Полиномы Холла – Литтлвуда - Hall–Littlewood polynomials

В математика, то Полиномы Холла – Литтлвуда находятся симметричные функции в зависимости от параметра т и раздел λ. Они есть Функции Шура когда т равно 0 и мономиальные симметрические функции, когда т равно 1 и являются частными случаями Многочлены Макдональда Впервые они были определены косвенно Филип Холл с использованием Алгебра холла, а позже определяется непосредственно Дадли Э. Литтлвуд (1961).

Определение

Полином Холла – Литтлвуда. п определяется

{displaystyle P_ {lambda} (x_ {1}, ldots, x_ {n}; t) = left (prod _ {igeq 0} prod _ {j = 1} ^ {m (i)} {frac {1-t) } {1-t ^ {j}}} ight) {sum _ {win S_ {n}} wleft (x_ {1} ^ {lambda _ {1}} cdots x_ {n} ^ {lambda _ {n}} prod _ {i

где λ - разбиение не более чем п с элементами λ_я, и м(я) элементов, равных я, и S_п это симметричная группа порядка п!.

В качестве примера,

{displaystyle P_ {42} (x_ {1}, x_ {2}; t) = x_ {1} ^ {4} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {2} ^ {4} + (1-t) x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {3}}

Специализации

У нас есть это ${displaystyle P_ {lambda} (x; 1) = m_ {lambda} (x)}$ , ${displaystyle P_ {lambda} (x; 0) = s_ {lambda} (x)}$ и ${displaystyle P_ {lambda} (x; -1) = P_ {lambda} (x)}$ где последний - Шур п полиномы.

Характеристики

Расширение Полиномы Шура в терминах полиномов Холла – Литтлвуда

{displaystyle s_ {lambda} (x) = sum _ {mu} K_ {lambda mu} (t) P_ {mu} (x, t)}

куда ${displaystyle K_ {lambda mu} (t)}$ являются Полиномы Костки – Фоулкса.Обратите внимание, что как ${displaystyle t = 1}$ , они сводятся к обычным коэффициентам Костки.

Комбинаторное описание полиномов Костки – Фоулкса было дано Ласку и Шютценбергером:

{displaystyle K_ {lambda mu} (t) = sum _ {Tin SSYT (lambda, mu)} t ^ {mathrm {charge} (T)}}

где «заряд» - некоторая комбинаторная статистика на полустандартных таблицах Юнга, а сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга с формой λ и введитеμ.

Смотрите также

Полином холла

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Полином Холла – Литтлвуда". MathWorld.