Принцип отражения - Reflection principle

В теория множеств, филиал математика, а принцип отражения говорит, что можно найти наборы, которые напоминают класс всех наборов. Есть несколько различных форм принципа отражения, в зависимости от того, что именно подразумевается под «похожим». Слабыми формами принципа отражения являются теоремы Теория множеств ZF из-за Монтегю (1961), в то время как более сильные формы могут быть новыми и очень мощными аксиомами для теории множеств.

Название «принцип отражения» происходит от того факта, что свойства вселенной всех множеств «отражаются» до меньшего множества.

Мотивация

Наивная версия принципа отражения гласит, что «для любого свойства вселенной из всех множеств мы можем найти множество с таким же свойством». Это приводит к немедленному противоречию: универсум всех наборов содержит все наборы, но не существует набора со свойством, что он содержит все наборы. Чтобы получить полезные (и непротиворечивые) принципы отражения, нам нужно быть более осторожными с тем, что мы подразумеваем под «свойством» и какие свойства мы допускаем.

Чтобы найти непротиворечивые принципы отражения, мы могли бы неформально рассуждать следующим образом. Предположим, что у нас есть коллекция А методов формирования множеств (например, взятие степеней, подмножеств, аксиома замены и т. д.). Мы можем представить себе, как взять все наборы, полученные многократным применением всех этих методов, и сформировать эти наборы в класс V, который можно рассматривать как модель некоторой теории множеств. Но теперь мы можем ввести следующий новый принцип формирования множеств: «совокупность всех множеств, полученных из некоторого множества многократным применением всех методов в коллекции А также является набором ". Если мы допустим этот новый принцип для формирования наборов, теперь мы можем продолжить прошлое V, и рассмотрим класс W всех наборов, сформированных по принципам А и новый принцип. В этом классе W, V просто множество, замкнутое для всех операций формирования множества А. Другими словами вселенная W содержит набор V который напоминает W в том, что он закрыт всеми способами А.

Мы можем использовать этот неформальный аргумент двумя способами. Мы можем попытаться формализовать это в (скажем) теории множеств ZF; таким образом мы получаем некоторые теоремы теории множеств ZF, называемые теоремами отражения. В качестве альтернативы мы можем использовать этот аргумент, чтобы мотивировать введение новых аксиом для теории множеств.

В ZFC

Пытаясь формализовать аргумент в пользу принципа отражения из предыдущего раздела теории множеств ZF, оказывается необходимым добавить некоторые условия относительно набора свойств А (Например, А может быть конечным). В результате получается несколько тесно связанных «теорем отражения» ZFC, каждая из которых утверждает, что мы можем найти набор, который является почти моделью ZFC.

Одна из форм принципа отражения в ZFC гласит, что для любого конечный множество аксиом ZFC мы можем найти счетное переходная модель удовлетворяющие этим аксиомам. (В частности, это доказывает, что ZFC, если только он не противоречив, не является конечно аксиоматизируемым, потому что в противном случае он доказал бы существование модели самого себя и, следовательно, доказал бы свою собственную непротиворечивость, что противоречит второй теореме Гёделя о неполноте.) Эта версия теоремы отражения тесно связан с Теорема Левенгейма – Сколема.

Другая версия принципа отражения гласит, что для любого конечный количество формул ZFC мы можем найти множество V_α в совокупная иерархия такие, что все формулы в наборе абсолютный за V_α (что очень грубо означает, что они держатся V_α тогда и только тогда, когда они сохраняются во вселенной всех множеств). Это говорит о том, что набор V_α напоминает вселенную всех множеств, по крайней мере, в том, что касается данного конечного числа формул. В частности, для любой формулы ZFC существует теорема ZFC о том, что формула логически эквивалентна ее версии со всеми кванторами, относящимися к V_α Видеть (Jech 2002, п. 168).

Если κ - сильное недоступное, то существует замкнутое неограниченное подмножество C κ, такое, что для любого α∈C, тождественная функция из V_α к V_κ является элементарным вложением.

Как новые аксиомы

Бернейс использовал принцип отражения как аксиому для одной из версий теории множеств (не Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя., что является более слабой теорией). Его принцип отражения примерно утверждал, что если А является классом с некоторым свойством, то можно найти транзитивное множество ты такой, что A∩u обладает тем же свойством, когда рассматривается как подмножество "вселенной" ты. Это довольно мощная аксиома, подразумевающая существование нескольких более мелких большие кардиналы, Такие как недоступные кардиналы. (Грубо говоря, класс всех ординалов в ZFC является недоступным кардиналом, кроме того факта, что он не является набором, и тогда можно использовать принцип отражения, чтобы показать, что существует набор с таким же свойством, другими словами что является недоступным кардиналом.) К сожалению, это не может быть аксиоматизировано непосредственно в ZFC, и теория классов вроде МК обычно должен использоваться. Непротиворечивость принципа отражения Бернейса подразумевается существованием ω-кардинал Эрдеша.

Есть много более мощных принципов отражения, которые тесно связаны с различными аксиомами большого кардинала. Почти для каждой известной аксиомы большого кардинала существует известный принцип отражения, который подразумевает его, и, наоборот, все известные принципы отражения, кроме самых мощных, вытекают из известных аксиом большого кардинала (Маршалл Р. 1989 ). Примером этого является аксиома целостности, что подразумевает существование супер-и-огромные кардиналы для всех конечных n, и его согласованность следует из I3 кардинал в ранге.

внешняя ссылка

Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html

Принцип отражения - Reflection principle

Содержание

Мотивация

В ZFC

Как новые аксиомы

Рекомендации

внешняя ссылка