Изображение (теория категорий) - Image (category theory)

Позволять ${ Displaystyle альфа, , бета}$ быть таким, чтобы ${ Displaystyle альфа , е = бета , е}$, нужно показать, что ${ Displaystyle альфа = бета}$. Поскольку эквалайзер ${ Displaystyle ( альфа, бета)}$ существуют, ${ displaystyle e}$ факторизуется как ${ Displaystyle е = д , е '}$ с ${ displaystyle q}$ моник. Но потом ${ Displaystyle е = (м , д) , е '}$ это факторизация ${ displaystyle f}$ с ${ Displaystyle (м , д)}$ мономорфизм. Следовательно, по универсальному свойству изображения существует единственная стрелка ${ displaystyle v: I to Eq _ { alpha, beta}}$ такой, что ${ Displaystyle м = м , д , v}$ и с тех пор ${ displaystyle m}$ моник ${ displaystyle { text {id}} _ {I} = q , v}$. Кроме того, есть ${ Displaystyle м , д = (mqv) , д}$ и по свойству мономорфизма ${ displaystyle mq}$ можно получить ${ displaystyle { text {id}} _ {Eq _ { alpha, beta}} = v , q}$.

Это означает, что ${ Displaystyle I Equiv Eq _ { alpha, beta}}$ и таким образом ${ displaystyle { text {id}} _ {I} = q , v}$ уравнивает ${ Displaystyle ( альфа, бета)}$откуда ${ Displaystyle альфа = бета}$.

Первое определение подразумевает второе: Предположить, что (1) держит с ${ displaystyle m}$ регулярный мономорфизм.

• Выравнивание: нужно показать, что ${ Displaystyle i_ {1} , m = i_ {2} , m}$ . Поскольку пара коядра ${ Displaystyle f, i_ {1} , f = i_ {2} , f}$ и по предыдущему предложению, поскольку ${ displaystyle C}$ есть все эквалайзеры, стрелка ${ displaystyle e}$ в факторизации ${ displaystyle f = m , e}$ является эпиморфизм, следовательно ${ Displaystyle i_ {1} , f = i_ {2} , f Rightarrow i_ {1} , m = i_ {2} , m}$.
• Универсальность: в категории со всеми копределами (или хотя бы со всеми выталкиваемыми) ${ displaystyle m}$ сам допускает коядровую пару ${ displaystyle (Y sqcup _ {I} Y, c_ {1}, c_ {2})}$

Более того, как регулярный мономорфизм ${ Displaystyle (я, м)}$ является уравнителем пары морфизмов ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}: Y longrightarrow B}$ но мы утверждаем здесь, что это также уравнитель ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}: Y longrightarrow Y sqcup _ {I} Y}$.

Действительно, по построению ${ displaystyle b_ {1} , m = b_ {2} , m}$ таким образом, диаграмма "пары коядров" для ${ displaystyle m}$ дает уникальный морфизм ${ displaystyle u ': Y sqcup _ {I} Y longrightarrow B}$ такой, что ${ displaystyle b_ {1} = u ', c_ {1}, b_ {2} = u' , c_ {2}}$. Теперь карта ${ displaystyle m ': I' longrightarrow Y}$ что уравнивает ${ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ также удовлетворяет ${ displaystyle b_ {1} , m '= u' , c_ {1} , m '= u' , c_ {2} , m '= b_ {2} , m'}$, следовательно, по диаграмме эквалайзера для ${ displaystyle (b_ {1}, b_ {2})}$, существует уникальная карта ${ displaystyle h ': I' to I}$ такой, что ${ displaystyle m '= m , h'}$.

Наконец, используйте диаграмму пары коядров (из ${ displaystyle f}$) с ${ displaystyle j_ {1}: = c_ {1}, j_ {2}: = c_ {2}, Z: = Y sqcup _ {I} Y}$ : существует уникальный ${ displaystyle u: Y sqcup _ {X} Y longrightarrow Y sqcup _ {I} Y}$ такой, что ${ displaystyle c_ {1} = u , i_ {1}, c_ {2} = u , i_ {2}}$. Следовательно, любая карта ${ displaystyle g}$ что уравнивает ${ Displaystyle (я_ {1}, я_ {2})}$ также уравнивает ${ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ и, таким образом, однозначно факторизуется как ${ Displaystyle г = м , ч '}$. Это точно означает, что ${ Displaystyle (я, м)}$ эквалайзер ${ Displaystyle (я_ {1}, я_ {2})}$.

Второе определение подразумевает первое:

• Факторизация: принимая ${ displaystyle m ': = f}$ на схеме эквалайзера (${ displaystyle m '}$ соответствует ${ displaystyle g}$), получаем факторизацию ${ displaystyle f = m , h}$.
• Универсальность: позволять ${ displaystyle f = m ', e'}$ быть факторизацией с ${ displaystyle m '}$ регулярный мономорфизм, т.е. уравнитель некоторой пары ${ displaystyle (d_ {1}, d_ {2})}$.

потом ${ Displaystyle d_ {1} , m '= d_ {2} , m' Rightarrow d_ {1} , f = d_ {1} , m ', e = d_ {2} , m ', e = d_ {2} , f}$ так что по диаграмме "пары коядров" ( ${ displaystyle f}$), с ${ Displaystyle j_ {1}: = d_ {1}, j_ {2}: = d_ {2}, Z: = D}$, существует единственный ${ displaystyle u '': Y sqcup _ {X} Y longrightarrow D}$ такой, что ${ displaystyle d_ {1} = u '' , i_ {1}, d_ {2} = u '' , i_ {2}}$.

Теперь из ${ Displaystyle i_ {1} , m = i_ {2} , m}$ (м от эквалайзера (я₁, я₂) диаграмма), получаем ${ Displaystyle d_ {1} , m = u '' , i_ {1} , m = u '' , i_ {2} , m = d_ {2} , m}$, следовательно, в силу универсальности в уравнителе (d₁, d₂) диаграмма с ж заменен на м) существует единственная ${ displaystyle v: Im longrightarrow I '}$ такой, что ${ Displaystyle м = м ', v}$.