Деление Фурье - Fourier division

Деление Фурье или же поперечное деление карандашно-бумажный метод разделение что помогает упростить процесс, когда делитель имеет более двух цифр. Это было изобретено Жозеф Фурье.

Метод

В следующем изложении предполагается, что числа разбиты на двузначные части, разделенные запятыми: например, 3456 становится 34,56. В целом х, у обозначает Икс·100 + у и х, у, г обозначает Икс·10000 + у·100 + z, так далее.

Предположим, что мы хотим разделить c к а, чтобы получить результат б. (Так а × б = c.)

${displaystyle {frac {c} {a}} = {frac {c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}, c_ {5} dots} {a_ {1}, a_ {2}) }, a_ {3}, a_ {4}, a_ {5} точки}} = b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, b_ {4}, b_ {5} точки = b}$

Обратите внимание, что а₁ может не иметь нуля в начале; он должен стоять отдельно как двузначное число.

Мы можем найти последовательные термины б₁, б₂и т. д., используя следующие формулы:

${displaystyle b_ {1} = {гидроразрыв {c_ {1}, c_ {2}} {a_ {1}}} {mbox {с остатком}} r_ {1}}$

${displaystyle b_ {2} = {frac {r_ {1}, c_ {3} -b_ {1} imes a_ {2}} {a_ {1}}} {mbox {with остаток}} r_ {2}}$

${displaystyle b_ {3} = {frac {r_ {2}, c_ {4} -b_ {2} imes a_ {2} -b_ {1} imes a_ {3}} {a_ {1}}} {mbox { с остатком}} r_ {3}}$

${displaystyle b_ {4} = {frac {r_ {3}, c_ {5} -b_ {3} imes a_ {2} -b_ {2} imes a_ {3} -b_ {1} imes a_ {4}} {а_ {1}}} {mbox {с остатком}} r_ {4} точек}$

Каждый раз, когда мы добавляем член в числитель, пока он не будет содержать столько членов, сколько а. С этого момента количество терминов остается постоянным, поэтому сложность не увеличивается. Как только мы добьемся необходимой точности, мы используем оценку для размещения десятичной точки.

Часто бывает так, что один из б условия будут отрицательными. Например, 93, -12 означает 9288, а -16,32 означает -1600 + 32 или -1568. (Примечание: 45, -16,32 обозначает 448432.) Также следует проявлять осторожность со знаками остатков.

Общий термин

${displaystyle b_ {i} = {frac {r_ {i-1}, c_ {i + 1} - extstyle sum _ {j = 2} ^ {i} b_ {i-j + 1} imes a_ {j}}) {а_ {1}}} {mbox {с остатком}} r_ {i}}$

Частные с более чем двумя цифрами

В случаях, когда один или несколько б Термины содержат более двух цифр, окончательное значение частного б не могут быть построены простым объединением пар цифр. Вместо этого каждый термин, начиная с ${displaystyle b_ {1},}$ следует умножить на 100, а следующий член добавить (или, если он отрицательный, вычесть). Этот результат следует умножить на 100, а следующий член добавить или вычесть и т. Д., Пока не будут исчерпаны все члены. Другими словами, мы строим частичные суммы б термины:

${displaystyle B_ {1} = b_ {1}}$

${displaystyle B_ {i} = 100b_ {i-1} + b_ {i}}$

Последняя частичная сумма - это значение для б.

Пример

Найдите обратную величину π ≈ 3.14159.

${displaystyle {frac {1} {pi}} = {frac {10,00,00dots} {31,41,59dots}} = b_ {1}, b_ {2}, b_ {3} dots = b}$

${displaystyle b_ {1} = {frac {10,00} {31}} = 32 {mbox {с остатком}} 8}$

${displaystyle b_ {2} = {frac {8,00-32 imes 41} {31}} = {frac {-512} {31}} = - 17 {mbox {с остатком}} 15}$

${displaystyle b_ {3} = {frac {15,00 + 17 imes 41-32 imes 59} {31}} = {frac {309} {31}} = 10 {mbox {with остаток}} - 1.}$

Результат: 32, -17,10 или 31,83,10, что дает 0,318310.

Библиография

• Рональд В. Дёрфлер. Dead Reckoning: Расчет без инструментов. Издательство Галф, 1993.

внешняя ссылка

• Альтернативные алгоритмы деления: Двойное деление