Список установленных идентичностей и отношений - List of set identities and relations

В этой статье перечислены математический свойства и законы наборы, включающий теоретико-множественные операции из союз, пересечение, и дополнение и связи набора равенство и установить включение. Он также предоставляет систематические процедуры для оценки выражений и выполнения вычислений, включающих эти операции и отношения.

В бинарные операции набора союз (${ Displaystyle чашка}$) и пересечение (${ displaystyle cap}$) удовлетворить многие идентичности. Некоторые из этих идентичностей или «законов» имеют хорошо известные названия.

Обозначение

В этой статье заглавные буквы, например ${ displaystyle A, B, C,}$ и ${ displaystyle X}$ будем обозначать множества, а ${ Displaystyle WP (X)}$ будет обозначать набор мощности из ${ displaystyle X.}$ Если это необходимо, то, если не указано иное, следует предположить, что ${ displaystyle X}$ обозначает набор вселенной, что означает, что все множества, которые используются в формуле, являются подмножествами ${ displaystyle X.}$ В частности, дополнение набора ${ displaystyle A}$ будем обозначать ${ displaystyle A ^ {C}}$ где, если не указано иное, следует предположить, что ${ displaystyle A ^ {C}}$ обозначает дополнение ${ displaystyle A}$ в (вселенная) ${ displaystyle X.}$

Для наборов ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B,}$ определить:

${ displaystyle { begin {alignat} {4} A cup B && ~ = ~ {~ x ~: ~ x in A ; && { text {or}} ; , && ; x in B ~ } A cap B && ~ = ~ {~ x ~: ~ x in A ; && { text {and}} && ; x in B ~ } A setminus B && ~ = ~ {~ x ~: ~ x in A ; && { text {and}} && ; x notin B ~ }. end {alignat}}}$

В симметричная разница из ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ является:^[1][2]

${ Displaystyle { begin {alignat} {4} A ; треугольник ; B ~ & = ~ (A ~ setminus ~ && B) ~ cup ~ && (B ~ setminus ~ && A) ~ & = ~ (A ~ чашка ~ && B) ~ setminus ~ && (A ~ cap ~ && B) end {alignat}}}$

и дополнение набора ${ displaystyle B}$ является:

${ Displaystyle B ^ {C} = X setminus B}$

где ${ Displaystyle B substeq X.}$ Это определение может зависеть от контекста. Например, имел ${ displaystyle B}$ был объявлен как подмножество ${ displaystyle Y,}$ с наборами ${ displaystyle Y}$ и ${ displaystyle X}$ не обязательно связаны друг с другом каким-либо образом, тогда ${ displaystyle B ^ {C}}$ вероятно будет означать ${ Displaystyle Y setminus B}$ вместо того ${ Displaystyle X setminus B.}$

Алгебра множеств

А семья ${ displaystyle Phi}$ подмножеств набора ${ displaystyle X}$ считается алгебра множеств если ${ displaystyle varnothing in Phi}$ и для всех ${ displaystyle A, B in Phi,}$ все три набора ${ Displaystyle X setminus A,}$ ${ displaystyle A cap B,}$ и ${ Displaystyle A чашка B}$ являются элементами ${ displaystyle Phi.}$^[3] В статья по этой теме Списки устанавливают личности и другие отношения этих трех операций.

Каждая алгебра множеств также является кольцо множеств^[3] и π-система.

Алгебра, порожденная семейством множеств

Учитывая любую семью ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ подмножеств ${ displaystyle X,}$ есть уникальный самый маленький^{[примечание 1]} алгебра множеств в ${ displaystyle X}$ содержащий ${ displaystyle { mathcal {S}}.}$^[3] Это называется алгебра, порожденная ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ и обозначим его ${ displaystyle Phi _ { mathcal {S}}.}$ Эта алгебра может быть построена следующим образом:^[3]

1. Если ${ Displaystyle { mathcal {S}} = varnothing}$ тогда ${ Displaystyle Phi _ { mathcal {S}} = left { varnothing, X right }}$ и мы закончили. В качестве альтернативы, если ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ тогда пусто ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ может быть заменен на ${ displaystyle left { varnothing right },}$ ${ displaystyle left {X right },}$ или ${ displaystyle left { varnothing, X right }}$ и продолжаем строительство.
2. Позволять ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0}}$ быть семьей всех наборов в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ вместе с их дополнениями (взятыми в ${ displaystyle X}$).
3. Позволять ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ - семейство всевозможных конечных пересечений множеств в ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0}.}$^{[заметка 2]}
4. Тогда алгебра, порожденная ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ это набор ${ Displaystyle Phi _ { mathcal {S}}}$ состоящий из всевозможных конечных объединений множеств в ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}.}$

Базовый набор отношений

Коммутативность:^[4]

• ${ Displaystyle A чашка B = B чашка A}$
• ${ Displaystyle A cap B = B cap A}$
• ${ Displaystyle А , треугольник В = В , треугольник А}$

Ассоциативность:^[4]

• ${ Displaystyle (A чашка B) чашка C = A чашка (B чашка C)}$
• ${ displaystyle (A cap B) cap C = A cap (B cap C)}$
• ${ Displaystyle (А , треугольник В) , треугольник С = А , треугольник (В , треугольник С)}$

Распределительность:^[4]

• ${ Displaystyle A чашка (B крышка C) = (A чашка B) крышка (A чашка C)}$
• ${ Displaystyle A крышка (B чашка C) = (A cap B) чашка (A cap C)}$
• ${ Displaystyle А крышка (В , треугольник С) = (А крышка В) , треугольник (А крышка С)}$
• ${ Displaystyle А раз (В крышка С) = (А раз В) крышка (А раз С)}$
• ${ Displaystyle А раз (В чашка С) = (А раз В) чашка (А раз С)}$
• ${ Displaystyle A раз (B , setminus C) = (A times B) , setminus (A times C)}$

Личность:^[4]

• ${ Displaystyle A чашка varnothing = A}$
• ${ Displaystyle A cap X = A}$
• ${ Displaystyle A , треугольник varnothing = A}$

Дополнение:^[4]

• ${ Displaystyle A чашка A ^ {C} = X}$
• ${ Displaystyle A cap A ^ {C} = varnothing}$
• ${ Displaystyle A , треугольник A ^ {C} = X}$

Идемпотент:^[4]

• ${ Displaystyle A чашка A = A}$
• ${ Displaystyle A cap A = A}$

Доминирование:^[4]

• ${ Displaystyle A чашка X = X}$
• ${ displaystyle A cap varnothing = varnothing}$
• ${ displaystyle A times varnothing = varnothing}$

Законы поглощения:

• ${ Displaystyle A чашка (A крышка B) = A}$
• ${ Displaystyle A крышка (A чашка B) = A}$

Алгебра включения

Следующее предложение говорит, что бинарное отношение из включение это частичный заказ.^[4]

Рефлексивность:

• ${ displaystyle A substeq A}$

Антисимметрия:

• ${ displaystyle A substeq B}$ и ${ Displaystyle B substeq A}$ если и только если ${ displaystyle A = B}$

Транзитивность:

• Если ${ displaystyle A substeq B}$ и ${ Displaystyle B substeq C,}$ тогда ${ displaystyle A substeq C}$

Следующее предложение говорит, что для любого множества ${ displaystyle S,}$ то набор мощности из ${ displaystyle S,}$ упорядоченный по включению, является ограниченная решетка, и, следовательно, вместе с законами распределения и дополнения, приведенными выше, показывают, что это Булева алгебра.

Существование наименьший элемент и величайший элемент:

• ${ Displaystyle varnothing substeq A substeq X}$

Существование присоединяется:^[4]

• ${ Displaystyle A substeq A чашка B}$
• Если ${ displaystyle A substeq C}$ и ${ Displaystyle B substeq C}$ тогда ${ Displaystyle A чашка B substeq C}$

Существование встречает:^[4]

• ${ Displaystyle A cap B substeq A}$
• Если ${ Displaystyle C substeq A}$ и ${ Displaystyle C substeq B}$ тогда ${ Displaystyle C substeq A cap B}$

• Если ${ Displaystyle A substeq X}$ и ${ displaystyle B substeq Y}$ тогда ${ Displaystyle А раз В подстекла Х раз Y}$^[4]

Следующие варианты эквивалентны:^[4]

1. ${ displaystyle A substeq B}$
2. ${ Displaystyle A cap B = A}$
3. ${ Displaystyle A чашка B = B}$
4. ${ Displaystyle A setminus B = varnothing}$
5. ${ displaystyle B ^ {C} substeq A ^ {C}}$

Выражения основных операций над множеством

${ Displaystyle { begin {alignat} {5} A cap B & = A && , , setminus , && (A && , , setminus && B) & = B && , , setminus , && (B && , , setminus && A) & = A && , , setminus , && (A && , треугольник , && B) & = A && , треугольник , && (A && , , setminus && B) end {alignat}}}$

${ displaystyle { begin {alignat} {5} A cup B & = && A && , , cup && (A && , треугольник , && B) & = (&& A , треугольник , B) && , треугольник , && (A && , , cap && B) конец {выровненный}}}$

${ displaystyle { begin {alignat} {5} A setminus B & = && A && , , setminus && (A && , , cap && B) & = && A && , , cap && (A && , треугольник , && B) & = && A && , треугольник , && (A && , , cap && B) & = && B && , треугольник , && (A && , , чашка && B ) конец {выровненный}}}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {5} A , треугольник , B & = && B , треугольник , A &&&& & = (&& A , cup , B) && , , setminus , (&& A , , cap , B) & = (&& A ^ {C}) && , треугольник , (&& B ^ {C}) & = (&& A , треугольник , C) && , треугольник , (&& C , треугольник , B) конец {выровненный}}}$

Относительные дополнения

${ displaystyle { begin {alignat} {2} A setminus B & = A setminus (A cap B) end {alignat}}}$

Пересечение можно выразить через разность множеств:

${ displaystyle { begin {alignat} {2} A cap B & = A setminus (A setminus B) & = B setminus (B setminus A) end {alignat}}}$

Установить вычитание и пустой набор:^[4]

${ displaystyle A setminus varnothing = A}$

${ displaystyle { begin {alignat} {2} varnothing & = A && setminus A & = varnothing && setminus A & = A && setminus X ~~~~ { text {where}} A subteq X конец {выровненный}}}$

Идентичности, включающие вычитание множества, за которым следует вторая операция над множеством

В левых частях следующих тождеств ${ displaystyle L}$ это L Eft Most Set, ${ displaystyle M}$ это M холостой ход, и ${ displaystyle R}$ это р самый набор.

${ displaystyle { begin {alignat} {3} L setminus (M cup R) & = (L setminus M) && , cap , (&& L setminus R) ~~~~ { text { (Закон Де Моргана)}} & = (L setminus M) && , , setminus && R & = (L setminus R) && , , setminus && M конец {выровнено} }}$

${ displaystyle { begin {alignat} {2} L setminus (M cap R) & = (L setminus M) cup (L setminus R) ~~~~ { text {(закон Де Моргана) }} конец {выровненный}}}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} L setminus (M setminus R) & = (L setminus M) cup (L cap R) end {alignat}}}$

• Так что если ${ Displaystyle L substeq M}$ тогда ${ Displaystyle L setminus (M setminus R) = L cap R}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} L setminus (M ~ треугольник ~ R) & = (L setminus (M cup R)) чашка (L cap M cap R) ~~~ { text {(самое внешнее объединение не пересекается)}} end {alignat}}}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} left (L setminus M right) cup R & = (L cup R) setminus (M setminus R) & = (L setminus (M cup R)) cup R ~~~~~ { text {(самое внешнее объединение не пересекается)}} end {alignat}}}$

${ displaystyle { begin {alignat} {2} (L setminus M) cap R & = (&& L cap R) setminus (M cap R) ~~~ { text {(закон распределения}} cap { text {over}} setminus { text {)}} & = (&& L cap R) setminus M & = && L cap (R setminus M) конец {выровнено} }}$^[5]

${ displaystyle { begin {alignat} {2} (L setminus M) setminus R & = && L setminus (M cup R) & = (&& L setminus M) cap (L setminus R) & = (&& L setminus R) setminus M конец {выровненный}}}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} (L setminus M) ~ треугольник ~ R & = (L setminus (M cup R)) cup (R setminus L) cup (L cap M cap R) ~~~ { text {(три крайних набора попарно не пересекаются)}} end {alignat}}}$

Идентичности, включающие операцию над множеством с последующим вычитанием множества

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} (L cup M) setminus R & = (L setminus R) cup (M setminus R) end {alignat}}}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} (L cap M) setminus R & = (&& L setminus R) && cap (M setminus R) & = && L && cap (M setminus R) & = && M && cap (L setminus R) end {alignat}}}$

${ Displaystyle { begin {alignat} {2} (L , треугольник , M) setminus R & = (L setminus R) ~ && треугольник ~ (M setminus R) & = (L чашка R) ~ && треугольник ~ (M чашка R) конец {выровненный}}}$

${ displaystyle { begin {alignat} {3} L cup (M setminus R) & = &&&& L && cup ; && (M setminus (R cup L)) && ~~~ { text {( внешнее объединение не пересекается)}} & = [&& (&& L setminus M) && cup ; && (R cap L)] cup (M setminus R) && ~~~ { text {( внешнее объединение не пересекается)}} & = && (&& L setminus (M cup R)) ; && ; cup && (R cap L) , , cup (M setminus R) && ~~~ { text {(три крайних набора попарно не пересекаются)}} end {alignat}}}$

${ displaystyle { begin {alignat} {2} L cap (M setminus R) & = (&& L cap M) && setminus (L cap R) ~~~ { text {(закон распределения} } cap { text {over}} setminus { text {)}} & = (&& L cap M) && setminus R & = && M && cap (L setminus R) & = (&& L setminus R) && cap (M setminus R) end {alignat}}}$^[5]

Если ${ Displaystyle L substeq M}$ тогда ${ Displaystyle L setminus R = L cap (M setminus R).}$^[5]

Дополнения в наборе вселенной

Предположим, что ${ displaystyle A, B, C substeq X.}$

${ displaystyle A ^ {C} = X setminus A}$ (по определению этого обозначения)

Законы де Моргана:

• ${ Displaystyle (A чашка B) ^ {C} = A ^ {C} cap B ^ {C}}$
• ${ Displaystyle (A крышка B) ^ {C} = A ^ {C} чашка B ^ {C}}$

Двойное дополнение или инволюция закон:

• ${ displaystyle {(A ^ {C})} ^ {C} = A}$

Законы дополнения для множества вселенной и пустого множества:

• ${ displaystyle varnothing ^ {C} = X}$
• ${ displaystyle X ^ {C} = varnothing}$

Уникальность дополнений:

• Если ${ Displaystyle A чашка B = X}$ и ${ Displaystyle A cap B = varnothing}$ тогда ${ displaystyle B = A ^ {C}}$

Дополнения и вычитание множеств

• ${ Displaystyle B setminus A = A ^ {C} cap B}$

• ${ Displaystyle (B setminus A) ^ {C} = A чашка B ^ {C}}$

• ${ Displaystyle B ^ {C} setminus A ^ {C} = A setminus B}$

Произвольные семейства множеств

Позволять ${ displaystyle left (A_ {i} right) _ {i in I},}$ ${ displaystyle left (B_ {j} right) _ {j in J},}$ и ${ displaystyle left (S_ {i, j} right) _ {(i, j) in I times J}}$ быть семейства наборов. Всякий раз, когда требуется предположение, все наборы индексации, такие как ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J,}$ считаются непустыми.

Определения

Определение произвольных союзов

${ displaystyle bigcup _ {i in I} A_ {i} ~~ двоеточие = ~ {x ~: ~ { text {там существует}} i in I { text {такое, что}} x в A_ {i} }}$[4]

(Def. 1)

Если ${ displaystyle I = varnothing}$ тогда ${ displaystyle bigcup _ {i in varnothing} A_ {i} = {x ~: ~ { text {там существует}} i in varnothing { text {такое, что}} x in A_ { i} } = varnothing,}$ что-то называется недействительное союзное соглашение (несмотря на то, что это равенство называется условным, это равенство следует из определения).

Определены произвольные пересечения

Если ${ displaystyle I neq varnothing}$ тогда^[4]

${ displaystyle bigcap _ {i in I} A_ {i} ~~ двоеточие = ~ {x ~: ~ x in A_ {i} { text {для каждого}} i in I } ~ = ~ {x ~: ~ { text {для всех}} i, { text {if}} i in I { text {then}} x in A_ {i} }.}$

(Def. 2)

Нулевые пересечения

Если ${ displaystyle I = varnothing}$ тогда

${ displaystyle bigcap _ {i in varnothing} A_ {i} = {x ~: ~ { text {для всех}} i, { text {if}} i in varnothing { text { then}} x in A_ {i} }}$

где все возможное ${ displaystyle x}$ во вселенной бессмысленно выполнено условие: "${ Displaystyle х в А_ {я}}$ для каждого ${ displaystyle i in varnothing}$". Вследствие этого, ${ displaystyle bigcap _ {i in varnothing} A_ {i} = {x ~: ~ { text {для всех}} i, { text {if}} i in varnothing { text { then}} x in A_ {i} } = {x: { text {для всех}} i, { text {true}} }}$ состоит из все во вселенной.

Так что если ${ displaystyle I = varnothing}$ и:

1. если вы работаете в модель в котором есть некоторые вселенная набор ${ displaystyle X}$ тогда ${ displaystyle bigcap _ {i in varnothing} A_ {i} = {x ~: ~ x in A_ {i} { text {для каждого}} i in varnothing } ~ = ~ X .}$
2. в противном случае, если вы работаете в модель в котором "класс всех вещей ${ displaystyle x}$"не является набором (это наиболее распространенная ситуация), то ${ Displaystyle bigcap _ {я в varnothing} A_ {я}}$ является неопределенный. Это потому что ${ displaystyle bigcap _ {i in varnothing} A_ {i} = {x ~: ~ { text {для всех}} i, { text {if}} i in varnothing { text { then}} x in A_ {i} }}$ состоит из все, что делает ${ Displaystyle bigcap _ {я в varnothing} A_ {я}}$ а правильный класс и не множество.

Предположение: Отныне всякий раз, когда формула требует, чтобы некоторый набор индексации был непустым, чтобы произвольное пересечение было четко определено, это будет автоматически приниматься без упоминания.

Следствием этого является следующее предположение / определение:

А конечное пересечение наборов или пересечение конечного числа множеств относится к пересечению конечного набора один или больше наборы.

Некоторые авторы применяют так называемый нулевое пересечение соглашение, которое является условием, что пустое пересечение множеств равно некоторому каноническому множеству. В частности, если все множества являются подмножествами некоторого множества ${ displaystyle X}$ тогда какой-нибудь автор может объявить, что пустое пересечение этих множеств равно ${ displaystyle X.}$ Однако соглашение о нулевом пересечении не является общепринятым, и эта статья не будет принимать его (это связано с тем, что, в отличие от пустого объединения, значение пустого пересечения зависит от Икс поэтому, если вокруг есть несколько множеств, что является обычным явлением, тогда значение пустого пересечения может стать неоднозначным).

Коммутативность и ассоциативность

${ displaystyle bigcup _ { stackrel {i in I,} {j in J}} S_ {i, j} ~~ двоеточие = ~ bigcup _ {(i, j) in I times J } S_ {i, j} ~ = ~ bigcup _ {i in I} left ( bigcup _ {j in J} S_ {i, j} right) ~ = ~ bigcup _ {j in J} left ( bigcup _ {i in I} S_ {i, j} right)}$^[4]

${ displaystyle bigcap _ { stackrel {i in I,} {j in J}} S_ {i, j} ~~ двоеточие = ~ bigcap _ {(i, j) in I times J } S_ {i, j} ~ = ~ bigcap _ {i in I} left ( bigcap _ {j in J} S_ {i, j} right) ~ = ~ bigcap _ {j in J} left ( bigcap _ {i in I} S_ {i, j} right)}$^[4]

Союзы союзов и пересечения перекрестков

${ displaystyle left ( bigcup _ {я in I} A_ {i} right) чашка B ~ = ~ bigcup _ {я in I} left (A_ {i} cup B right) }$^[4]

${ displaystyle left ( bigcap _ {я in I} A_ {i} right) cap B ~ = ~ bigcap _ {i in I} left (A_ {i} cap B right) }$^[4]

${ displaystyle left ( bigcup _ {я in I} A_ {i} right) cup left ( bigcup _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcup _ { stackrel {i in I,} {j in J}} left (A_ {i} cup B_ {j} right)}$[4]

(Уравнение 2а)

${ displaystyle left ( bigcap _ {i in I} A_ {i} right) cap left ( bigcap _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcap _ { stackrel {i in I,} {j in J}} left (A_ {i} cap B_ {j} right)}$[4]

(Уравнение 2b)

и если ${ displaystyle I = J}$ тогда также:^{[заметка 3]}

${ displaystyle left ( bigcup _ {я in I} A_ {i} right) cup left ( bigcup _ {я in I} B_ {i} right) ~ = ~ bigcup _ { i in I} left (A_ {i} cup B_ {i} right)}$[4]

(Уравнение 2c)

${ displaystyle left ( bigcap _ {я in I} A_ {i} right) cap left ( bigcap _ {я in I} B_ {i} right) ~ = ~ bigcap _ { i in I} left (A_ {i} cap B_ {i} right)}$[4]

(Уравнение 2d)

Распределительные союзы и пересечения

Пересечение произвольных союзов

${ displaystyle left ( bigcup _ {я in I} A_ {i} right) cap B ~ = ~ bigcup _ {i in I} left (A_ {i} cap B right) }$

(Уравнение 3а)

${ displaystyle left ( bigcup _ {i in I} A_ {i} right) cap left ( bigcup _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcup _ { stackrel {i in I,} {j in J}} left (A_ {i} cap B_ {j} right)}$[5]

(Уравнение 3b)

Главное, если ${ displaystyle I = J}$ тогда вообще ${ displaystyle ~ left ( bigcup _ {i in I} A_ {i} right) cap left ( bigcup _ {i in I} B_ {i} right) ~~ neq ~~ bigcup _ {i in I} left (A_ {i} cap B_ {i} right) ~}$ (посмотри это^{[примечание 4]} сноска для примера). Единственный союз на правой стороне должен быть над всеми парами ${ displaystyle (i, j) in I times I}$: ${ displaystyle ~ left ( bigcup _ {i in I} A_ {i} right) cap left ( bigcup _ {i in I} B_ {i} right) ~ = ~ bigcup _ { stackrel {i in I,} {j in I}} left (A_ {i} cap B_ {j} right). ~}$ То же самое обычно верно для других аналогичных нетривиальных наборов равенств и отношений, которые зависят от двух (потенциально не связанных) наборов индексации. ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ (такие как Уравнение 4b или Уравнение 7 г^[5]). Два исключения: Уравнение 2c (союзы союзов) и Уравнение 2d (пересечения пересечений), но оба они являются одними из самых тривиальных из множества равенств, и более того, даже для этих равенств есть еще кое-что, что необходимо доказать.^{[заметка 3]}

Объединение произвольных пересечений

${ displaystyle left ( bigcap _ {я in I} A_ {i} right) чашка B ~ = ~ bigcap _ {я in I} left (A_ {i} cup B right) }$

(Уравнение 4а)

${ displaystyle left ( bigcap _ {я in I} A_ {i} right) cup left ( bigcap _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcap _ { stackrel {i in I,} {j in J}} left (A_ {i} cup B_ {j} right)}$[5]

(Уравнение 4b)

Произвольные пересечения и произвольные союзы

Всегда имеет место следующее включение:

${ displaystyle bigcup _ {я in I} left ( bigcap _ {j in J} S_ {i, j} right) ~ substeq ~ bigcap _ {j in J} left ( bigcup _ {i in I} S_ {i, j} right)}$

(Включение 1 ∪∩ ⊆ ∩∪)

В общем, равенство не обязательно, и, более того, правая часть зависит от того, как для каждого фиксированного ${ displaystyle i in I,}$ наборы ${ displaystyle left (S_ {i, j} right) _ {j in J}}$ помечены (см. эту сноску^{[примечание 5]} в качестве примера), и аналогичное утверждение также верно и для левой части. Равенство может сохраняться при определенных обстоятельствах, например, в 7e и 7f, которые соответственно являются частными случаями, когда ${ Displaystyle S_ {я, j} двоеточие = A_ {i} setminus B_ {j}}$ и ${ displaystyle left ({ hat {S}} _ {j, i} right) _ {(j, i) in J times I} двоеточие = left (A_ {i} setminus B_ { j} right) _ {(j, i) in J times I}}$ (для 7f, ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ меняются местами).

Для равенства множеств, расширяющего законы распределения, подход, отличный от простого переключения ∪ и ∩ необходим. Предположим, что для каждого ${ displaystyle i in I,}$ есть некоторый непустой индексный набор ${ displaystyle J_ {i}}$ и для каждого ${ displaystyle j in J_ {i},}$ позволять ${ displaystyle R_ {i, j}}$ быть любым набором (например, с ${ displaystyle left (S_ {i, j} right) _ {(i, j) in I times J}}$ использовать ${ displaystyle J_ {i} двоеточие = J}$ для всех ${ displaystyle i in I}$ и использовать ${ Displaystyle R_ {я, j} двоеточие = S_ {я, j}}$ для всех ${ displaystyle i in I}$ и все ${ displaystyle j in J_ {i} = J}$). Позволять

${ Displaystyle { mathcal {F}} ~ двоеточие = ~ prod _ {я in I} J_ {я}}$

быть Декартово произведение, который можно интерпретировать как набор всех функций ${ displaystyle f ~: ~ I ~ to ~ bigcup _ {i in I} J_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle f (i) in J_ {i}}$ для каждого ${ displaystyle i in I.}$ потом

${ displaystyle bigcap _ {я in I} left [; bigcup _ {j in J_ {i}} R_ {i, j} right] = bigcup _ {f in { mathcal { F}}} left [; bigcap _ {i in I} R_ {i, f (i)} right]}$

(Уравнение 5 ∩∪ → ∪∩)

${ displaystyle bigcup _ {я in I} left [; bigcap _ {j in J_ {i}} R_ {i, j} right] = bigcap _ {f in { mathcal { F}}} left [; bigcup _ {i in I} R_ {i, f (i)} right]}$

(Уравнение 6 ∪∩ → ∩∪)

где ${ displaystyle { mathcal {F}} ~ = ~ prod _ {i in I} J_ {i}.}$

Пример приложения: В частном случае, когда все ${ displaystyle J_ {i}}$ равны (то есть ${ displaystyle J_ {i} = J_ {i_ {2}}}$ для всех ${ displaystyle i, i_ {2} in I,}$ что в случае с семьей ${ displaystyle left (S_ {i, j} right) _ {(i, j) in I times J}}$), то позволяя ${ displaystyle J}$ обозначая этот общий набор, этот набор ${ Displaystyle { mathcal {F}} ~ двоеточие = ~ prod _ {я in I} J_ {я}}$ будет ${ displaystyle { mathcal {F}} = J ^ {I}}$; это ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ будет набор всех функций вида ${ displaystyle f ~: ~ I ~ to ~ J.}$ Приведенные выше равенства Уравнение 5 ∩∪ → ∪∩ и Уравнение 6 ∪∩ → ∩∪, соответственно становятся:

• ${ displaystyle bigcap _ {я in I} left [; bigcup _ {j in J} S_ {i, j} right] = bigcup _ {f in J ^ {I}} left [; bigcap _ {i in I} S_ {i, f (i)} right]}$^[4]

• ${ displaystyle bigcup _ {я in I} left [; bigcap _ {j in J} S_ {i, j} right] = bigcap _ {f in J ^ {I}} left [; bigcup _ {i in I} S_ {i, f (i)} right]}$^[4]

который в сочетании с Включение 1 ∪∩ ⊆ ∩∪ подразумевает:

${ displaystyle bigcup _ {я in I} left [ bigcap _ {j in J} S_ {i, j} right] = bigcap _ {f in J ^ {I}} left [ ; bigcup _ {i in I} S_ {i, f (i)} right] ~ substeq ~ bigcup _ {g in I ^ {J}} left [; bigcap _ {j in J} S_ {g (j), j} right] = bigcap _ {j in J} left [ bigcup _ {i in I} S_ {i, j} right]}$

где индексы ${ displaystyle g in I ^ {J}}$ и ${ displaystyle g (j) in I}$ (для ${ displaystyle j in J}$) используются с правой стороны, а ${ displaystyle f in J ^ {I}}$ и ${ displaystyle f (i) in J}$ (для ${ displaystyle i in I}$) используются с левой стороны.

Пример приложения: Применить общую формулу к случаю ${ displaystyle left (C_ {k} right) _ {k in K}}$ и ${ displaystyle left (D_ {l} right) _ {l in L},}$ использовать ${ Displaystyle I двоеточие = {1,2 },}$ ${ Displaystyle J_ {1} двоеточие = K,}$ ${ Displaystyle J_ {2} двоеточие = L,}$ и разреши ${ Displaystyle R_ {1, k} двоеточие = C_ {k}}$ для всех ${ Displaystyle к в J_ {1}}$ и разреши ${ Displaystyle R_ {2, l} двоеточие = D_ {l}}$ для всех ${ displaystyle l in J_ {2}.}$ Каждая карта ${ displaystyle f in { mathcal {F}} ~ двоеточие = ~ prod _ {i in I} J_ {i} = J_ {1} times J_ {2} = K times L}$ можно биективно отождествить с парой ${ Displaystyle влево (е (1), е (2) вправо) в К раз L}$ (обратный отправляет ${ Displaystyle (к, л) в К раз L}$ к карте ${ displaystyle f _ {(к, l)} in { mathcal {F}}}$ определяется ${ displaystyle 1 mapsto k}$ и ${ displaystyle 2 mapsto l}$; технически это просто изменение обозначений). Расширение и упрощение левой части Уравнение 5 ∩∪ → ∪∩, который отзыв был

${ Displaystyle ~ bigcap _ {я in I} left [; bigcup _ {j in J_ {i}} R_ {i, j} right] = bigcup _ {f in { mathcal {F}}} left [; bigcap _ {i in I} R_ {i, f (i)} right] ~}$

дает

${ displaystyle bigcap _ {i in I} left [; bigcup _ {j in J_ {i}} R_ {i, j} right] = left ( bigcup _ {j in J_ {1}} R_ {1, j} right) cap left (; bigcup _ {j in J_ {2}} R_ {2, j} right) = left ( bigcup _ {k in K} R_ {1, k} right) cap left (; bigcup _ {l in L} R_ {2, l} right) = left ( bigcup _ {k in K } C_ {k} right) cap left (; bigcup _ {l in L} D_ {l} right)}$

и то же самое с правой стороны дает:

${ Displaystyle bigcup _ {е in { mathcal {F}}} left [; bigcap _ {я in I} R_ {i, f (i)} right] = bigcup _ {f in { mathcal {F}}} left (R_ {1, f (1)} cap R_ {2, f (2)} right) = bigcup _ {f in { mathcal {F} }} left (C_ {f (1)} cap D_ {f (2)} right) = bigcup _ {(k, l) in K times L} left (C_ {k} cap D_ {l} right) = bigcup _ { stackrel {k in K,} {l in L}} left (C_ {k} cap D_ {l} right).}$

Таким образом, общая идентичность Уравнение 5 ∩∪ → ∪∩ сводится к заданному ранее установленному равенству Уравнение 3b:

• ${ displaystyle left ( bigcup _ {k in K} C_ {k} right) cap left (; bigcup _ {l in L} D_ {l} right) = bigcup _ { stackrel {k in K,} {l in L}} left (C_ {k} cap D_ {l} right).}$

Распределение вычитания

${ displaystyle left ( bigcup _ {i in I} A_ {i} right) ; setminus ; B ~ = ~ bigcup _ {i in I} left (A_ {i} ; setminus ; B right)}$

(Уравнение 7а)

${ displaystyle left ( bigcap _ {i in I} A_ {i} right) ; setminus ; B ~ = ~ bigcap _ {i in I} left (A_ {i} ; setminus ; B right)}$

(Уравнение 7b)

${ Displaystyle A ; setminus ; left ( bigcup _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcap _ {j in J} left (A ; setminus ; B_ {j} right)}$        (Закон Де Моргана)[5]

(Уравнение 7c)

${ Displaystyle A ; setminus ; left ( bigcap _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcup _ {j in J} left (A ; setminus ; B_ {j} right)}$        (Закон Де Моргана)[5]

(Уравнение 7d)

Следующие установленные равенства могут быть получены из равенств 7а - 7d над:

${ displaystyle left ( bigcup _ {i in I} A_ {i} right) ; setminus ; left ( bigcup _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcup _ {i in I} left ( bigcap _ {j in J} left (A_ {i} ; setminus ; B_ {j} right) right) ~ = ~ bigcap _ {j in J} left ( bigcup _ {i in I} left (A_ {i} ; setminus ; B_ {j} right) right)}$

(Уравнение 7e)

${ displaystyle left ( bigcap _ {i in I} A_ {i} right) ; setminus ; left ( bigcap _ {j in J} B_ {j} right) ~ = ~ bigcup _ {j in J} left ( bigcap _ {i in I} left (A_ {i} ; setminus ; B_ {j} right) right) ~ = ~ bigcap _ {i in I} left ( bigcup _ {j in J} left (A_ {i} ; setminus ; B_ {j} right) right)}$

(Уравнение 7f)