Недоступный кардинал - Inaccessible cardinal

В теория множеств, бесчисленный кардинал является недоступный если он не может быть получен от более мелких кардиналов обычными операциями кардинальная арифметика. Точнее кардинал ${ displaystyle kappa}$ является сильно недоступен если это неисчислимое количество, это сумма не меньше, чем ${ displaystyle kappa}$ кардиналы, которые меньше ${ displaystyle kappa}$ , и ${ Displaystyle альфа < каппа}$ подразумевает ${ Displaystyle 2 ^ { альфа} < каппа}$ .

Термин «недоступный кардинал» неоднозначен. Примерно до 1950 года оно означало «слабо недоступный кардинал», но с тех пор обычно означает «сильно недоступный кардинал». Несчетный кардинал слабо недоступный если это обычный слабый предел кардинала. Он сильно недоступен или просто недоступен, если это обычный сильный предельный кардинал (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо- и сильно недоступные кардиналы были несчетными (в этом случае ${ displaystyle aleph _ {0}}$ сильно недоступен). Слабо недоступные кардиналы были представлены Хаусдорф (1908), а сильно недоступные - Серпинский и Тарский (1930) и Цермело (1930).

Каждый сильно недоступный кардинал также слабо недоступен, так как каждый сильный предельный кардинал также является слабым предельным кардиналом. Если гипотеза обобщенного континуума то кардинал сильно недоступен тогда и только тогда, когда он слабо недоступен.

${ displaystyle aleph _ {0}}$ (алеф-нуль ) - обычный сильный предельный кардинал. Если предположить аксиома выбора, любое другое бесконечное кардинальное число является обычным или (слабым) пределом. Однако только довольно большое кардинальное число может быть и тем, и другим и, следовательно, слабо недоступным.

An порядковый является слабо недоступным кардиналом тогда и только тогда, когда он является правильным ординалом и является пределом регулярных порядковых чисел. (Ноль, один и ${ displaystyle aleph _ {0}}$ являются правильными порядковыми числами, но не пределами обычных порядковых чисел.) Кардинал, который слабо недоступен, а также сильный предельный кардинал, строго недоступен.

Предположение о существовании сильно недоступного кардинала иногда применяется в форме предположения, что можно работать внутри Вселенная Гротендика, эти две идеи тесно связаны.

Модели и последовательность

Теория множеств Цермело – Френкеля с выбором (ZFC) означает, что V_κ это модель ZFC всякий раз, когда κ сильно недоступен. А ZF подразумевает, что Вселенная Гёделя L_κ является моделью ZFC всякий раз, когда κ слабо недоступен. Таким образом, ZF вместе со словами «существует слабо недоступный кардинал» означает, что ZFC непротиворечива. Поэтому недоступные кардиналы - это разновидность большой кардинал.

Если V стандартная модель ZFC и κ недоступен в V, тогда: V_κ одна из предполагаемых моделей Теория множеств Цермело – Френкеля; и Def (V_κ) является одной из предполагаемых моделей версии Мендельсона Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. который исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором; и V_κ+1 одна из предполагаемых моделей Теория множеств Морса – Келли. Здесь Def (Икс) - Δ₀ определяемые подмножества Икс (видеть конструируемая вселенная ). Тем не мение, κ не обязательно быть недоступным или даже количественным числом, чтобы V_κ быть стандартной моделью ZF (см. ниже ).

Предположим, что V - модель ZFC. Либо V не содержит сильных недоступных, либо, взяв κ быть наименьшим сильным недоступным в V, V_κ - это стандартная модель ZFC, в которой нет сильных недоступностей. Таким образом, последовательность ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «нет сильных недоступных». Аналогично либо V не содержит слабых недоступных, либо, взяв κ быть наименьшим порядковым номером, который слабо недоступен относительно любой стандартной подмодели V, то L_κ это стандартная модель ZFC, в которой нет слабых недосягаемых мест. Итак, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC + «нет слабых недоступных». Это показывает, что ZFC не может доказать существование недоступного кардинала, поэтому ZFC согласуется с отсутствием каких-либо недоступных кардиналов.

Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, является более тонким. Изложенное в предыдущем абзаце доказательство того, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «нет недоступного кардинала», может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечив, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», не может быть формализовано в ZFC. Это следует из Вторая теорема Гёделя о неполноте, что показывает, что если ZFC + "есть недоступный кардинал" непротиворечиво, то не может доказать свою непротиворечивость. Поскольку ZFC + «есть недоступный кардинал» действительно доказывает непротиворечивость ZFC, если ZFC доказал, что его собственная последовательность подразумевает непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», то последняя теория сможет доказать свою непротиворечивость, что невозможно, если оно непротиворечиво.

Существуют аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые не могут быть формализованы в ZFC. Один из таких аргументов, представленный Hrbáček & Jech (1999 г., п. 279), состоит в том, что класс всех ординалов конкретной модели M теории множеств сам по себе был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая M и сохраняя силовой набор элементов M.

Существование своего класса недоступных

В теории множеств есть много важных аксиом, которые утверждают существование надлежащего класса кардиналов, удовлетворяющих интересующему предикату. В случае недоступности соответствующей аксиомой является утверждение, что для каждого кардинального μ, есть недоступный кардинал κ что строго больше, μ < κ. Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной башни недоступных кардиналов (и иногда может упоминаться как недоступная кардинальная аксиома). Как и в случае существования любого недоступного кардинала, аксиома недоступного кардинала недоказуема с помощью аксиом ZFC. В предположении ZFC недоступная кардинальная аксиома эквивалентна аксиома вселенной из Гротендик и Вердье: каждый набор содержится в Вселенная Гротендика. Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или, что эквивалентно, недоступной кардинальной аксиомой) обозначаются ZFCU (что можно спутать с ZFC с урэлементы ). Эта аксиоматическая система полезна для доказательства, например, что каждый категория имеет соответствующий Йонеда вложение.

Это относительно слабая аксиома с большим кардиналом, поскольку она означает, что ∞ является 1-недоступным на языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший порядковый номер, не входящий в V, то есть класс всех порядковых чисел в вашей модели.

α-доступные кардиналы и гипер-недоступные кардиналы

Период, термин "α-inaccessible cardinal "неоднозначно, и разные авторы используют неэквивалентные определения. Одно определение - кардинальное κ называется α-доступный, за α любой порядковый номер, если κ недоступен и для каждого порядкового номера β < α, набор β-доступные меньше, чем κ неограничен в κ (и, следовательно, мощности κ, поскольку κ регулярно). В этом случае 0-недоступные кардиналы совпадают с сильно недоступными кардиналами. Другое возможное определение: кардинальный κ называется α-слабо недоступно если κ регулярно и для каждого порядкового номера β < α, набор β-слабо недоступные меньше чем κ неограничен по κ. В этом случае 0-слабо недоступные кардиналы - это обычные кардиналы, а 1-слабо недоступные кардиналы - слабо недоступные кардиналы.

В α-доступные кардиналы также могут быть описаны как фиксированные точки функций, которые подсчитывают нижние недоступные. Например, обозначим через ψ₀(λ) λ^th недоступный кардинал, то неподвижные точки ψ₀ 1-недоступные кардиналы. Затем позволяя ψ_β(λ) быть λ^th β-доступный кардинал, неподвижные точки ψ_β являются (β+1) -доступные кардиналы (значения ψ_β+1(λ)). Если α предельный ординал, α-доступная - фиксированная точка каждого ψ_β за β < α (Значение ψ_α(λ) это λ^th такой кардинал). Этот процесс взятия фиксированных точек функций, порождающих последовательно увеличивающиеся кардиналы, обычно встречается при изучении большие количественные числа.

Период, термин сверхдоступный неоднозначен и имеет как минимум три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения обычного лимита сильно недоступных кардиналов (1-недоступный). Другие авторы используют это для обозначения κ является κ-доступно. (Это никогда не может быть κ+1 - недоступен.) Иногда используется для обозначения Мало кардинал.

Период, термин α-гипер-недоступный тоже неоднозначно. Некоторые авторы используют его для обозначения α-доступно. Другие авторы используют определение, что для любого порядкового номера α, кардинал κ является α-гипер-недоступный если и только если κ гипер-недоступен и для каждого порядкового номера β < α, набор β-гипер-недоступные меньше, чем κ неограничен в κ.

Гипер-гипер-недоступные кардиналы и т. Д. Можно определить аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен.

Используя «слабо недоступный» вместо «недоступный», аналогичные определения могут быть даны для «слабо α-доступный »,« слабо гипер-недоступный »и« слабо α-сверхдоступный ".

Мало кардиналов недоступны, гипер-недоступны, гипер-гипер-недоступны и т. д.

Две теоретико-модельные характеристики недоступности

Во-первых, кардинал κ недоступен тогда и только тогда, когда κ имеет следующие отражение свойство: для всех подмножеств U ⊂ V_κ, Существует α < κ такой, что ${ Displaystyle (V _ { alpha}, in, U cap V _ { alpha})}$ является элементарная подструктура из ${ Displaystyle (В _ { каппа}, in, U)}$ . (На самом деле набор таких α является закрытый неограниченный в κ.) Аналогично, κ является ${ Displaystyle Пи _ {п} ^ {0}}$ -неописуемый для всех n ≥ 0.

В ZF доказывается, что ∞ удовлетворяет несколько более слабому свойству отражения, когда подструктура (V_α, ∈, U ∩ V_α) требуется только, чтобы быть «элементарным» по отношению к конечному набору формул. В конечном итоге причина этого ослабления заключается в том, что, в то время как теоретико-модельное отношение удовлетворенности ${ displaystyle models}$ можно определить, сама истина не может быть определена из-за Теорема Тарского.

Во-вторых, под ZFC можно показать, что κ недоступно тогда и только тогда, когда (V_κ, ∈) является моделью второго порядка ZFC.

В этом случае по свойству отражения выше существует α < κ такое, что (V_α, ∈) - стандартная модель (первый заказ ) ZFC. Следовательно, существование недоступного кардинала является более сильной гипотезой, чем существование стандартной модели ZFC.

Смотрите также

Процитированные работы

Дрейк, Ф. Р. (1974), Теория множеств: введение в большие кардиналы, Исследования по логике и основам математики, 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
Хаусдорф, Феликс (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen", Mathematische Annalen, 65 (4): 435–505, Дои:10.1007 / BF01451165, HDL:10338.dmlcz / 100813, ISSN 0025-5831
Грбачек, Карел; Jech, Thomas (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), Нью-Йорк: Деккер, ISBN 978-0-8247-7915-3
Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
Серпинский, Вацлав; Тарский, Альфред (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300, ISSN 0016-2736
Цермело, Эрнст (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47, ISSN 0016-2736. Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), "О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основах теории множеств", От Иммануила Канта до Давида Гильберта: справочник по основам математики, Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.