Правило Мурнагана – Накаямы - Murnaghan–Nakayama rule

В теория групп, раздел математики, Правило Мурнагана – Накаямы это комбинаторный метод вычисления неприводимый характер значения симметричная группа.^[1]Есть несколько обобщений этого правила за пределами теории представлений симметрических групп, но они здесь не рассматриваются.

Неприводимые символы группы представляют интерес для математиков, потому что они кратко суммируют важную информацию о группе, такую как размерности векторных пространств, в которых элементы группы могут быть представлены линейными преобразованиями, которые «смешивают» все измерения. Для многих групп очень сложно вычислить неприводимые значения символов; существование простых формул - скорее исключение, чем правило.

Правило Мурнагана – Накаямы - это комбинаторное правило для вычисления симметричных групповых значений символов χ^λ
_ρ используя особый вид Молодые картины Здесь λ и ρ оба целые разделы некоторого целого числа п, то порядок рассматриваемой симметрической группы. Разбиение λ задает неприводимый характер, а разбиение ρ задает класс сопряженности на элементах группы которых оценивается символ для получения значения символа. Перегородки представлены как слабо убывающий кортежи; например, два из разделов 8 - это (5,2,1) и (3,3,1,1).

Существует две версии правила Мурнагана-Накаямы: нерекурсивная и рекурсивная.

Нерекурсивная версия

Теорема:

{ displaystyle chi _ { rho} ^ { lambda} = sum _ {T in BST ( lambda, rho)} (- 1) ^ {ht (T)}}

где сумма берется по множеству BST (λ, ρ) всех бордюр таблицы формы λ и типа ρ, т. е. каждая таблица Т это таблица такая, что

то k-й ряд Т имеет λ_k коробки
коробки Т заполнены целыми числами, с целым числом я появляется ρ_я раз
целые числа в каждой строке и столбце слабо увеличивается
набор квадратов, заполненных целым числом я сформировать пограничная полоса, то есть связная косая фигура без квадрата 2 × 2.

В высота, ht(T) - сумма высот пограничных полос в Т. Высота пограничной полосы на единицу меньше количества строк, которых она касается.

Из этой теоремы следует, что значения характеров симметрической группы являются целыми числами.

Для некоторых комбинаций λ и ρ нет граничных таблиц. В этом случае в сумме нет членов, и поэтому значение символа равно нулю.

Пример

Рассмотрим вычисление одного из значений характера для симметрической группы порядка 8, когда λ - разбиение (5,2,1), а ρ - разбиение (3,3,1,1). Раздел формы λ указывает, что таблица должна иметь три строки, первая - с 5 блоками, вторая - с 2 блоками, а третья - с 1 блоком. Тип разбиения ρ указывает, что таблица должна быть заполнена тремя единицами, тремя двойками, одной тройкой и одной 4. Таких граничных таблиц шесть:

Если мы назовем это ${ displaystyle T_ {1}}$ , ${ displaystyle T_ {2}}$ , ${ displaystyle T_ {3}}$ , ${ displaystyle T_ {4}}$ , ${ displaystyle T_ {5}}$ , и ${ displaystyle T_ {6}}$ , то их высота равна

${ displaystyle { begin {align} ht (T_ {1}) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1 ht (T_ {2}) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ht (T_ {3}) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ht (T_ {4}) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2 ht (T_ {5}) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2 ht (T_ {6}) = 2 + 1 + 0 + 0 = 3 end {выровнено}}}$

и значение символа, следовательно,

${ Displaystyle чи _ {(3,3,1,1)} ^ {(5,2,1)} = (- 1) ^ {1} + (- 1) ^ {1} + (- 1) ^ {1} + (- 1) ^ {2} + (- 1) ^ {2} + (- 1) ^ {3} = - 1-1-1 + 1 + 1-1 = -2}$

Рекурсивная версия

Теорема:

{ displaystyle chi _ { rho} ^ { lambda} = sum _ { xi in BS ( lambda, rho _ {1})} (- 1) ^ {ht ( xi)} chi _ { rho обратная косая черта rho _ {1}} ^ { lambda backslash xi}}

где сумма берется по множеству BS (λ, ρ₁) пограничных полос внутри диаграммы Юнга формы λ, имеющих ρ₁ коробки и удаление которых оставляет действительную диаграмму Юнга. Обозначение ${ displaystyle lambda backslash xi}$ представляет собой разбиение, полученное в результате удаления граничной полосы ξ из λ. Обозначение ${ displaystyle rho backslash rho _ {1}}$ представляет собой разбиение, полученное в результате удаления первого элемента ρ₁ от ρ.

Обратите внимание, что правая часть представляет собой сумму характеров для симметрических групп, которые имеют меньший порядок, чем у симметрической группы, с которой мы начали с левой стороны. Другими словами, эта версия правила Мурнагана-Накаямы выражает характер симметрической группы S_п через характеры меньших симметрических групп S_k с k<п.

Рекурсивное применение этого правила приведет к созданию дерева оценок значений символов для меньших и меньших разделов. Каждая ветвь останавливается по одной из двух причин: либо в уменьшенной форме отсутствуют граничные полосы необходимой длины, поэтому сумма справа равна нулю, либо граничная полоса, занимающая всю уменьшенную форму, удаляется, оставляя диаграмму Юнга с нет ящиков. На данный момент мы оцениваем χ^λ
_ρ когда и λ, и ρ являются пустым разбиением (), и правило требует, чтобы этот конечный случай определялся как имеющий характер ${ Displaystyle чи _ {()} ^ {()} = 1}$ .

Эта рекурсивная версия правила Мурнагана-Накаямы особенно эффективна для компьютерных вычислений, когда вычисляются таблицы символов для S_k для увеличения значений k и хранит все ранее вычисленные таблицы символов.

Пример

Мы снова вычислим значение символа с λ = (5,2,1) и ρ = (3,3,1,1).

Для начала рассмотрим диаграмму Юнга формы λ. Так как первая часть ρ равна 3, ищите бордюрные полосы, состоящие из трех прямоугольников. Есть две возможности:

На первой диаграмме граничная полоса имеет высоту 0, и ее удаление приводит к уменьшенной форме (2,2,1). На второй схеме граничная полоса имеет высоту 1, и ее удаление приводит к уменьшению формы (5). Следовательно, есть

${ Displaystyle чи _ {(3,3,1,1)} ^ {(5,2,1)} = чи _ {(3,1,1)} ^ {(2,2,1)} - chi _ {(3,1,1)} ^ {(5)}}$ ,