяющий аксиоме Playfair.

Знакомый Евклидова плоскость аффинная плоскость. Есть много конечных и бесконечных аффинных плоскостей. А также аффинные плоскости над полями (и делительные кольца ), также много недезарговские планы, не производные от координат в физическом кольце, удовлетворяющие этим аксиомам. В Самолет Моултона является примером одного из них.^[3]

Конечные аффинные плоскости

Аффинная плоскость порядка 3
9 очков, 12 строк

Если количество точек в аффинной плоскости конечно, то если одна прямая плоскости содержит $п$ указывает тогда:

каждая строка содержит $п$ точки,
каждая точка содержится в $п + 1$ линии
есть $п 2$ очков в целом, и
есть в общей сложности $п 2 + п$ линий.

Число $п$ называется порядок аффинной плоскости.

Все известные конечные аффинные плоскости имеют порядки, являющиеся простыми целыми числами или целыми числами в простой степени. Наименьшая аффинная плоскость (порядка 2) получается удалением прямой и трех точек на этой прямой из Самолет Фано. Подобная конструкция, начиная с проективной плоскости третьего порядка, дает аффинную плоскость третьего порядка, иногда называемую Конфигурация Гессен. Аффинная плоскость порядка $п$ существует тогда и только тогда, когда проективная плоскость порядка $п$ существует (однако определение порядка в этих двух случаях не то же самое). Таким образом, не существует аффинной плоскости порядка 6 или порядка 10, так как нет проективных плоскостей этих порядков. В Теорема Брука – Райзера – Чоула. дает дополнительные ограничения на порядок проективной плоскости и, следовательно, на порядок аффинной плоскости.

В $п 2 + п$ линии аффинной плоскости порядка $п$ впадать в $п + 1$ классы эквивалентности $п$ строки за штуку согласно отношению эквивалентности параллелизма. Эти классы называются параллельные классы линий. Прямые в любом параллельном классе образуют разбиение точек аффинной плоскости. Каждый из $п + 1$ линии, проходящие через одну точку, принадлежат другому параллельному классу.

Структура параллельных классов аффинной плоскости порядка $п$ может использоваться для построения набора $п - 1$ взаимно ортогональные латинские квадраты. Для этого построения нужны только отношения инцидентности.

Связь с проективными плоскостями

Аффинная плоскость может быть получена из любого проективная плоскость удалив линию и все точки на ней, и наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости, добавив линия на бесконечности, каждая из которых состоит в том, что точка в бесконечности где встречается класс эквивалентности параллельных прямых.

Если проективная плоскость недезарговский, удаление разных линий может привести к неизоморфным аффинным плоскостям. Например, есть ровно четыре проективных плоскости девятого порядка и семь аффинных плоскостей девятого порядка.^[4] Есть только одна аффинная плоскость, соответствующая Дезарговский самолет порядка девятого, так как группа коллинеации этой проективной плоскости действует переходно по линиям самолета. Каждая из трех недезарговских плоскостей девятого порядка имеет группы коллинеаций, имеющих две орбиты на прямых, что дает две неизоморфные аффинные плоскости девятого порядка, в зависимости от того, с какой орбиты выбрана удаляемая линия.

Аффинные плоскости перевода

Линия $л$ в проективной плоскости $Π$ это строка перевода если группа эмоций с осью $л$ действует переходно в точках аффинной плоскости, полученных удалением $л$ с самолета $Π$ . Проективная плоскость с линией переноса называется самолет перевода а аффинная плоскость, полученная удалением линии трансляции, называется плоскость аффинного перевода. Хотя в целом часто проще работать с проективными плоскостями, в этом контексте предпочтительны аффинные плоскости, и некоторые авторы просто используют термин «плоскость трансляции» для обозначения аффинной плоскости трансляции.^[5]

Альтернативный вид аффинных плоскостей трансляций может быть получен следующим образом: Пусть $V$ быть $2 п$ -размерный векторное пространство через поле $F$ . А распространение из $V$ это набор $S$ из $п$ -мерные подпространства $V$ которые разбивают ненулевые векторы $V$ . Члены $S$ называются компоненты спреда и если $V я$ и $V j$ отдельные компоненты, то $V я \oplus V j = V$ . Позволять $А$ быть структура заболеваемости чьи точки являются векторами $V$ и чьи линии являются смежными классами компонентов, т. е. множествами вида $v + U$ где $v$ вектор $V$ и $U$ является составной частью спреда $S$ . Потом:^[6]

А

является аффинной плоскостью, а группа переводы

Икс \to Икс + ш

для вектора

ш

- группа автоморфизмов, регулярно действующая в точках этой плоскости.

Обобщение: $k$ -сетки

Структура инцидентности, более общая, чем конечная аффинная плоскость, называется $k$ -чистый порядок $п$ . Это состоит из $п 2$ очки и $нк$ такие строки, что:

Параллелизм (как определено в аффинных плоскостях) - это отношение эквивалентности на множестве прямых.
В каждой строке ровно $п$ очков, и каждый параллельный класс имеет $п$ линии (таким образом, каждый параллельный класс прямых разбивает набор точек).
Есть $k$ параллельные классы линий. Каждая точка лежит ровно на $k$ линии, по одной от каждого параллельного класса.

An $(п + 1)$ -сеть порядка $п$ в точности аффинная плоскость порядка $п$ .

А $k$ -чистый порядок $п$ эквивалентен набору $k - 2$ взаимно ортогональные латинские квадраты порядка $п$ .

Пример: сети перевода

Для произвольного поля $F$ , позволять $Σ$ быть набором $п$ -мерные подпространства векторного пространства $F 2 п$ , любые два из которых пересекаются только в {0} (называемом частичный спред). Члены $Σ$ , и их смежные классы в $F 2 п$ , образуют линии сеть переводов по пунктам $F 2 п$ . Если $| Σ | = k$ это $k$ -сеть порядка $| F п |$ . Начиная с аффинного самолет перевода, любое подмножество параллельных классов образует трансляционную сеть.

При наличии трансляционной сети не всегда возможно добавить к ней параллельные классы, чтобы сформировать аффинную плоскость. Однако если $F$ бесконечное поле, любой частичный разброс $Σ$ с менее чем $| F |$ члены могут быть расширены, а сеть трансляции может быть дополнена до аффинной плоскости трансляции.^[7]

Геометрические коды

Учитывая «линию / точку» матрица инцидентности любого конечного структура заболеваемости, $M$ , и любые поле, $F$ пространство строки $M$ над $F$ это линейный код что мы можем обозначить через $C = C F (M)$ . Другой связанный код, содержащий информацию о структуре инцидентов, - это код Корпус из $C$ который определяется как:^[8]

{ displaystyle operatorname {Hull} (C) = C cap C ^ { perp},}

где $C ⊥$ ортогональный код для $C$ .

Об этих кодах на этом уровне общности можно сказать немногое, но если структура инцидентности имеет некоторую «регулярность», коды, полученные таким образом, можно анализировать, и информацию о кодах и структурах инцидентности можно извлекать друг из друга. Когда структура инцидентности представляет собой конечную аффинную плоскость, коды принадлежат классу кодов, известному как геометрические коды. Объем информации об аффинной плоскости в коде частично зависит от выбора поля. Если характеристика поля не разделяет порядок плоскости, сгенерированный код представляет собой полное пространство и не несет никакой информации. С другой стороны,^[9]

Если $π$ аффинная плоскость порядка $п$ и $F$ поле характеристики $п$ , где $п$ разделяет $п$ , то минимальный вес кода $B = Корпус (C F (π)) ⊥$ является $п$ и все векторы минимального веса являются постоянными кратными векторам, элементы которых равны нулю или единице.

Более того,^[10]

Если $π$ аффинная плоскость порядка $п$ и $F$ поле характеристики $п$ , тогда $C = Корпус (C F (π)) ⊥$ а векторы минимального веса в точности являются скалярными кратными строкам (векторам инцидентности) $π$ .

Когда $π = AG (2, q)$ сгенерированный геометрический код является $q$ -ари Код Рида-Мюллера.

Аффинные пространства

Аффинные пространства можно определить аналогично построению аффинных плоскостей из проективных плоскостей. Также возможно предоставить систему аксиом для многомерных аффинных пространств, которая не относится к соответствующему проективное пространство.^[11]

Заметки

^ Хьюз и Пайпер 1973, п. 82
^ Хартсхорн 2000, п. 71
^ Моултон, Лесной Луч (1902), "Простая недезарговская плоская геометрия", Труды Американского математического общества, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, 3 (2): 192–195, Дои:10.2307/1986419, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419
^ Мурхаус 2007, п. 11
^ Хьюз и Пайпер 1973, п. 100
^ Мурхаус 2007, п. 13
^ Мурхаус 2007, стр. 21–22
^ Ассмус младший и Ки 1992, п. 43 год
^ Ассмус младший и Ки 1992, п. 208
^ Ассмус младший и Ки 1992, п. 211
^ Ленц 1961, п. 138, но см. Также Кэмерон 1991, Глава 3

использованная литература

Assmus Jr., E.F .; Ки, J.D. (1992), Конструкции и их коды, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41361-9
Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективное и полярное пространства, QMW Maths Notes, 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, Г-Н 1153019
Хартшорн, Р. (2000), Геометрия: Евклид и не только, Спрингер, ISBN 0387986502
Hughes, D .; Пайпер, Ф. (1973), Проективные плоскости, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Ленц, Х. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik, Берлин: Deutscher Verlag d. Wiss.
Мурхаус, Эрик (2007), Геометрия падения (PDF)

дальнейшее чтение

Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: введение, Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, ISBN 0-19-929886-6
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Берлин: Springer Verlag
Kárteszi, F. (1976), Введение в конечную геометрию, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
Линднер, Чарльз С .; Роджер, Кристофер А. (1997), Теория дизайна, CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода, Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные плоскости, Сан-Франциско: W.H. Фримен и компания, ISBN 0-7167-0443-9

[1] Хьюз и Пайпер 1973, п. 82

[2] Хартсхорн 2000, п. 71

[3] Моултон, Лесной Луч (1902), "Простая недезарговская плоская геометрия", Труды Американского математического общества, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, 3 (2): 192–195, Дои:10.2307/1986419, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419

[4] Мурхаус 2007, п. 11

[5] Хьюз и Пайпер 1973, п. 100

[6] Мурхаус 2007, п. 13

[7] Мурхаус 2007, стр. 21–22

[8] Ассмус младший и Ки 1992, п. 43 год

[9] Ассмус младший и Ки 1992, п. 208

[10] Ассмус младший и Ки 1992, п. 211

[11] Ленц 1961, п. 138, но см. Также Кэмерон 1991, Глава 3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]