Теорема Егорова - Википедия - Egorovs theorem

В теория меры, площадь математика, Теорема Егорова устанавливает условие для равномерное схождение из поточечно сходящийся последовательность из измеримые функции. Его также называют Теорема Северини – Егорова или же Теорема Северини – Егорова., после Карло Северини, Итальянский математик, и Дмитрий Егоров, а русский физик и геометр, опубликовавшие независимые доказательства соответственно в 1910 и 1911 гг.

Теорема Егорова может использоваться вместе с компактно поддерживается непрерывные функции чтобы доказать Теорема Люсина за интегрируемые функции.

Историческая справка

Первое доказательство теоремы было дано Карло Северини в 1910 г .:^[1][2] он использовал результат как инструмент в своем исследовании серии из ортогональные функции. Его работа осталась незаметной снаружи. Италия, вероятно, из-за того, что он написан на Итальянский, появилась в научном журнале с ограниченным распространением и рассматривалась только как средство для получения других теорем. Год спустя Дмитрий Егоров опубликовал свои независимо подтвержденные результаты,^[3] и теорема стала широко известна под его именем: однако нередко можно найти ссылки на эту теорему как на теорему Северини – Егорова или теорему Северини – Егорова. Первые математики, независимо доказавшие теорему в широко распространенном ныне абстрактном измерить пространство установка были Фриджес Рис  (1922, 1928 ), И в Вацлав Серпинский  (1928 ):^[4] более раннее обобщение связано с Николай Лузин, которому удалось несколько ослабить требование конечности меры домен сближения поточечно сходящиеся функции в обширной статье (Лузин 1916 ).^[5] Дальнейшие обобщения были даны много позже Павел Коровкин, в статье (Коровкин 1947 ), и по Габриэль Мокободски в газете (Мокободзки 1970 ).

Официальное заявление и доказательство

Заявление

Позволять (ж_п) - последовательность M-значные измеримые функции, где M является сепарабельным метрическим пространством, на некотором измерить пространство (Икс, Σ, μ), и пусть существует измеримое подмножество А ⊆ Икс, с конечной μ-мерой, такой что (ж_п) сходится μ-почти всюду на А к предельной функции ж. Имеет место следующий результат: для любого ε> 0 существует измеримое подмножество B из А такое, что μ (B) <ε и (ж_п) сходится к ж равномерно на относительное дополнение А \ B.

Здесь μ (B) обозначает μ-меру B. На словах теорема утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на А следует, по-видимому, гораздо более сильной равномерной сходимости всюду, кроме некоторого подмножества B сколь угодно малой меры. Этот тип сходимости также называют почти равномерная сходимость.

Обсуждение предположений и контрпример

• Гипотеза μ (А) <∞. Чтобы убедиться в этом, несложно построить контрпример, когда μ является Мера Лебега: рассмотрим последовательность действительных значений индикаторные функции

${ displaystyle f_ {n} (x) = 1 _ {[n, n + 1]} (x), qquad n in mathbb {N}, x in mathbb {R},}$

определены на реальная линия. Эта последовательность поточечно сходится к нулевой функции всюду, но не сходится равномерно на ${ Displaystyle mathbb {R} setminus B}$ для любого набора B конечной меры: контрпример в общем ${ displaystyle n}$-размерный реальное векторное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ можно построить, как показано Cafiero (1959 г.), п. 302).

• Разделимость метрического пространства нужна, чтобы убедиться, что для M-значные, измеримые функции ж и грамм, Расстояние d(ж(Икс), грамм(Икс)) снова является измеримой действительной функцией от Икс.

Доказательство

Для натуральных чисел п и k, определим множество E_{п, к} посредством союз

${ displaystyle E_ {n, k} = bigcup _ {m geq n} left {x in A , { Big |} , | f_ {m} (x) -f (x) | geq { frac {1} {k}} right }.}$

Эти наборы становятся меньше по мере п увеличивается, что означает, что E_п+1,k всегда является подмножеством E_{п, к}, потому что первое объединение включает меньшее количество множеств. Точка Икс, для которого последовательность (ж_м(Икс)) сходится к ж(Икс), не может быть в каждом E_{п, к} для фиксированного k, потому что ж_м(Икс) должен оставаться ближе к ж(Икс) чем 1 /k в итоге. Следовательно, по предположению μ-почти всюду поточечной сходимости на А,

${ displaystyle mu left ( bigcap _ {n in mathbb {N}} E_ {n, k} right) = 0}$

для каждого k. С А имеет конечную меру, имеем непрерывность сверху; следовательно, существует для каждого k, некоторое натуральное число п_k такой, что

${ displaystyle mu (E_ {n_ {k}, k}) <{ frac { varepsilon} {2 ^ {k}}}.}$

За Икс в этом наборе мы учитываем скорость приближения к 1 /k-район из ж(Икс) как слишком медленный. Определять

${ displaystyle B = bigcup _ {k in mathbb {N}} E_ {n_ {k}, k}}$

как набор всех этих точек Икс в А, для которых скорость сближения хотя бы с одним из этих 1 /k-окрестности ж(Икс) слишком медленно. По установленной разнице А \ B поэтому мы имеем равномерную сходимость.

Обращаясь к сигма аддитивность μ и используя геометрическая серия, мы получили

${ displaystyle mu (B) leq sum _ {k in mathbb {N}} mu (E_ {n_ {k}, k}) < sum _ {k in mathbb {N}} { frac { varepsilon} {2 ^ {k}}} = varepsilon.}$

Обобщения

Версия Лузина

Николай Лузин здесь представлено обобщение теоремы Северини – Егорова согласно Сакс (1937 г., п. 19).

Заявление

При той же гипотезе абстрактной теоремы Северини – Егорова предположим, что А это союз из последовательность из измеримые множества конечной μ-меры и (ж_п) - заданная последовательность M-значные измеримые функции на некоторых измерить пространство (Икс, Σ, μ) такие, что (ж_п) сходится μ-почти всюду на А к предельной функции ж, тогда А можно выразить как объединение последовательности измеримых множеств ЧАС, А₁, А₂, ... такие, что μ (ЧАС) = 0 и (ж_п) сходится к ж равномерно на каждом наборе А_k.

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай, когда множество А имеет конечную μ-меру: используя эту гипотезу и стандартную теорему Северини – Егорова, можно определить как математическая индукция последовательность наборов {А_k}_{к = 1,2, ...} такой, что

${ displaystyle mu left (A setminus bigcup _ {k = 1} ^ {N} A_ {k} right) leq { frac {1} {N}}}$

и такой, что (ж_п) сходится к ж равномерно на каждом наборе А_k для каждого k. Выбор

${ displaystyle H = A setminus bigcup _ {k = 1} ^ { infty} A_ {k}}$

то, очевидно, μ (ЧАС) = 0 и теорема доказана.

Коровкина версия

Доказательство версии Коровкина близко следует версии на Харазишвили (2000 г., pp. 183–184), который, однако, обобщает его до некоторой степени, учитывая допустимые функционалы вместо неотрицательные меры и неравенство ${ displaystyle leq}$ и ${ displaystyle geq}$ соответственно в условиях 1 и 2.

Заявление

Позволять (M,d) обозначим отделяемый метрическое пространство и (Икс, Σ) а измеримое пространство: рассмотрим измеримый набор А и учебный класс ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ содержащий А и его измеримый подмножества так что их счетный в союзы и перекрестки принадлежат к одному классу. Предположим, что существует неотрицательная мера μ такая, что μ (А) существует и

1. ${ displaystyle mu ( cap A_ {n}) = lim mu (A_ {n})}$ если ${ Displaystyle A_ {1} supset A_ {2} supset cdots}$ с ${ displaystyle A_ {n} in { mathfrak {A}}}$ для всех п
2. ${ Displaystyle му ( чашка A_ {n}) = lim mu (A_ {n})}$ если ${ Displaystyle A_ {1} подмножество A_ {2} subset cdots}$ с ${ displaystyle cup A_ {n} in { mathfrak {A}}}$.

Если (ж_п) - последовательность M-значных измеримых функций сходящийся μ-почти всюду на ${ displaystyle A in { mathfrak {A}}}$ к предельной функции ж, то существует подмножество A ′ из А такое, что 0 <μ (А) - μ (A ′) <ε и где сходимость также равномерная.

Доказательство

Рассмотрим индексированное семейство наборов чей набор индексов это набор натуральные числа ${ displaystyle m in mathbb {N},}$ определяется следующим образом:

${ Displaystyle A_ {0, m} = left {x in A | d (f_ {n} (x), f (x)) leq 1 forall n geq m right }}$

Очевидно

${ Displaystyle A_ {0,1} substeq A_ {0,2} substeq A_ {0,3} substeq dots}$

и

${ displaystyle A = bigcup _ {m in mathbb {N}} A_ {0, m}}$

поэтому есть натуральное число м₀ такой, что положить А_{0, м0}=А₀ справедливо следующее соотношение:

${ displaystyle 0 leq mu (A) - mu (A_ {0}) leq varepsilon}$

С помощью А₀ можно определить следующее индексированное семейство

${ Displaystyle A_ {1, m} = left {x in A_ {0} left | d (f_ {m} (x), f (x)) leq { frac {1} {2} } forall n geq m right. right }}$

удовлетворяющие следующим двум соотношениям, аналогичным найденным ранее, т.е.

${ Displaystyle A_ {1,1} substeq A_ {1,2} substeq A_ {1,3} substeq dots}$

и

${ displaystyle A_ {0} = bigcup _ {m in mathbb {N}} A_ {1, m}}$

Этот факт позволяет нам определить множество А_{1, м1}=А₁, куда м₁ - заведомо существующее натуральное число такое, что

${ displaystyle 0 leq mu (A) - mu (A_ {1}) leq varepsilon}$

Повторяя показанную конструкцию, другое индексированное семейство множества {А_п} определен таким образом, что он имеет следующие свойства:

• ${ Displaystyle A_ {0} supseteq A_ {1} supseteq A_ {2} supseteq cdots}$
• ${ displaystyle 0 leq mu (A) - mu (A_ {m}) leq varepsilon}$ для всех ${ displaystyle m in mathbb {N}}$
• для каждого ${ displaystyle m in mathbb {N}}$ Существует k_м такой, что для всех ${ displaystyle n geq k_ {m}}$ тогда ${ displaystyle d (f_ {n} (x), f (x)) leq 2 ^ {- m}}$ для всех ${ displaystyle x in A_ {m}}$

и, наконец, положив

${ displaystyle A '= bigcup _ {n in mathbb {N}} A_ {n}}$

тезис легко доказывается.

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Теорема Егорова в PlanetMath.
• Хэмпри, Алексис. «Теорема Егорова». MathWorld.
• Кудрявцев, Л. (2001) [1994], «Теорема Егорова», Энциклопедия математики, EMS Press