Бесплатная презентация - Википедия - Free presentation

В алгебра, а бесплатная презентация из модуль M через коммутативное кольцо р является точная последовательность из р-модули:

{ displaystyle bigoplus _ {i in I} R { overset {f} { to}} bigoplus _ {j in J} R { overset {g} { to}} M to 0. }

Обратите внимание на изображение под грамм стандартной базы генерирует M. В частности, если J конечно, то M это конечно порожденный модуль. Если я и J конечные множества, то представление называется конечное представление; модуль называется конечно представленный если он допускает конечное представление.

С ж это модульный гомоморфизм между свободными модулями его можно представить в виде (бесконечной) матрицы с элементами в р и M как его коядро.

Свободное представление существует всегда: любой модуль является частным от свободного модуля: ${ displaystyle F { overset {g} { to}} M to 0}$ , но тогда ядро грамм снова является частным свободного модуля: ${ displaystyle F '{ overset {f} { to}} ker g to 0}$ . Сочетание ж и грамм это бесплатная презентация M. Теперь, очевидно, можно продолжать «разрешать» ядра таким образом; результат называется бесплатное разрешение. Таким образом, бесплатная презентация - это первая часть бесплатного разрешения.

Презентация полезна для вычислений. Например, поскольку натяжение является точным справа, напрягая вышеуказанное представление с помощью модуля, скажем N, дает:

{ displaystyle bigoplus _ {я in I} N { overset {f otimes 1} { to}} bigoplus _ {j in J} N to M otimes _ {R} N to 0 .}

Это говорит, что ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ коядро ${ displaystyle f otimes 1}$ . Если N является р-алгебра, то это представление N-модуль ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ ; то есть представление расширяется под расширением базы.

Для точного слева функторы, есть например

Предложение — Позволять F, грамм - точные слева контравариантные функторы из категории модулей над коммутативным кольцом р абелевым группам и θ а естественная трансформация из F к грамм. Если ${ Displaystyle theta: F (R ^ { oplus n}) к G (R ^ { oplus n})}$ является изоморфизмом для каждого натурального числа п, тогда ${ Displaystyle тета: от F (M) до G (M)}$ является изоморфизмом любого конечно представленного модуля M.

Доказательство: применение F к конечному представлению ${ Displaystyle R ^ { oplus n} к R ^ { oplus m} к M}$ приводит к

{ Displaystyle 0 к F (M) к F (R ^ { oplus m}) к F (R ^ { oplus n})}

и то же самое для грамм. Теперь примените лемма о змеях. ${ displaystyle square}$

Бесплатная презентация - Википедия - Free presentation

Смотрите также

Рекомендации