Свободная решетка - Free lattice

В математика, в районе теория порядка, а свободная решетка это свободный объект соответствующий решетка. Как бесплатные объекты они имеют универсальная собственность.

Формальное определение

Любой набор Икс может использоваться для создания свободный полурешетка FX. Свободная полурешетка определяется как состоящая из всех конечных подмножеств Икс, с полурешеточной операцией, задаваемой обычными установить союз. Свободная полурешетка имеет универсальная собственность. В универсальный морфизм является (FX, η), где η - единичное отображение η:Икс→FX который берет Икс∈Икс к одноэлементный набор {Икс}. Универсальное свойство тогда таково: для любого отображения ж:Икс→L из Икс к некоторой произвольной полурешётке L, существует единственный полурешеточный гомоморфизм ${ displaystyle { tilde {f}}: FX to L}$ такой, что ${ displaystyle f = { тильда {f}} circ eta}$. Карта ${ displaystyle { tilde {f}}}$ могут быть явно записаны; это дается

${ Displaystyle S в FX mapsto bigvee left {е (s) vert s in S right }}$

Здесь, ${ displaystyle bigvee}$ обозначает полурешеточную операцию в L. Эту конструкцию можно перейти от полурешеток к решетки^{[требуется разъяснение ]}; по построению карта ${ displaystyle { tilde {f}}}$ будет иметь те же свойства, что и решетка.

Символ F тогда функтор от категория наборов в категорию решеток и решеточных гомоморфизмов. Функтор F является левый смежный к забывчивый функтор от решеток к их базовым множествам. Свободная решетка - это свободный объект.

Проблема со словом

Пример расчета Икс∧z ~ Икс∧z∧(Икс∨у)

Икс∧z∧(Икс∨у) ≤~ Икс∧z на 5. поскольку Икс∧z ≤~ Икс∧z Автор: 1. поскольку Икс∧z = Икс∧z

Икс∧z ≤~ Икс∧z∧(Икс∨у) на 7. поскольку Икс∧z ≤~ Икс∧z и Икс∧z ≤~ Икс∨у Автор: 1. поскольку Икс∧z = Икс∧z на 6. поскольку Икс∧z ≤~ Икс на 5. поскольку Икс ≤~ Икс Автор: 1. поскольку Икс = Икс

В проблема со словом для свободных решеток есть несколько интересных аспектов. Рассмотрим случай ограниченных решеток, то есть алгебраических структур с двумя бинарными операциями ∨ и и двумя константами (нулевые операции ) 0 и 1. Множество всех правильно построенных выражения которые могут быть сформулированы с использованием этих операций над элементами из заданного набора генераторов Икс будет называться W(Икс). Этот набор слов содержит множество выражений, которые, как оказалось, обозначают одинаковые значения в каждой решетке. Например, если а это какой-то элемент Икс, тогда а∨1 = 1 и а∧1 =а. В проблема со словом для свободных ограниченных решеток - это проблема определения, какой из этих элементов W(Икс) обозначают тот же элемент в свободной ограниченной решетке FX, а значит, и в любой ограниченной решетке.

Проблема со словом может быть решена следующим образом. Отношение ≤_~ на W(Икс) можно определить индуктивно установив ш ≤_~ v если и только если выполняется одно из следующих условий:

1.   ш = v (это можно ограничить случаем, когда ш и v являются элементами Икс),
2.   ш = 0,
3.   v = 1,
4.   ш = ш₁ ∨ ш₂ и оба ш₁≤_~v и ш₂≤_~v держать,
5.   ш = ш₁ ∧ ш₂ и либо ш₁≤_~v или же ш₂≤_~v держит,
6.   v = v₁ ∨ v₂ и либо ш≤_~v₁ или же ш≤_~v₂ держит,
7.   v = v₁ ∧ v₂ и оба ш≤_~v₁ и ш≤_~v₂ держать.

Это определяет Предварительный заказ ≤_~ на W(Икс), так что отношение эквивалентности можно определить как ш~v когда ш≤_~v и v≤_~ш. Тогда можно показать, что частично заказанный факторное пространство W(Икс) / ~ - свободная ограниченная решетка FX.^[1][2] В классы эквивалентности из W(Икс) / ~ - множества всех слов ш и v с ш≤_~v и v≤_~ш. Два правильных слова v и ш в W(Икс) обозначают одно и то же значение в любой ограниченной решетке тогда и только тогда, когда ш≤_~v и v≤_~ш; последние условия можно эффективно решить, используя приведенное выше индуктивное определение. В таблице показан пример вычисления, чтобы показать, что слова Икс∧z и Икс∧z∧(Икс∨у) обозначают одно и то же значение в любой ограниченной решетке. Случай неограниченных решеток рассматривается аналогично, опуская правила 2. и 3. в приведенной выше конструкции.

Решение проблемы слов на свободных решетках имеет несколько интересных следствий. Во-первых, свободная решетка трехэлементного множества образующих бесконечна. Фактически, можно даже показать, что каждая свободная решетка на трех образующих содержит подрешетку, свободную для набора из четырех образующих. К индукция, это в конечном итоге дает подрешетку, свободную на счетно много генераторов.^[3] Это свойство напоминает SQ-универсальность в группы.

Доказательство бесконечности свободной решетки в трех образующих проводится путем индуктивного определения

п_п+1 = Икс ∨ (у ∧ (z ∨ (Икс ∧ (у ∨ (z ∧ п_п)))))

куда Икс, у, и z - три генератора, и п₀=Икс. Затем, используя индуктивные соотношения проблемы слов, можно показать, что п_п+1 строго больше^[4]чем п_п, а значит все бесконечно много слов п_п оценить различные значения в свободной решетке FX.

Полная свободная решетка

Еще одно следствие: полная свободная решетка (на трех или более генераторах) "не существует" в том смысле, что вместо этого правильный класс. Доказательство этого следует также из слова проблема. Чтобы определить полная решетка с точки зрения отношений недостаточно использовать финансовые отношения из встретиться и присоединиться; нужно также иметь бесконечные отношения определение встречи и соединения бесконечных подмножеств. Например, бесконечное отношение, соответствующее «соединению», можно определить как

${ displaystyle operatorname {sup} _ {N} :( f: N to FX)}$

Здесь, ж это карта из элементов кардинал N к FX; Оператор ${ displaystyle operatorname {sup} _ {N}}$ обозначает супремум, поскольку он принимает образ ж к его присоединению. Это, конечно, идентично "присоединиться", когда N - конечное число; смысл этого определения состоит в том, чтобы определить соединение как отношение, даже если N бесконечный кардинал.

К аксиомам предварительного упорядочения проблемы слов могут быть добавлены два бесконечных оператора, соответствующие meet и join. После этого расширяется определение ${ displaystyle p_ {n}}$ для обычно индексированный ${ displaystyle p _ { alpha}}$ данный

${ Displaystyle p _ { alpha} = OperatorName {sup} {p _ { beta} vert beta < alpha }}$

когда ${ displaystyle alpha}$ это предельный порядковый номер. Тогда, как и прежде, можно показать, что ${ displaystyle p _ { alpha +1}}$ строго больше, чем ${ displaystyle p _ { alpha}}$. Таким образом, в полной свободной решетке по крайней мере столько же элементов, сколько и ординалов, и, таким образом, полная свободная решетка не может существовать как набор и, следовательно, должна быть собственным классом.

Рекомендации

• Питер Т. Джонстон, Каменные Пространства, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1982. (ISBN  0-521-23893-5) (См. Главу 1)