Установить инверсию - Set inversion

В математике установить инверсию проблема характеристики прообраз Икс набора Y функцией ж, т.е. Икс = ж−1(Y) = {Икс ∈ рп | ж(Икс) ∈ Y}. Его также можно рассматривать как проблему описания множества решений количественного ограничения «Y (f (x))», где Y (y) - ограничение, например неравенство, описывающее множество Y.

В большинстве приложений ж это функция от рп к рп и набор Y это коробка рп (т.е. декартово произведение п интервалы р).

Когда ж нелинейна, задача обращения множества решается [1] с помощью интервальный анализ в сочетании с разветвленный алгоритм.[2]

Основная идея заключается в строительстве мощения из Rп сделано с неперекрывающимися коробками. Для каждого ящика [Икс], проводим следующие тесты:

  1. если ж([Икс]) ⊂ Y заключаем, что [Икс] ⊂ Икс;
  2. если ж([Икс]) ∩ Y = ∅ заключаем, что [Икс] ∩ Икс = ∅;
  3. В противном случае поле [Икс] прямоугольник делится пополам, кроме случаев, когда его ширина меньше заданной точности.

Чтобы проверить два первых теста, нам понадобится продление интервала (или функция включения) [ж] для ж. Классифицированные ящики хранятся в подмостки, т.е. объединение неперекрывающихся боксов. Алгоритм можно сделать более эффективным, заменив тесты включения на подрядчики.

пример

Набор Икс = ж−1([4,9]) где ж(Икс1, Икс2) = Икс2
1 + Икс2
2 представлен на рисунке.

Например, поскольку [−2,1]2 + [4,5]2 = [0,4] + [16,25] = [16,29] не пересекает интервал [4,9], заключаем, что бокс [-2,1] × [4,5] находится вне Икс. Поскольку [−1,1]2 + [2,√5]2 = [0,1] + [4,5] = [4,6] находится внутри [4,9], мы заключаем, что весь ящик [-1,1] × [2,√5] это внутри Икс.

Кольцо, определяемое как задача обращения множества

заявка

Инверсия набора в основном используется для планирование пути, для нелинейного параметра установить оценку [3] [4], для локализации [5][6] или для характеристики областей устойчивости линейных динамических систем.[7].

использованная литература

  1. ^ Jaulin, L .; Уолтер, Э. (1993). «Установить инверсию с помощью интервального анализа для нелинейной оценки ограниченной ошибки» (PDF). Automatica. 29 (4): 1053–1064. Дои:10.1016/0005-1098(93)90106-4.
  2. ^ Jaulin, L .; Kieffer, M .; Didrit, O .; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ. Берлин: Springer. ISBN  1-85233-219-0.
  3. ^ Jaulin, L .; Godet, J.L; Walter, E .; Elliasmine, A .; Ледафф, Ю. (1997). «Анализ данных о светорассеянии с помощью инверсии множества» (PDF). Журнал физики A: математические и общие. 30: 7733–7738. Bibcode:1997JPhA ... 30.7733J. Дои:10.1088/0305-4470/30/22/012.
  4. ^ Braems, I .; Berthier, F .; Jaulin, L .; Kieffer, M .; Уолтер, Э. (2001). «Гарантированная оценка электрохимических параметров путем инверсии набора с использованием интервального анализа» (PDF). Журнал электроаналитической химии. 495 (1).
  5. ^ Colle, E .; Галерн, С. (2013). «Локализация мобильного робота методом мультиангуляции с использованием инверсии множеств». Робототехника и автономные системы. 66 (1). Дои:10.1016 / j.robot.2012.09.006.
  6. ^ Drevelle, V .; Боннифайт, доктор наук (2011). «Подход с набором членства для высоконадежного спутникового позиционирования с помощью высоты». Решения GPS. 15 (4).
  7. ^ Walter, E .; Жаулин, Л. (1994). «Гарантированная характеристика областей устойчивости посредством инверсии множеств» (PDF). IEEE Trans. Автомат. Контроль. 39 (4).