Алгебра холла - Hall algebra

В математика, то Алгебра холла является ассоциативная алгебра с базисом, соответствующим классам изоморфизма конечных абелевых п-группы. Впервые это обсуждалось Стейниц (1901) но забыли, пока не открыли заново Филип Холл  (1959 ), оба из которых опубликовали не более чем краткое изложение своей работы. В Полиномы холла являются структурные константы из Алгебра холла. Алгебра Холла играет важную роль в теории Масаки Кашивара и Джордж Люстиг относительно канонические основы в квантовые группы. Рингель (1990) обобщенные алгебры Холла до более общих категории, например, категория представлений колчан.

строительство

А конечный абелевский п-группа M прямая сумма циклический п-силовые компоненты ${displaystyle C_ {p ^ {lambda _ {i}}},}$ где${displaystyle lambda = (lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots)}$ это раздел из ${displaystyle n}$ называется тип из M. Позволять ${displaystyle g_ {mu, u} ^ {lambda} (p)}$ быть количеством подгрупп N из M такой, что N имеет тип ${displaystyle u}$ и частное M / N имеет тип ${displaystyle mu}$. Холл доказал, что функции г находятся многочлен функции п с целыми коэффициентами. Таким образом, мы можем заменить п с неопределенным q, что приводит к Полиномы холла

${displaystyle g_ {mu, u} ^ {lambda} (q) в mathbb {Z} [q].,}$

Далее зал строит ассоциативное кольцо ${displaystyle H}$ над ${displaystyle mathbb {Z} [q]}$, теперь называется Алгебра холла. Это кольцо имеет основу, состоящую из символов ${displaystyle u_ {lambda}}$ а структурные константы умножения в этом базисе задаются полиномами Холла:

${displaystyle u_ {mu} u_ {u} = sum _ {lambda} g_ {mu, u} ^ {lambda} (q) u_ {lambda}.,}$

Оказывается, что ЧАС коммутативное кольцо, свободно порожденное элементами ${displaystyle u_ {mathbf {1} ^ {n}}}$ соответствующий элементарный п-группы. Линейная карта из ЧАС к алгебре симметричные функции определенные на образующих формулой

${displaystyle u_ {mathbf {1} ^ {n}} mapsto q ^ {- n (n-1) / 2} e_ {n},}$

(где е_п это пth элементарная симметричная функция ) однозначно продолжается до кольцевой гомоморфизм и изображения базовых элементов ${displaystyle u_ {lambda}}$ можно интерпретировать через Симметричные функции Холла – Литтлвуда.. Специализация q до 0 эти симметричные функции становятся Функции Шура, которые, таким образом, тесно связаны с теорией многочленов Холла.

использованная литература

• Холл, Филипп (1959), «Алгебра разбиений», Труды 4-го Канадского математического конгресса, Банф, стр. 147–159
• Джордж Люстиг, Колчаны, извращенные пучки и квантованные обертывающие алгебры, Журнал Американского математического общества 4 (1991), нет. 2, 365–421.
• Макдональд, Ян Г. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла, Oxford Mathematical Monographs (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, Г-Н  1354144
• Рингель, Клаус Майкл (1990), «Холловы алгебры и квантовые группы», Inventiones Mathematicae, 101 (3): 583–591, Bibcode:1990InMat.101..583R, Дои:10.1007 / BF01231516, Г-Н  1062796
• Шиффманн, Оливье (2012), "Лекции по холловым алгебрам", Геометрические методы в теории представлений. II, Семин. Congr., 24-II, Париж: Soc. Математика. Франция, стр. 1–141, arXiv:математика / 0611617, Bibcode:2006математика ..... 11617S, Г-Н  3202707
• Стейниц, Эрнст (1901), "Zur Theorie der Abel'schen Gruppen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 9: 80–85