Теория Ивасавы - Iwasawa theory

В теория чисел, Теория Ивасавы изучение арифметических объектов над бесконечным башни из числовые поля. Это началось как Модуль Галуа теория идеальные группы классов, по инициативе Кенкичи Ивасава  (1959 ) (岩 澤 健 吉), как часть теории циклотомические поля. В начале 1970-х гг. Барри Мазур рассмотрел обобщения теории Ивасавы на абелевы разновидности. Совсем недавно (начало 1990-х), Ральф Гринберг предложил теорию Ивасавы для мотивы.

Формулировка

Ивасава работал с так называемыми -расширения: бесконечные расширения числовое поле с Группа Галуа изоморфна аддитивной группе p-адические целые числа для некоторых премьер п. Каждая замкнутая подгруппа группы имеет форму так что по теории Галуа -расширение это то же самое, что и башня из полей

такой, что Ивасава изучал классические модули Галуа над задавая вопросы о структуре модулей над

В более общем плане теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа a. p-адическая группа Ли.

пример

Позволять быть простым числом и пусть быть полем, созданным над посредством корни единства. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей:

где поле, образованное примыканием к то пп+1корни единства и

Дело в том, что следует, по бесконечной теории Галуа, что Чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял идеальную группу классов , и разреши быть его п-кручение части. Есть норма карты всякий раз, когда , и это дает нам данные обратная система. Если мы установим

то из конструкции обратного предела нетрудно видеть, что это модуль над По факту, это модуль над Алгебра Ивасавы . Это 2-х мерный, обычное местное кольцо, и это дает возможность описывать модули над ним. Из этого описания можно восстановить информацию о п-часть классовой группы

Мотивация здесь в том, что п-кручение в идеальной группе классов уже был идентифицирован Куммер как главное препятствие для прямого доказательства Последняя теорема Ферма.

Связи с p-адическим анализом

С этого начала в 1950-х годах была создана основательная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адические L-функции которые были определены в 1960-х годах Кубота и Леопольдт. Последние начинаются с Числа Бернулли, и используйте интерполяция определить p-адические аналоги L-функции Дирихле. Стало ясно, что у теории есть перспектива дальнейшего развития, исходя из результатов столетней давности Куммера. обычные простые числа.

Ивасава сформулировал основная гипотеза теории Ивасавы как утверждение, что два метода определения p-адических L-функций (теорией модулей, интерполяцией) должны совпадать, поскольку это было четко определено. Это было доказано Мазур и Уайлс (1984) за и для всех поля полностью действительных чисел к Уайлс (1990). Эти доказательства были построены по образцу Кен Рибет доказательство обратного к теореме Эрбрана (так называемое Теорема Эрбрана – Рибета. ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса с помощью теории Колывагина. Системы Эйлера, описанный в Ланг (1990) и Вашингтон (1997), а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.

Обобщения

Группа Галуа бесконечной башни, начальное поле и вид изучаемого арифметического модуля могут быть различными. В каждом случае есть главная гипотеза соединение башни с п-адическая L-функция.

В 2002, Кристофер Скиннер и Эрик Урбан потребовал доказательства главная гипотеза за GL (2). В 2010 году они разместили препринт (Скиннер и Урбан 2010 ).

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • де Шалит, Эхуд (1987), Теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. п-адический L функции, Перспективы в математике, 3, Бостон и т. Д .: Academic Press, ISBN  978-0-12-210255-4, Zbl  0674.12004

внешняя ссылка