Полный однородный симметричный многочлен - Complete homogeneous symmetric polynomial

В математика особенно в алгебраическая комбинаторика и коммутативная алгебра, то полные однородные симметрические многочлены особый вид симметричные многочлены. Каждый симметричный многочлен может быть выражен как полиномиальное выражение от полных однородных симметричных многочленов.

Определение

Полный однородный симметрический полином степени $k$ в $п$ переменные $Икс 1, \dots, Икс п$ , написано $час k$ за $k = 0, 1, 2, \dots$ , это сумма всех мономы общей степени $k$ в переменных. Формально,

{displaystyle h_ {k} (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = sum _ {1leq i_ {1} leq i_ {2} leq cdots leq i_ {k} leq n} X_ { i_ {1}} X_ {i_ {2}} компакт-дисков X_ {i_ {k}}.}

Формулу также можно записать как:

{displaystyle h_ {k} (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = sum _ {l_ {1} + l_ {2} + cdots + l_ {n} = k на вершине l_ {i } geq 0} X_ {1} ^ {l_ {1}} X_ {2} ^ {l_ {2}} компакт-дисков X_ {n} ^ {l_ {n}}.}

В самом деле, $л п$ это просто множественность $п$ в последовательности $я k$ .

Первые несколько из этих многочленов

{displaystyle {egin {align} h_ {0} (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) & = 1, [10px] h_ {1} (X_ {1}, X_ {2} }, точки, X_ {n}) & = sum _ {1leq jleq n} X_ {j}, h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) & = sum _ {1leq jleq kleq n} X_ {j} X_ {k}, h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, точки, X_ {n}) & = sum _ {1leq jleq kleq lleq n} X_ {j} X_ {k} X_ {l} .end {выровнено}}}

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа $k$ существует ровно один полный однородный симметрический многочлен степени $k$ в $п$ переменные.

Другой способ переписать определение - провести суммирование по всем последовательностям. $я k$ , без условия заказа $я п \leq я п + 1$ :

{displaystyle h_ {k} (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = sum _ {1leq i_ {1}, i_ {2}, cdots, i_ {k} leq n} {frac {m_ {1}! m_ {2}! cdots m_ {n}!} {k!}} X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} cdots X_ {i_ {k}},}

здесь $м п$ кратность числа $п$ в последовательности $я k$ .

Например

{displaystyle h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) = {frac {2! 0!} {2!}} X_ {1} ^ {2} + {frac {1! 1!} {2 !}} X_ {1} X_ {2} + {frac {1! 1!} {2!}} X_ {2} X_ {1} + {frac {0! 2!} {2!}} X_ {2 } ^ {2} = X_ {1} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} + X_ {2} ^ {2}.}

В кольцо многочленов образованное взятием всех целых линейных комбинаций произведений полных однородных симметрических многочленов, представляет собой коммутативное кольцо.

Примеры

Ниже перечислены $п$ основные (как объяснено ниже) полные однородные симметричные многочлены для первых трех положительных значений $п$ .

За $п = 1$ :

{displaystyle h_ {1} (X_ {1}) = X_ {1} ,.}

За $п = 2$ :

{displaystyle {egin {align} h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) & = X_ {1} + X_ {2} h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) & = X_ {1} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} + X_ {2} ^ {2} .end {выровнено}}}

За $п = 3$ :

{displaystyle {egin {align} h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3} h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} + X_ {3} ^ {2} + X_ {1} X_ {2 } + X_ {1} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + X_ {3} ^ {3} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} ^ {2} X_ {1} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {3} ^ {2} X_ {1} + X_ {3} ^ {2} X_ {2} + X_ {1 } X_ {2} X_ {3} .end {выровнено}}}

Характеристики

Производящая функция

Полные однородные симметричные полиномы характеризуются следующим тождеством формальных степенных рядов от $т$ :

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} h_ {k} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) t ^ {k} = prod _ {i = 1} ^ {n} sum _ { j = 0} ^ {infty} (X_ {i} t) ^ {j} = prod _ {i = 1} ^ {n} {frac {1} {1-X_ {i} t}}}

(это называется производящая функция, или производящий ряд для полных однородных симметрических многочленов). Здесь каждая дробь в окончательном выражении - это обычный способ представления формального геометрическая серия это фактор в среднем выражении. Идентичность можно обосновать, рассмотрев, как образуется произведение этих геометрических рядов: каждый множитель в произведении получается путем умножения одного члена, выбранного из каждого геометрического ряда, и каждого одночлена в переменных $Икс я$ получается ровно для одного такого выбора членов и умножается на степень $т$ равняется степени одночлена.

Приведенная выше формула в определенном смысле эквивалентна Основная теорема Мак-Магона. Действительно, правую часть можно интерпретировать как $1 / det (1 - tM)$ , для диагональной матрицы $M$ с $Икс я$ по диагонали. В левой части можно распознать выражения, подобные тем, которые содержатся в основной теореме Мак-Магона. Диагонализируемые матрицы плотны во множестве всех матриц, и это рассмотрение доказывает всю теорему.

Связь с элементарными симметричными многочленами

Существует фундаментальная связь между элементарные симметричные полиномы и полные однородные:

{displaystyle sum _ {i = 0} ^ {m} (- 1) ^ {i} e_ {i} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) h_ {mi} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = 0,}

что справедливо для всех $м > 0$ , и любое количество переменных $п$ . Самый простой способ убедиться в его справедливости - определить формальный степенной ряд в $т$ для элементарных симметричных многочленов аналогично приведенному выше для полных однородных:

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} e_ {k} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) (- t) ^ {k} = prod _ {i = 1} ^ {n} (1-X_ {i} t)}

(на самом деле это тождество многочленов от $т$ , потому что после $е п (Икс 1, \dots, Икс п)$ элементарные симметричные полиномы обращаются в ноль). Умножая это на производящую функцию для полных однородных симметричных многочленов, мы получаем постоянный ряд 1, а соотношение между элементарными и полными однородными многочленами следует из сравнения коэффициентов $т м$ . Несколько более прямой способ понять это соотношение - рассмотреть вклады при суммировании, включающие фиксированный моном $Икс α$ степени $м$ . Для любого подмножества $S$ переменных, присутствующих в мономе с ненулевым показателем, существует вклад, включающий произведение $Икс S$ этих переменных как член из $е s (Икс 1, \dots, Икс п)$ , куда $s = # S$ , а моном $Икс α / Икс S$ из $час м - s (Икс 1, \dots, Икс п)$ ; этот вклад имеет коэффициент $(-1) s$ . Тогда соотношение следует из того, что

{displaystyle sum _ {s = 0} ^ {l} {inom {l} {s}} (- 1) ^ {s} = (1-1) ^ {l} = 0quad {mbox {for}} l> 0,}

посредством биномиальная формула, куда $л < м$ обозначает количество различных переменных, встречающихся (с ненулевым показателем) в $Икс α$ . С $е 0 (Икс 1, \dots, Икс п)$ и $час 0 (Икс 1, \dots, Икс п)$ оба равны 1, из соотношения можно выделить либо первое, либо последнее слагаемое суммирования. Первый дает последовательность уравнений:

{displaystyle {egin {align} h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = e_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), h_ {2} ( X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) - e_ {2} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), h_ {3} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = h_ {2} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) - h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) e_ {2} (X_ {1}, ldots , X_ {n}) + e_ {3} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), end {align}}}

и так далее, что позволяет рекурсивно выразить последовательные полные однородные симметричные многочлены через элементарные симметричные многочлены; последний дает систему уравнений

{displaystyle {egin {align} e_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), e_ {2} ( X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) - h_ {2} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), e_ {3} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) e_ {2} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) - h_ {2} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, ldots , X_ {n}) + h_ {3} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), end {align}}}

и так далее, что позволяет делать обратное. Первый $п$ элементарные и полные однородные симметрические многочлены играют в этих отношениях совершенно одинаковые роли, даже если первые многочлены затем становятся нулевыми, а вторые - нет. Это явление можно понять в настройках кольцо симметричных функций. Оно имеет кольцевой автоморфизм который меняет местами последовательности $п$ элементарный и первый $п$ полная однородность симметричные функции.

Набор полных однородных симметрических многочленов степени от 1 до $п$ в $п$ переменные генерирует то звенеть из симметричные многочлены в $п$ переменные. Более конкретно, кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно целочисленному кольцу многочленов

{displaystyle mathbb {Z} {ig [} h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), ldots, h_ {n} (X_ {1}, ldots, X_ {n}) {ig] }.}

Это можно сформулировать, сказав, что

{displaystyle h_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {n}), ldots, h_ {n} (X_ {1}, ldots, X_ {n})}

для мужчин алгебраический базис кольца симметрических многочленов от $Икс 1, \dots, Икс п$ с целыми коэффициентами (как и для элементарных симметричных многочленов). То же самое и с кольцом $ℤ$ целых чисел заменены любыми другими коммутативное кольцо. Эти утверждения следуют из аналогичных утверждений для элементарных симметричных многочленов из-за указанной возможности выражения любого вида симметричных многочленов через другой вид.

Связь с числами Стирлинга

Вычисление в целых числах полных однородных многочленов и элементарных симметричных многочленов связано с Числа Стирлинга:

{displaystyle {egin {выравнивается} h_ {n} (1,2, ldots, k) & = left {{egin {matrix} n + k kend {matrix}} ight} e_ {n} (1,2, ldots, k) & = left [{k + 1 на вершине k + 1-n} право] end {выровнено}}}

Связь с мономиальными симметричными многочленами

Полином $час k (Икс 1, \dots, Икс п)$ также является суммой все отчетливый мономиальные симметрические многочлены степени $k$ в $Икс 1, \dots, Икс п$ , например

{displaystyle {egin {align} h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = m _ {(3)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) ) + m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) + m _ {(1,1,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ { 3}) & = left (X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + X_ {3} ^ {3} ight) + left (X_ {1} ^ {2} X_ {2 } + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2} ight) + (X_ {1} X_ {2} X_ {3}). End {align}}}

Связь с симметричными тензорами

Рассмотрим $п$ -мерное векторное пространство $V$ и линейный оператор $M : V \to V$ с собственными значениями $Икс 1, Икс 2, \dots, Икс п$ . Обозначим через $Сим k (V)$ это $k$ симметричная тензорная степень и $M Сим (k)$ индуцированный оператор $Сим k (V) \to Sym k (V)$ .

Предложение:

{displaystyle operatorname {Trace} _ {operatorname {Sym} ^ {k} (V)} left (M ^ {operatorname {Sym} (k)} ight) = h_ {k} (X_ {1}, X_ {2} , ldots, X_ {n}).}

Доказательство несложно: рассмотрим собственный базис $е я$ за $M$ . Основа в $Сим k (V)$ можно индексировать по последовательностям $я 1 \leq я 2 \leq \dots \leq я k$ действительно, рассмотрим симметризации

{displaystyle e_ {i_ {1}} otimes e_ {i_ {2}} otimes ldots otimes e_ {i_ {k}}}

.

Все такие векторы являются собственными векторами для $M Сим (k)$ с собственными значениями

{displaystyle X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} компакт-дисков X_ {i_ {k}},}

следовательно, это предложение верно.

Точно так же можно выразить элементарные симметричные полиномы через следы над антисимметричными тензорными степенями. Оба выражения входят в выражения Полиномы Шура как следы над Функторы Шура, который можно рассматривать как Формула характера Вейля за $GL (V)$ .