Полином Шура - Schur polynomial

В математика, Полиномы Шура, названный в честь Иссай Шур, уверены симметричные многочлены в п переменные, индексируемые перегородки, которые обобщают элементарные симметричные полиномы и полные однородные симметрические многочлены. В теория представлений они персонажи полинома неприводимые представления из общие линейные группы. Многочлены Шура образуют линейный базис для пространства всех симметрических многочленов. Любое произведение многочленов Шура можно записать как линейную комбинацию многочленов Шура с неотрицательными целыми коэффициентами; значения этих коэффициентов задаются комбинаторно Правило Литтлвуда – Ричардсона. В более общем смысле, косые многочлены Шура связаны с парами разбиений и обладают свойствами, аналогичными многочленам Шура.

Определение (бальтернантная формула Якоби)

Многочлены Шура индексируются целые разделы. Учитывая раздел $λ = (λ 1, λ 2, \dots, λ п)$ ,куда $λ 1 \geq λ 2 \geq \dots \geq λ п$ , и каждый $λ j$ - целое неотрицательное число, функции

{ displaystyle a _ {( lambda _ {1} + n-1, lambda _ {2} + n-2, dots, lambda _ {n})} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) = det left [{ begin {matrix} x_ {1} ^ { lambda _ {1} + n-1} & x_ {2} ^ { lambda _ {1} + n-1} & dots & x_ {n} ^ { lambda _ {1} + n-1} x_ {1} ^ { lambda _ {2} + n-2} & x_ {2} ^ { лямбда _ {2} + n-2} & точки & x_ {n} ^ { lambda _ {2} + n-2} vdots & vdots & ddots & vdots x_ {1} ^ { lambda _ {n}} & x_ {2} ^ { lambda _ {n}} & dots & x_ {n} ^ { lambda _ {n}} end {matrix}} right]}

находятся чередующиеся многочлены по свойствам детерминант. Многочлен является чередующимся, если меняет знак под любым транспозиция переменных.

Поскольку они чередуются, все они делятся на Определитель Вандермонда,

{ displaystyle a _ {(n-1, n-2, dots, 0)} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) = det left [{ begin {matrix } x_ {1} ^ {n-1} & x_ {2} ^ {n-1} & dots & x_ {n} ^ {n-1} x_ {1} ^ {n-2} & x_ {2} ^ {n-2} & dots & x_ {n} ^ {n-2} vdots & vdots & ddots & vdots 1 & 1 & dots & 1 end {matrix}} right] = prod _ {1 leq j

Многочлены Шура определяются как отношение

{ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) = { frac {a _ {( lambda _ {1} + n-1, lambda _ { 2} + n-2, dots, lambda _ {n} +0)} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n})} {a _ {(n-1, n- 2, dots, 0)} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n})}}.}.}

который известен как двойная формула Якоби. Это частный случай Формула характера Вейля.

Это симметричная функция, потому что числитель и знаменатель чередуются, и многочлен, поскольку все чередующиеся многочлены делятся на определитель Вандермонда.

Характеристики

Степень $d$ Многочлены Шура в $п$ переменные являются линейным базисом пространства однородной степени $d$ симметричные многочлены от $п$ переменные. Для перегородки $λ = (λ 1, λ 2, ..., λ п)$ , многочлен Шура представляет собой сумму одночленов,

{ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = sum _ {T} x ^ {T} = sum _ {T} x_ {1} ^ {t_ {1}} cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}

где суммирование ведется по всем полустандартным Молодые картины $Т$ формы $λ$ . Показатели $т 1, ..., т п$ дать вес $Т$ , другими словами каждый $т я$ считает количество появлений числа $я$ в $Т$ . Можно показать, что это эквивалентно определению из первая формула Джамбелли с использованием Лемма Линдстрема – Гесселя – Венно. (как указано на этой странице).

Многочлены Шура могут быть выражены как линейные комбинации мономиальные симметричные функции $м μ$ с неотрицательными целыми коэффициентами $K λμ$ называется Костка номера,

{ displaystyle s _ { lambda} = sum _ { mu} K _ { lambda mu} m _ { mu}. }

Числа Костки $K λμ$ даны числом полустандартных таблиц Юнга формы λ а вес μ.

Тождества Якоби-Труди

В первая формула Якоби-Труди выражает полином Шура как определитель в терминах полные однородные симметрические многочлены,

{ displaystyle s _ { lambda} = det (h _ { lambda _ {i} + ji}) _ {i, j = 1} ^ {l ( lambda)} = det left [{ begin { матрица} h _ { lambda _ {1}} & h _ { lambda _ {1} +1} & dots & h _ { lambda _ {1} + n-1} h _ { lambda _ {2} -1 } & h _ { lambda _ {2}} & dots & h _ { lambda _ {2} + n-2} vdots & vdots & ddots & vdots h _ { lambda _ {n} - n + 1} & h _ { lambda _ {n} -n + 2} & dots & h _ { lambda _ {n}} end {matrix}} right],}

^[1]

куда $час я := s (я)$ .

В вторая формула Якоби-Труди выражает полином Шура как определитель через элементарные симметричные полиномы,

{ displaystyle s _ { lambda} = det (e _ { lambda '_ {i} + ji}) _ {i, j = 1} ^ {l ( lambda')} = det left [{ begin {matrix} e _ { lambda '_ {1}} & e _ ​​{ lambda' _ {1} +1} & dots & e _ ​​{ lambda '_ {1} + l-1} e _ { lambda' _ {2} -1} & e _ ​​{ lambda '_ {2}} & dots & e _ ​​{ lambda' _ {2} + l-2} vdots & vdots & ddots & vdots e_ { lambda '_ {l} -l + 1} & e _ ​​{ lambda' _ {l} -l + 2} & dots & e _ ​​{ lambda '_ {l}} end {matrix}} right], }

^[2]

куда $е я := s (1 я)$ .и $λ '$ сопряженное разбиение к $λ$ .

Эти две формулы известны как детерминантные тождества.

Личность Джамбелли

Другая детерминантная идентичность Формула Джамбелли, которая выражает функцию Шура для произвольного разбиения через разбиение крюк перегородки содержится в диаграмме Юнга. В обозначениях Фробениуса разбиение обозначается

{ displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {r} mid b_ {1}, ldots, b_ {r})}

где для каждого диагонального элемента в позиции $ii$ , $а я$ обозначает количество прямоугольников справа в той же строке и $б я$ обозначает количество прямоугольников под ним в том же столбце ( рука и нога длины соответственно).

В Личность Джамбелли выражает функцию Шура, соответствующую этому разбиению, как определитель

{ displaystyle s _ {(a_ {1}, ldots, a_ {r} mid b_ {1}, ldots, b_ {r})} = det (s _ {(a_ {i} mid b_ {j })})}

для перегородок крюка.

Тождество Коши

Тождество Коши для функций Шура (теперь в бесконечном множестве переменных) и его двойственное состояние, что

{ displaystyle sum _ { lambda} s _ { lambda} (x) s _ { lambda} (y) = sum _ { lambda} m _ { lambda} (x) h _ { lambda} (y) = prod _ {i, j} (1-x_ {i} y_ {j}) ^ {- 1},}

и

{ displaystyle sum _ { lambda} s _ { lambda} (x) s _ { lambda '} (y) = sum _ { lambda} m _ { lambda} (x) e _ { lambda} (y ) = prod _ {i, j} (1 + x_ {i} y_ {j}),}

где сумма берется по всем разбиениям λ, и ${ Displaystyle ч _ { лямбда} (х)}$ , ${ Displaystyle е _ { лямбда} (х)}$ обозначить полные симметричные функции и элементарные симметричные функции, соответственно. Если сумма берется по произведениям многочленов Шура от ${ displaystyle n}$ переменные ${ displaystyle (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ , в сумму входят только части длины ${ Displaystyle ell ( лямбда) Leq п}$ так как в противном случае многочлены Шура обращаются в нуль.

Есть много обобщений этих тождеств на другие семейства симметричных функций. Например, многочлены Макдональда, многочлены Шуберта и многочлены Гротендика допускают тождества типа Коши.

Дальнейшие идентичности

Многочлен Шура можно также вычислить с помощью специализации формулы для Полиномы Холла – Литтлвуда,

{ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, dotsc, x_ {n}) = sum _ {w in S_ {n} / S_ {n} ^ { lambda}} w left (x ^ { lambda} prod _ { lambda _ {i}> lambda _ {j}} { frac {x_ {i}} {x_ {i} -x_ {j}}} right)}

куда ${ Displaystyle S_ {п} ^ { lambda}}$ - подгруппа перестановок таких, что ${ Displaystyle лямбда _ {вес (я)} = лямбда _ {я}}$ для всех я, и ш действует на переменные путем перестановки индексов.

Правило Мурнагана-Накаямы

В Правило Мурнагана – Накаямы выражает произведение симметричной функции степенной суммы с многочленом Шура, через многочлены Шура:

{ displaystyle p_ {r} cdot s _ { lambda} = sum _ { mu} (- 1) ^ {ht ( mu / lambda) +1} s _ { mu}}

где сумма по всем разделам μ такой, что μ / λ ободок-крючок размера р и ht (μ / λ) это количество строк на диаграмме μ / λ.

Правило Литтлвуда – Ричардсона и формула Пьери

В Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона зависит от трех перегородки, сказать ${ displaystyle lambda, mu, nu}$ , из которых ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$ описывают умножаемые функции Шура, и ${ displaystyle nu}$ дает функцию Шура, коэффициент которой является коэффициентом линейной комбинации; другими словами, это коэффициенты ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ такой, что

{ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = sum _ { nu} c _ { lambda, mu} ^ { nu} s _ { nu}.}

Правило Литтлвуда – Ричардсона гласит, что ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ равно количеству таблиц Литтлвуда – Ричардсона перекос ${ displaystyle nu / lambda}$ и веса ${ displaystyle mu}$ .

Формула Пиери является частным случаем правила Литтлвуда-Ричардсона, которое выражает произведение ${ displaystyle h_ {r} s _ { lambda}}$ в терминах полиномов Шура. Двойная версия выражает ${ displaystyle e_ {r} s _ { lambda}}$ в терминах полиномов Шура.

Специализации

Вычисление полинома Шура $s λ$ в $(1,1,...,1)$ дает количество полустандартных таблиц Юнга формы $λ$ с записями в $1, 2, ..., п$ . Можно показать, используя Формула характера Вейля например, что

{ displaystyle s _ { lambda} (1,1, dots, 1) = prod _ {1 leq i

В этой формуле $λ$ , кортеж, указывающий ширину каждой строки диаграммы Юнга, неявно расширяется нулями до тех пор, пока не достигнет длины $п$ . Сумма элементов $λ я$ является $d$ . См. Также Формула длины крючка который вычисляет ту же величину при фиксированном λ.

Пример

Следующий расширенный пример должен помочь прояснить эти идеи. Рассмотрим случай п = 3, d = 4. Используя диаграммы Феррерса или какой-либо другой метод, мы обнаруживаем, что есть всего четыре разбиения из 4 максимум на три части. У нас есть

{ Displaystyle s _ {(2,1,1)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = { frac {1} { Delta}} ; det left [{ begin {matrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} x_ {1} ^ {2} & x_ {2} ^ {2} & x_ {3} ^ {2} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} end {matrix}} right] = x_ {1} , x_ {2} , x_ {3} , (x_ {1 } + x_ {2} + x_ {3})}

{ displaystyle s _ {(2,2,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = { frac {1} { Delta}} ; det left [{ begin {matrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} x_ {1} ^ {3} & x_ {2} ^ {3} & x_ {3} ^ {3} 1 & 1 & 1 end {matrix}} right] = x_ {1} ^ {2} , x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} , x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} , x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} , x_ {2} , x_ {3} + x_ {1} , x_ {2} ^ {2} , x_ {3} + x_ {1} , x_ {2} , x_ {3} ^ {2}}

и так далее, где ${ displaystyle Delta}$ детерминант Вандермонда ${ displaystyle a _ {(2,1,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ . Резюмируя:

${ displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} , e_ {3}}$
${ displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} , e_ {3}}$
${ displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} , e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} , e_ {3}}$
${ Displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 , e_ {1} ^ {2} , e_ {2} +2 , e_ {1} , e_ {3} + e_ {2} ^ {2}.}$

Каждый однородный симметричный многочлен четвертой степени от трех переменных может быть выражен как единственный линейная комбинация этих четырех полиномов Шура, и эту комбинацию снова можно найти, используя Основа Грёбнера для соответствующего порядка исключения. Например,

{ displaystyle phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}

является, очевидно, симметричным многочленом, однородным четвертой степени, и мы имеем

{ Displaystyle phi = s _ {(2,1,1)} - s _ ​​{(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. , !}

Отношение к теории представлений

Многочлены Шура входят в теория представлений симметрических групп, общие линейные группы, и унитарные группы. В Формула характера Вейля следует, что многочлены Шура являются характерами конечномерных неприводимых представлений общих линейных групп, и помогает обобщить работу Шура на другие компактные и полупростые Группы Ли.

Для этого соотношения возникает несколько выражений, одним из наиболее важных является разложение функций Шура s_λ в терминах симметричных степенных функций ${ displaystyle p_ {k} = sum _ {i} x_ {i} ^ {k}}$ . Если написать χ^λ
_ρ для характера представления симметрической группы, индексированной разбиением λ, вычисленным в элементах типа цикла, индексированных разбиением ρ, то

{ displaystyle s _ { lambda} = sum _ { nu} { frac { chi _ { nu} ^ { lambda}} {z _ { nu}}} p _ { nu} = sum _ { rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, dots)} chi _ { rho} ^ { lambda} prod _ {k} { frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}},}

где ρ = (1^р₁, 2^р₂, 3^р₃, ...) означает, что разбиение ρ имеет р_k части длины k.

Доказательство этого можно найти в «Перечислительной комбинаторике» Р. Стэнли, том 2, следствие 7.17.5.

Целые числа χ^λ
_ρ можно вычислить с помощью Правило Мурнагана – Накаямы.

Шур позитивность

Из-за связи с теорией представлений особый интерес представляют симметричная функция, которая положительно разлагается по функциям Шура. Например, косые функции Шура расширяются положительно в обычных функциях Шура, а коэффициенты являются коэффициентами Литтлвуда – Ричардсона.

Частным случаем этого является разложение полных однородных симметрических функций час_λ в функциях Шура. Это разложение отражает, как модуль перестановки разлагается на неприводимые представления.

Методы доказательства положительности Шура

Есть несколько подходов к доказательству положительности Шура данной симметричной функции F.Если F описывается комбинаторно, прямой подход состоит в том, чтобы произвести биекцию с полустандартными таблицами Юнга. Соответствие Эдельмана – Грина и Переписка Робинсона – Шенстеда – Кнута являются примерами таких взаимных отклонений.

Биекция с большей структурой - это доказательство с использованием так называемого кристаллы. Этот метод можно описать как определение определенной структуры графа, описываемой локальными правилами для базовых комбинаторных объектов.

Похожая идея - понятие двойственной эквивалентности. Этот подход также использует структуру графа, но на объектах, представляющих расширение в фундаментальном квазисимметричном базисе. Это тесно связано с RSK-перепиской.

Обобщения

Косые функции Шура

Косые функции Шура s_{λ / μ} зависят от двух разбиений λ и μ и могут быть определены свойством

{ displaystyle langle s _ { lambda / mu}, s _ { nu} rangle = langle s _ { lambda}, s _ { mu} s _ { nu} rangle.}

Здесь скалярное произведение - это скалярное произведение Холла, для которого полиномы Шура образуют ортонормированный базис.

Подобно обычным многочленам Шура, существует множество способов их вычисления. Соответствующие тождества Якоби-Труди:

{ displaystyle s _ { lambda / mu} = det (h _ { lambda _ {i} - mu _ {j} -i + j}) _ {i, j = 1} ^ {l ( lambda )}}

{ displaystyle s _ { lambda '/ mu'} = det (e _ { lambda _ {i} - mu _ {j} -i + j}) _ {i, j = 1} ^ {l ( lambda)}}

Существует также комбинаторная интерпретация косых многочленов Шура, а именно, это сумма по всем полустандартным таблицам Юнга (или строгим по столбцам таблицам) косой формы. ${ displaystyle lambda / mu}$ .

Косые многочлены Шура положительно расширяются в многочлены Шура. Правило для коэффициентов задается Правило Литтлвуда-Ричардсона.

Двойные многочлены Шура

Двойные многочлены Шура^[3] можно рассматривать как обобщение сдвинутых многочленов Шура. Эти многочлены также тесно связаны с факториальными многочленами Шура. $λ$ , и последовательность $а 1, а 2,\dots$ можно определить двойной многочлен Шура $s λ (Икс || а)$ в качестве

{ displaystyle s _ { lambda} (x || a) = sum _ {T} prod _ { alpha in lambda} (x_ {T ( alpha)} - a_ {T ( alpha) - c ( alpha)})}

где сумма берется по всем обеспечить регресс полустандартные картины Юнга $Т$ формы $λ$ , и целочисленные записи в $1,\dots, п$ . Здесь $Т (α)$ обозначает значение в поле $α$ в $Т$ и $с (а)$ это содержимое коробки.

Комбинаторное правило для коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона (в зависимости от последовательности а), приведен А.И. Молевым в.^[3] В частности, это означает, что сдвинутые полиномы Шура имеют неотрицательные коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона.

В сдвинутые полиномы Шура, $s * λ (у)$ , можно получить из двойных многочленов Шура, специализируя $а я =- я$ и $у я = Икс я + я$ .

Двойные многочлены Шура являются частными случаями двойного Полиномы Шуберта.

Факториальные многочлены Шура

Факториальные многочлены Шура могут быть определены следующим образом. Учитывая разбиение λ и дважды бесконечную последовательность…,а₋₁, а₀, а₁,… Можно определить факториальный многочлен Шура s_λ(Икс|а) в качестве

{ Displaystyle s _ { lambda} (х | а) = сумма _ {T} prod _ { alpha in lambda} (x_ {T ( alpha)} - a_ {T ( alpha) + c ( alpha)})}

где сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга Т формы λ, и целые элементы в 1,…,п. Здесь Т(α) обозначает значение в ячейке α в Т а c (α) - содержимое коробки.

Также есть определяющая формула,

{ displaystyle s _ { lambda} (x | a) = { frac { det [(x_ {j} | a) ^ { lambda _ {i} + ni}] _ {i, j = 1} ^ {l ( lambda)}} { prod _ {i

куда (у|а)^k = (у-а₁)... (у-а_k). Понятно, что если мы позволим а_я= 0 для всех я, мы восстанавливаем обычный многочлен Шура s_λ.

Двойные многочлены Шура и факториальные многочлены Шура в п переменные связаны тождеством s_λ(Икс||а) = s_λ(Икс|ты) куда а_{п-я + 1} = ты_я.

Другие обобщения

Существует множество обобщений полиномов Шура:

Полиномы Холла – Литтлвуда
Сдвинутые многочлены Шура
Помеченные многочлены Шура
Полиномы Шуберта
Симметричные функции Стэнли (также известные как стабильные многочлены Шуберта)
Ключевые полиномы (также известные как символы Демазура)
Квазисимметричные полиномы Шура
Строгое по строкам многочлены Шура
Полиномы Джека
Модульные многочлены Шура
Циклические функции Шура
Многочлены Макдональда
Многочлены Шура для симплектической и ортогональной группы.
k-Функции Шура
Многочлены Гротендика (K-теоретический аналог полиномов Шура)
Полиномы LLT

Смотрите также

Функтор Шура
Правило Литтлвуда – Ричардсона, где найдены тождества, содержащие многочлены Шура.