Многочлен Шуберта - Википедия - Schubert polynomial

В математике Полиномы Шуберта являются обобщениями Полиномы Шура представляющие классы когомологий Циклы Шуберта в разновидности флага. Их представил Ласку и Шютценбергер (1982) и названы в честь Герман Шуберт.

Фон

Ласку (1995) описал историю полиномов Шуберта.

Полиномы Шуберта - многочлены от переменных в зависимости от элемента бесконечной симметрической группы всех перестановок фиксация всех элементов, кроме конечного. Они составляют основу кольца многочленов в бесконечном множестве переменных.

Когомологии многообразия флагов является куда идеал, порожденный однородными симметрическими функциями положительной степени. Полином Шуберта - единственный однородный многочлен степени представляющий цикл Шуберта в когомологиях многообразие флагов для всех достаточно больших [нужна цитата ]

Характеристики

  • Если это перестановка наибольшей длины в тогда
  • если , куда это транспозиция и где оператор разделенной разности принимает к .

Многочлены Шуберта могут быть вычислены рекурсивно из этих двух свойств. В частности, это означает, что .

Другие свойства

  • Если это транспозиция , тогда .
  • Если для всех , тогда - многочлен Шура куда это раздел . В частности, все многочлены Шура (от конечного числа переменных) являются многочленами Шуберта.
  • Многочлены Шуберта имеют положительные коэффициенты. Гипотетическое правило для их коэффициентов было предложено Ричард П. Стэнли, и доказано в двух статьях, в одной Сергей Фомин и Стэнли и один Сара Билли, Уильям Джокуш и Стэнли.
  • Многочлены Шуберта можно рассматривать как производящую функцию над некоторыми комбинаторными объектами, называемыми несбыточные мечты или же rc-графики. Они находятся в противоречии с уменьшенные лица Когана, (введено в кандидатскую диссертацию Михаила Когана), которые являются частными гранями многогранника Гельфанда-Цетлина.

В качестве примера

Константы мультипликативной структуры

Поскольку полиномы Шуберта образуют базис, существуют единственные коэффициенты такой, что

Их можно рассматривать как обобщение коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона, описываемых уравнением Правило Литтлвуда – Ричардсона.По репрезентативно-теоретическим причинам.[нужна цитата ], эти коэффициенты являются неотрицательными целыми числами, и это нерешенная проблема в теория представлений и комбинаторика чтобы дать комбинаторное правило для этих чисел.

Двойные многочлены Шуберта

Двойные многочлены Шуберта являются полиномами от двух бесконечных наборов переменных, параметризованных элементом ш бесконечной симметрической группы, которая становится обычными многочленами Шуберта, когда все переменные находятся .

Двойной многочлен Шуберта характеризуются свойствами

  • когда это перестановка на самой длинной длины.
  • если .

Двойные многочлены Шуберта также можно определить как

.

Квантовые полиномы Шуберта

Фомин, Гельфанд и Постников (1997) ввел квантовые полиномы Шуберта, которые имеют такое же отношение к (малые) квантовые когомологии многообразий флагов, которые обычные многочлены Шуберта принадлежат обычным когомологиям.

Универсальные полиномы Шуберта

Фултон (1999) ввел универсальные полиномы Шуберта, обобщающие классические и квантовые полиномы Шуберта. Он также описал универсальные двойные многочлены Шуберта, обобщающие двойные многочлены Шуберта.

Смотрите также

Рекомендации