Стационарный набор - Stationary set

В математика, конкретно теория множеств и теория моделей, а стационарный набор это набор это не слишком мало в том смысле, что пересекает все клубные наборы, и аналогичен множеству ненулевой меры в теория меры. Существует как минимум три тесно связанных понятия стационарного множества, в зависимости от того, рассматриваются ли подмножества порядковый, или же подмножества чего-то данного мощность, или powerset.

Классическое понятие

Если ${ displaystyle kappa}$ это кардинал бесчисленных конфинальность, ${ Displaystyle S substeq kappa,}$ и ${ displaystyle S}$ пересекает каждый клубный набор в ${ displaystyle kappa,}$ тогда ${ displaystyle S}$ называется стационарный набор.^[1] Если набор не является стационарным, он называется тонкий набор. Это понятие не следует путать с понятием тонкий набор теории чисел.

Если ${ displaystyle S}$ стационарный набор и ${ displaystyle C}$ это клубный набор, то их пересечение ${ Displaystyle S cap C}$ также стационарный. Это потому, что если ${ displaystyle D}$ есть какой-нибудь клубный набор, тогда ${ Displaystyle C cap D}$ это клубный набор, таким образом ${ Displaystyle (S cap C) cap D = S cap (C cap D)}$ не пусто. Следовательно, ${ displaystyle (S cap C)}$ должен быть неподвижным.

Смотрите также: Лемма Фодора

Ограничение на бесчисленную конфинальность сделано для того, чтобы избежать тривиальности: предположим, ${ displaystyle kappa}$ имеет счетную конфинальность. потом ${ Displaystyle S substeq kappa}$ неподвижен в ${ displaystyle kappa}$ если и только если ${ displaystyle kappa setminus S}$ ограничен в ${ displaystyle kappa}$. В частности, если конфинальность ${ displaystyle kappa}$ является ${ displaystyle omega = aleph _ {0}}$, то любые два стационарных подмножества ${ displaystyle kappa}$ есть стационарный перекресток.

Это уже не тот случай, если кофинальность ${ displaystyle kappa}$ бесчисленное множество. Фактически, предположим ${ displaystyle kappa}$ является обычный и ${ Displaystyle S substeq kappa}$ стационарный. потом ${ displaystyle S}$ можно разделить на ${ displaystyle kappa}$ множество непересекающихся стационарных множеств. Этот результат обусловлен Соловей. Если ${ displaystyle kappa}$ это преемник кардинала, этот результат обусловлен Улам и легко показать с помощью того, что называется Матрица Улама.

Х. Фридман показал, что для каждого счетного порядкового номера-преемника ${ displaystyle beta}$, каждое стационарное подмножество ${ displaystyle omega _ {1}}$ содержит замкнутое подмножество типа ордера ${ displaystyle beta}$.

Понятие Джеха

Также существует понятие стационарного подмножества ${ displaystyle [X] ^ { lambda}}$, за ${ displaystyle lambda}$ кардинал и ${ displaystyle X}$ набор такой, что ${ displaystyle | X | geq lambda}$, куда ${ displaystyle [X] ^ { lambda}}$ это множество подмножеств ${ displaystyle X}$ мощности ${ displaystyle lambda}$: ${ Displaystyle [X] ^ { lambda} = {Y substeq X: | Y | = lambda }}$. Это понятие связано с Томас Джеч. Как прежде, ${ Displaystyle S substeq [X] ^ { lambda}}$ является стационарным тогда и только тогда, когда он встречается с каждым клубом, где подмножество клубов ${ displaystyle [X] ^ { lambda}}$ является неограниченным относительно ${ displaystyle substeq}$ и замкнутые на объединение цепочек длины не более ${ displaystyle lambda}$. Эти понятия в целом разные, хотя для ${ displaystyle X = omega _ {1}}$ и ${ displaystyle lambda = aleph _ {0}}$ они совпадают в том смысле, что ${ Displaystyle S substeq [ omega _ {1}] ^ { omega}}$ стационарен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle S cap omega _ {1}}$ неподвижен в ${ displaystyle omega _ {1}}$.

Соответствующий вариант леммы Фодора также верен для этого понятия.

Обобщенное понятие

Есть еще третье понятие, теоретико-модельное по своей природе и иногда называемое обобщенный стационарность. Это представление, вероятно, связано с Магидор, мастер и Шела а также широко использовался Woodin.

Теперь позвольте ${ displaystyle X}$ быть непустым множеством. Множество ${ Displaystyle С substeq { mathcal {P}} (X)}$ является клубным (замкнутым и неограниченным) тогда и только тогда, когда существует функция ${ Displaystyle F: [X] ^ {< omega} к X}$ такой, что ${ Displaystyle С = {z: F [[z] ^ {< omega}] substeq z }}$. Здесь, ${ Displaystyle [у] ^ {< omega}}$ набор конечных подмножеств ${ displaystyle y}$.

${ Displaystyle S substeq { mathcal {P}} (X)}$ неподвижен в ${ Displaystyle { mathcal {P}} (X)}$ тогда и только тогда, когда он соответствует каждому подмножеству клубов ${ Displaystyle { mathcal {P}} (X)}$.

Чтобы увидеть связь с теорией моделей, обратите внимание, что если ${ displaystyle M}$ это структура с вселенная ${ displaystyle X}$ на счетном языке и ${ displaystyle F}$ это Функция Сколема за ${ displaystyle M}$, то стационарный ${ displaystyle S}$ должен содержать элементарную подструктуру ${ displaystyle M}$. Фактически, ${ Displaystyle S substeq { mathcal {P}} (X)}$ стационарен тогда и только тогда, когда для любой такой конструкции ${ displaystyle M}$ есть элементарная подструктура ${ displaystyle M}$ это принадлежит ${ displaystyle S}$.

Рекомендации

• Форман, Мэтью (2002) Стационарные множества, гипотеза Чанга и теория разбиений, в Теории множеств (Конференция Хайнала) DIMACS Ser. Дискретная математика. Теорет. Комп. Наук, 58, амер. Математика. Soc., Providence, RI. С. 73–94. Файл в [1]
• Фридман, Харви (1974). «О закрытых множествах ординалов». Proc. Являюсь. Математика. Soc. 43: 190–192. Дои:10.2307/2039353. Zbl  0299.04003.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств. Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.

внешняя ссылка

• «Стационарный комплект». PlanetMath.