Метод факторизации Фермаца - Википедия - Fermats factorization method

Ферма с факторизация метод, названный в честь Пьер де Ферма, основан на представлении странный целое число как разница двух квадратов:

{ displaystyle N = a ^ {2} -b ^ {2}.}

Эта разница алгебраически факторизованный как ${ Displaystyle (а + б) (а-б)}$ ; если ни один из множителей не равен единице, это правильная факторизация N.

Каждое нечетное число имеет такое представление. Действительно, если ${ displaystyle N = cd}$ это факторизация N, тогда

{ displaystyle N = left ({ frac {c + d} {2}} right) ^ {2} - left ({ frac {c-d} {2}} right) ^ {2}}

С N странно, то c и d также нечетные, поэтому эти половинки целые. (Число, кратное четырем, также является разностью квадратов: пусть c и d быть даже.)

В простейшей форме метод Ферма может быть даже медленнее, чем пробное деление (худший случай). Тем не менее комбинация пробного деления и ферма более эффективна, чем любая другая.

Основной метод

Пробуют разные значения а, надеясь, что ${ displaystyle a ^ {2} -N = b ^ {2}}$ , площадь.

ФермаФактор (N): // N должно быть нечетным    a ← потолок (sqrt (N)) b2 ← a * a - N повторять, пока Би 2 является площадь:        a ← a + 1 b2 ← a * a - N      // эквивалентно: // b2 ← b2 + 2 * a + 1     // a ← a + 1 возвращаться а - sqrt (b2) // или a + sqrt (b2)

Например, чтобы фактор ${ displaystyle N = 5959}$ , первая попытка для а квадратный корень из $5959$ округляется до следующего целого числа, т.е. $78$ . Потом, ${ displaystyle b ^ {2} = 78 ^ {2} -5959 = 125}$ . Поскольку 125 не является квадратом, делается вторая попытка, увеличивая значение а на 1. Вторая попытка также не удалась, потому что 282 снова не квадрат.

Пытаться:	1	2	3
а	78	79	80
б²	125	282	441
б	11.18	16.79	21

Третья попытка дает идеальный квадрат 441. Итак, ${ displaystyle a = 80}$ , ${ displaystyle b = 21}$ , а факторы $5959$ находятся ${ displaystyle a-b = 59}$ и ${ displaystyle a + b = 101}$ .

Предположим, что N имеет более двух простых множителей. Эта процедура сначала находит факторизацию с наименьшими значениями а и б. То есть, ${ displaystyle a + b}$ наименьший множитель ≥ квадратный корень из N, и так ${ displaystyle a-b = N / (a + b)}$ - наибольший множитель ≤ корень-N. Если процедура находит ${ Displaystyle N = 1 cdot N}$ , что показывает, что N простое.

За ${ displaystyle N = cd}$ , позволять c быть самым большим фактором subroot. ${ Displaystyle а = (с + d) / 2}$ , поэтому количество шагов примерно ${ displaystyle (c + d) / 2 - { sqrt {N}} = ({ sqrt {d}} - { sqrt {c}}) ^ {2} / 2 = ({ sqrt {N} } -c) ^ {2} / 2c}$ .

Если N простое (так что ${ displaystyle d = 1}$ ), нужно ${ Displaystyle О (Н)}$ шаги. Это плохой способ доказать примитивность. Но если N имеет множитель, близкий к квадратному корню, метод работает быстро. Точнее, если c отличается меньше чем ${ displaystyle { left (4N right)} ^ {1/4}}$ из ${ displaystyle { sqrt {N}}}$ , метод требует всего одного шага; это не зависит от размера N.^{[нужна цитата ]}

Ферма и пробное отделение

Попробуйте разложить на множители простое число N = 2345678917, но также вычислить б и а − б на протяжении. Поднимаясь из ${ displaystyle { sqrt {N}}}$ , мы можем свести в таблицу:

а	48,433	48,434	48,435	48,436
б²	76,572	173,439	270,308	367,179
б	276.7	416.5	519.9	605.9
а − б	48,156.3	48,017.5	47,915.1	47,830.1

На практике с этой последней строкой никто не возился, пока б целое число. Но учтите, что если N имел фактор subroot выше ${ displaystyle a-b = 47830,1}$ , Метод Ферма уже нашел бы это.

Пробное подразделение обычно пытается до 48 432 человек; но после всего четырех шагов Ферма нам нужно разделить только до 47830, чтобы найти множитель или доказать простоту.

Все это предполагает комбинированный метод факторинга. Выберите границу ${ displaystyle c> { sqrt {N}}}$ ; использовать метод Ферма для факторов между ${ displaystyle { sqrt {N}}}$ и ${ displaystyle c}$ . Это дает предел для пробного деления, который ${ displaystyle c - { sqrt {c ^ {2} -N}}}$ . В приведенном выше примере с ${ displaystyle c = 48436}$ граница пробного деления - 47830. Разумным выбором может быть ${ displaystyle c = 55000}$ давая оценку 28937.

В этом отношении метод Ферма дает убывающую отдачу. Конечно, можно было бы остановиться до этого момента:

а	60,001	60,002
б²	1,254,441,084	1,254,561,087
б	35,418.1	35,419.8
а − б	24,582.9	24,582.2

Улучшение сита

При рассмотрении таблицы для ${ displaystyle N = 2345678917}$ , можно быстро сказать, что ни одно из значений ${ displaystyle b ^ {2}}$ квадраты:

а	48,433	48,434	48,435	48,436
б²	76,572	173,439	270,308	367,179
б	276.7	416.5	519.9	605.9

Нет необходимости вычислять все квадратные корни из ${ displaystyle a ^ {2} -N}$ , и даже не исследовать все значения для $а$ . Квадраты всегда равны 0, 1, 4, 5, 9, 16 по модулю 20. Значения повторяются с каждым увеличением $а$ на 10. В этом примере N равно 17 по модулю 20, поэтому вычитая 17 по модулю 20 (или прибавляя 3), ${ displaystyle a ^ {2} -N}$ производит 3, 4, 7, 8, 12 и 19 по модулю 20 для этих значений. Очевидно, что только 4 из этого списка могут быть квадратом. Таким образом, ${ displaystyle a ^ {2}}$ должно быть 1 mod 20, что означает, что $а$ равно 1, 9, 11 или 19 по модулю 20; это произведет ${ displaystyle b ^ {2}}$ который заканчивается на 4 mod 20 и, если квадрат, $б$ закончится 2 или 8 мод 10.

Это можно сделать с любым модулем. Используя тот же ${ displaystyle N = 2345678917}$ ,

по модулю 16:	Квадраты	0, 1, 4 или 9
	N mod 16 есть	5
	так ${ displaystyle a ^ {2}}$ может быть только	9
	и $а$ должно быть	3 или 5 или 11 или 13 по модулю 16
по модулю 9:	Квадраты	0, 1, 4 или 7
	N mod 9 есть	7
	так ${ displaystyle a ^ {2}}$ может быть только	7
	и $а$ должно быть	4 или 5 по модулю 9

Обычно для каждого модуля выбирают степень различных простых чисел.

Учитывая последовательность а-значения (начало, конец и шаг) и модуля, можно действовать следующим образом:

FermatSieve (N, astart, aend, astep, модуль) a ← astart делать модуль раз: b2 ← a * a - N если b2 - квадрат по модулю модуля: FermatSieve (N, a, aend, astep * modulus, NextModulus) endif        а ← а + ступень Enddo

Но рекурсия останавливается, когда мало а-значения остаются; то есть, когда (aend-astart) / astep мало. Также потому, что а 's размер шага постоянен, можно вычислить последовательные b2 с добавлением.

Дальнейшее модульное усовершенствование можно сделать, применив алгоритм деления как аффинное преобразование, то есть ${ Displaystyle Х = бета х + а}$ , ${ displaystyle Y = beta y + b}$ , ${ Displaystyle N = бета Z + R}$ , по любому целочисленному кольцу ${ displaystyle mathbb {Z} _ { beta}}$ куда ${ Displaystyle бета$ . После небольшого количества алгебры можно заключить, что ${ Displaystyle lfloor N / beta ^ {2} rfloor -s = ху}$ и ${ Displaystyle lfloor ab / beta rfloor = t}$ где s и t идентичны определению переносов, которое делается при умножении делителей на основание ${ displaystyle beta}$ .^{[нужна цитата ]}

Улучшение множителя

Метод Ферма работает лучше всего, когда есть множитель, близкий к квадратному корню из N.

Если примерное соотношение двух факторов ( ${ displaystyle d / c}$ ) известно, то Рациональное число ${ displaystyle v / u}$ можно выбрать рядом с этим значением. Например, если ${ Displaystyle Y / X приблизительно q}$ , тогда ${ displaystyle X приблизительно { sqrt {N / q}}}$ является хорошей оценкой меньшего из пары делителей. ${ displaystyle Nuv = cv cdot du}$ , а множители примерно равны: коэффициент Ферма, примененный к Nuv, быстро их найдет. потом ${ displaystyle gcd (N, cv) = c}$ и ${ displaystyle gcd (N, du) = d}$ . (Пока не c разделяет ты или же d разделяет v.) Дальнейшее обобщение этого подхода предполагает, что ${ displaystyle Y ^ {n} / X ^ {m} приблизительно q}$ , означающий, что ${ Displaystyle X приблизительно N ^ {m / (m + n)} / q ^ {1 / (m + n)}}$ .

Как правило, если соотношение неизвестно, различные ${ displaystyle u / v}$ значения могут быть опробованы, и попытайтесь учесть каждый результат Nuv. Р. Леман разработал систематический способ сделать это, так что плюсовое пробное деление Ферма может учитывать N в ${ displaystyle O (N ^ {1/3})}$ время.^[1]

Прочие улучшения

Фундаментальные идеи метода факторизации Ферма лежат в основе квадратное сито и общее числовое поле сито, самые известные алгоритмы факторинга больших полупростые, которые являются «худшим случаем». Основное улучшение квадратного сита по сравнению с методом факторизации Ферма состоит в том, что вместо простого нахождения квадрата в последовательности ${ displaystyle a ^ {2} -n}$ , он находит подмножество элементов этой последовательности, у которых товар квадрат, и он делает это очень эффективно. Конечный результат тот же: разница квадратного мода п что, если нетривиально, может быть использовано для факторизации п.

Смотрите также

Примечания

^ Леман, Р. Шерман (1974). «Факторинг больших целых чисел» (PDF). Математика вычислений. 28 (126): 637–646. Дои:10.2307/2005940.

внешняя ссылка

Время выполнения факторизации Ферма, на blogspot.in
Онлайн-калькулятор факторизации Ферма, на windowspros.ru

[1] Леман, Р. Шерман (1974). «Факторинг больших целых чисел» (PDF). Математика вычислений. 28 (126): 637–646. Дои:10.2307/2005940.

[1]

Теоретико-числовой алгоритмы
Тесты на первичность	AKS APR Бэйли – PSW Эллиптическая кривая Pocklington Ферма Лукас Лукас – Лемер Лукас – Лемер – Ризель Теорема прота Пепина Квадратичный Фробениус Соловей-Штрассен Миллер – Рабин
Prime-генерирующий	Сито Аткина Сито Эратосфена Сито Сундарама Факторизация колес
Целочисленная факторизация	Непрерывная дробь (CFRAC) Диксона Эллиптическая кривая Ленстры (ECM) Эйлера Ро Полларда п − 1 п + 1 Квадратичное сито (QS) Сито общего числового поля (GNFS) Сито специального номера поля (SNFS) Рациональное сито Ферма Квадратные формы Шанкса Пробный отдел Шора
Умножение	Древнеегипетский Длинный Карацуба Тоом – Кук Шёнхаге-Штрассен Фюрера
Евклидово разделение	Двоичный Разбивка Фурье Гольдшмидт Ньютон-Рафсон Длинный короткий SRT
Дискретный логарифм	Бэби-степ гигантский шаг Поллард ро Кенгуру Полларда Pohlig – Hellman Расчет индекса Функциональное поле сито
Наибольший общий делитель	Двоичный Евклидово Расширенное евклидово Лемера
Модульный квадратный корень	Чиполла Поклингтона Тонелли-Шанкс Берлекамп
Другие алгоритмы	Чакравала Корнаккия Возведение в степень возведением в квадрат Целочисленный квадратный корень Целочисленное отношение (LLL ) Модульное возведение в степень Редукция Монтгомери Schoof
Курсив указывают, что алгоритм предназначен для номеров специальных форм