Теория Ивасавы - Iwasawa theory
В теория чисел, Теория Ивасавы изучение арифметических объектов над бесконечным башни из числовые поля. Это началось как Модуль Галуа теория идеальные группы классов, по инициативе Кенкичи Ивасава (1959 ) (岩 澤 健 吉), как часть теории циклотомические поля. В начале 1970-х гг. Барри Мазур рассмотрел обобщения теории Ивасавы на абелевы разновидности. Совсем недавно (начало 1990-х), Ральф Гринберг предложил теорию Ивасавы для мотивы.
Формулировка
Ивасава работал с так называемыми -расширения: бесконечные расширения числовое поле с Группа Галуа изоморфна аддитивной группе p-адические целые числа для некоторых премьер п. Каждая замкнутая подгруппа группы имеет форму так что по теории Галуа -расширение это то же самое, что и башня из полей
такой, что Ивасава изучал классические модули Галуа над задавая вопросы о структуре модулей над
В более общем плане теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа a. p-адическая группа Ли.
пример
Позволять быть простым числом и пусть быть полем, созданным над посредством корни единства. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей:
где поле, образованное примыканием к то пп+1корни единства и
Дело в том, что следует, по бесконечной теории Галуа, что Чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял идеальную группу классов , и разреши быть его п-кручение части. Есть норма карты всякий раз, когда , и это дает нам данные обратная система. Если мы установим
то из конструкции обратного предела нетрудно видеть, что это модуль над По факту, это модуль над Алгебра Ивасавы . Это 2-х мерный, обычное местное кольцо, и это дает возможность описывать модули над ним. Из этого описания можно восстановить информацию о п-часть классовой группы
Мотивация здесь в том, что п-кручение в идеальной группе классов уже был идентифицирован Куммер как главное препятствие для прямого доказательства Последняя теорема Ферма.
Связи с p-адическим анализом
С этого начала в 1950-х годах была создана основательная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адические L-функции которые были определены в 1960-х годах Кубота и Леопольдт. Последние начинаются с Числа Бернулли, и используйте интерполяция определить p-адические аналоги L-функции Дирихле. Стало ясно, что у теории есть перспектива дальнейшего развития, исходя из результатов столетней давности Куммера. обычные простые числа.
Ивасава сформулировал основная гипотеза теории Ивасавы как утверждение, что два метода определения p-адических L-функций (теорией модулей, интерполяцией) должны совпадать, поскольку это было четко определено. Это было доказано Мазур и Уайлс (1984) за и для всех поля полностью действительных чисел к Уайлс (1990). Эти доказательства были построены по образцу Кен Рибет доказательство обратного к теореме Эрбрана (так называемое Теорема Эрбрана – Рибета. ).
Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса с помощью теории Колывагина. Системы Эйлера, описанный в Ланг (1990) и Вашингтон (1997), а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.
Обобщения
Группа Галуа бесконечной башни, начальное поле и вид изучаемого арифметического модуля могут быть различными. В каждом случае есть главная гипотеза соединение башни с п-адическая L-функция.
В 2002, Кристофер Скиннер и Эрик Урбан потребовал доказательства главная гипотеза за GL (2). В 2010 году они разместили препринт (Скиннер и Урбан 2010 ).
Смотрите также
использованная литература
- Коутс, Дж.; Суджата, Р. (2006), Циклотомические поля и дзета-значения, Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl 1100.11002
- Гринберг, Ральф (2001), «Теория Ивасавы - прошлое и настоящее», в Мияке, Кацуя (ред.), Теория поля классов - ее столетний юбилей и перспективы (Токио, 1998 г.), Adv. Stud. Чистая математика., 30, Токио: Математика. Soc. Япония, стр. 335–385, ISBN 978-4-931469-11-2, Г-Н 1846466, Zbl 0998.11054
- Ивасава, Кенкичи (1959), "О Г-расширениях полей алгебраических чисел", Бюллетень Американского математического общества, 65 (4): 183–226, Дои:10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7, ISSN 0002-9904, Г-Н 0124316, Zbl 0089.02402
- Като, Казуя (2007), «Теория Ивасавы и обобщения» (PDF), в Санс-Соле, Марта; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; и другие. (ред.), Международный конгресс математиков. Vol. я, Евро. Математика. Soc., Zürich, pp. 335–357, Дои:10.4171/022-1/14, ISBN 978-3-03719-022-7, Г-Н 2334196
- Ланг, Серж (1990), Циклотомические поля I и II, Тексты для выпускников по математике, 121, С приложением Карл Рубин (Объединенное 2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl 0704.11038
- Мазур, Барри; Уайлс, Эндрю (1984), "Поля классов абелевых расширений Q", Inventiones Mathematicae, 76 (2): 179–330, Дои:10.1007 / BF01388599, ISSN 0020-9910, Г-Н 0742853, Zbl 0545.12005
- Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, Г-Н 2392026, Zbl 1136.11001
- Рубин, Карл (1991), «« Основные гипотезы »теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей», Inventiones Mathematicae, 103 (1): 25–68, Дои:10.1007 / BF01239508, ISSN 0020-9910, Zbl 0737.11030
- Скиннер, Крис; Урбан, Эрик (2010), Основные гипотезы Ивасавы для GL2 (PDF), п. 219
- Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в круговые поля, Тексты для выпускников по математике, 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
- Уайлс, Эндрю (1990), "Гипотеза Ивасавы для вполне реальных полей", Анналы математики, 131 (3): 493–540, Дои:10.2307/1971468, JSTOR 1971468, Zbl 0719.11071.
дальнейшее чтение
- де Шалит, Эхуд (1987), Теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. п-адический L функции, Перспективы в математике, 3, Бостон и т. Д .: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl 0674.12004
внешняя ссылка
- "Теория Ивасавы", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]