Значимость арифметики - Significance arithmetic

Значимость арифметики это набор правил (иногда называемых правила значимых цифр) для аппроксимации распространение неопределенности в научных или статистических расчетах. Эти правила можно использовать для поиска подходящего количества значимые фигуры использовать для представления результата вычисления. Если расчет выполняется без анализа связанной с этим неопределенности, результат, записанный со слишком большим количеством значащих цифр, может быть истолкован как более высокий. точность чем известно, и результат, записанный с использованием слишком малого числа значащих цифр, приводит к предотвращаемой потере точности. Понимание этих правил требует хорошего понимания концепции значимые и незначительные цифры.

Правила арифметики значимости - это приближение, основанное на статистических правилах работы с распределениями вероятностей. См. Статью о распространение неопределенности для этих более сложных и точных правил. Правила арифметики значимости основываются на предположении, что количество значащих цифр в операнды дает точную информацию о неопределенности операндов и, следовательно, о неопределенности результата. Для альтернатив см. интервальная арифметика и уменьшение ошибок с плавающей запятой.

Важное предостережение: значащие цифры относятся только к измеренный значения. Известные точные значения следует игнорировать для определения количества значащих цифр, которые входят в результат. Примеры таких значений включают:

целое число подсчитывает (например, количество апельсинов в сумке)
определения одной единицы с точки зрения другой (например, минута составляет 60 секунд)
фактические запрашиваемые или предлагаемые цены и количества, указанные в технических требованиях
юридически определенные преобразования, такие как международный обмен валюты
скалярные операции, такие как «утроение» или «уменьшение вдвое»
математические константы, такие как π и е

Физические константы, такие как гравитационная постоянная однако имеют ограниченное количество значащих цифр, потому что эти константы известны нам только путем измерения. С другой стороны, c (скорость света ) равно 299 792 458 м / с по определению.

Умножение и деление с использованием арифметики значимости

При умножении или делении чисел результат округлый к номер значащих цифр в множитель с наименее значащими цифрами. Здесь количество значимых цифр в каждом из факторов, а не позиция значащих цифр. Например, используя правила арифметики значимости:

8 × 8 ≈ 6 × 10¹
8 × 8.0 ≈ 6 × 10¹
8.0 × 8.0 ≈ 64
8.02 × 8.02 ≈ 64.3
8 / 2.0 ≈ 4
8.6 /2.0012 ≈ 4.3
2 × 0.8 ≈ 2

Если в приведенном выше примере предполагается, что числа являются измерениями (и, следовательно, вероятно, неточными), то цифра 8 выше представляет собой неточное измерение с одной значащей цифрой. Следовательно, результат «8 × 8» округляется до результата с одной значащей цифрой, то есть «6 × 10».¹"вместо неокругленных" 64 ", как можно было бы ожидать. Во многих случаях округленный результат менее точен, чем неокругленный результат; при измерении" 8 "фактическая основная величина находится между 7,5 и 8,5. Истинный квадрат будет быть в диапазоне от 56,25 до 72,25. Итак, 6 × 10¹ является лучшим, что можно дать, поскольку другие возможные ответы дают ложное ощущение точности. Далее, 6 × 10¹ сам по себе сбивает с толку (поскольку можно было бы подумать, что он подразумевает 60 ± 5, что является чрезмерно оптимистичным; более точным было бы 64 ± 8).

Сложение и вычитание с использованием арифметики значимости

При сложении или вычитании с использованием правил значащих цифр результаты округляются до позиция наименьшей значащей цифры в наиболее неопределенных суммируемых (или вычитаемых) числах.^{[нужна цитата ]} То есть результат округляется до последней значимой цифры в каждый суммируемых чисел. Здесь позиция значащих цифр важно, но количество значащих цифр не имеет значения. Некоторые примеры использования этих правил:

			1
+			1.1
			2

1 означает разряды единиц, 1,1 знаменует разряды десятых. Из двух наименее точным является одно место. В ответе не может быть значимых цифр после единицы.

			1.0
+			1.1
			2.1

1.0 и 1.1 значимы до десятых, поэтому ответ также будет иметь число на десятом месте.
100 + 110 ≈ 200
Мы видим, что ответ - 200, учитывая значение сотых разрядов из 100. Ответ поддерживает однозначное значение значимости в разряде сотен, как и первый член арифметики.
100. + 110. = 210.
100. и 110. оба значимы для разряда единиц (как указано десятичной дробью), поэтому ответ также имеет значение для разряда единиц.
1×10² + 1.1×10² ≈ 2×10²
100 значимо до разряда сотен, а 110 - до разряда десятков. Из двух наименее точным является разряд сотен. Ответ не должен содержать значащих цифр после разряда сотен.
1.0×10² + 111 = 2.1×10²
1.0×10² является значащим до разряда десятков, а 111 имеет числа до разряда единиц. Ответ не будет иметь значащих цифр после разряда десятков.
123.25 + 46.0 + 86.26 ≈ 255.5
123,25 и 86,26 значимы до сотого места, а 46,0 значимы только до десятого места. Ответ будет значим до десятого места.
100 - 1 ≈ 100
Мы видим, что ответ - 100, учитывая значение сотых разрядов из 100. Это может показаться нелогичным, но, учитывая природу значащих цифр, определяющих точность, мы можем увидеть, как это следует из стандартных правил.

Трансцендентные функции

Трансцендентные функции иметь сложный метод определения значимости результата. К ним относятся логарифм функция, экспоненциальная функция и тригонометрические функции. Значимость результата зависит от номер условия. В общем, количество значащих цифр для результата равно количеству значащих цифр для ввода минус порядок величины номера условия.

Число обусловленности дифференцируемой функции ж в какой-то момент Икс является ${ displaystyle left | { frac {xf '(x)} {f (x)}} right |;}$ видеть Номер условия: одна переменная для подробностей. Обратите внимание, что если функция имеет ноль в точке, ее число обусловленности в этой точке бесконечно, поскольку бесконечно малые изменения на входе могут изменить выход с нуля на ненулевой, давая отношение с нулем в знаменателе, следовательно, бесконечное относительное изменение. Условные номера наиболее часто используемых функций следующие:^[1] их можно использовать для вычисления значащих цифр для всех элементарные функции:

Экспоненциальная функция	${ displaystyle e ^ {x}}$	${ displaystyle \| x \|}$
Функция натурального логарифма	${ Displaystyle ln (х)}$	${ displaystyle left \| { frac {1} { ln (x)}} right \|}$
Функция синуса	${ Displaystyle грех (х)}$	${ Displaystyle влево \| х детская кроватка (х) вправо \|}$
Функция косинуса	${ Displaystyle соз (х)}$	${ Displaystyle влево \| х загар (х) вправо \|}$
Касательная функция	${ Displaystyle загар (х)}$	${ Displaystyle влево \| Икс ( загар (х) + кроватка (х)) вправо \|}$
Обратная функция синуса	${ Displaystyle arcsin (х)}$	${ displaystyle left \| { frac {x} {{ sqrt {1-x ^ {2}}} arcsin (x)}} right \|}$
Функция обратного косинуса	${ Displaystyle arccos (х)}$	${ displaystyle left \| { frac {x} {{ sqrt {1-x ^ {2}}} arccos (x)}} right \|}$
Функция обратной тангенса	${ Displaystyle arctan (х)}$	${ displaystyle left \| { frac {x} {(1 + x ^ {2}) arctan (x)}} right \|}$

Тот факт, что количество значащих цифр для результата равно количеству значащих цифр для входных данных минус логарифм числа обусловленности, может быть легко выведен из первых принципов. Позволять ${ displaystyle { hat {x}}}$ и ${ displaystyle f ({ hat {x}})}$ быть истинными ценностями и пусть ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle f (x)}$ быть приблизительными значениями с ошибками ${ displaystyle delta x}$ и ${ displaystyle delta f}$ соответственно. Тогда у нас есть ${ displaystyle { hat {x}} = x pm delta x}$ , ${ displaystyle f ({ hat {x}}) = f (x) pm delta f}$ , и ${ displaystyle pm delta f = f ({ hat {x}}) - f (x) = f (x pm delta x) -f (x) = { frac {f (x pm delta x) -f (x)} { pm delta x}} cdot ( pm delta x) приблизительно pm { frac {df (x)} {dx}} delta x}$

Значимые цифры числа связаны с неопределенной ошибкой числа соотношением ${ displaystyle delta x приблизительно x cdot 10 ^ {1 - { rm {(~ значащие цифры ~ ~ x)}}}}$ . Подстановка этого в приведенное выше уравнение дает: ${ displaystyle f (x) cdot 10 ^ {1 - { rm {(~ значащие цифры ~ ~ f (x))}}} приблизительно { frac {df (x)} {dx}} x cdot 10 ^ {1 - { rm {(~ значащие цифры ~ ~ x)}}}}$

${ displaystyle 1 - { rm {(~ значащие цифры ~ ~ f (x))}} приблизительно log _ {10} left ({ frac {df (x)} {dx}} { frac {x} {f (x)}} cdot 10 ^ {1 - { rm {(~ значащие цифры ~ ~ x)}}} right) = 1 - { rm {(~ ~ значащие числа ~ ~ ~ x)}} + log _ {10} left ({ frac {df (x)} {dx}} { frac {x} {f (x)}} right)}$

${ displaystyle { rm {(~ значащие цифры ~ ~ f (x))}} приблизительно { rm {(~ ~ значащие цифры ~ ~ x)}} - log _ {10} left ({ гидроразрыв {df (x)} {dx}} { frac {x} {f (x)}} right)}$

Правила округления

Поскольку арифметика значимости включает округление, полезно понимать конкретное правило округления, которое часто используется при выполнении научных расчетов: правило округления до четности (также называемый банковское округление). Это особенно полезно при работе с большими наборами данных.

Это правило помогает устранить перекос данных вверх при использовании традиционных правил округления. В то время как традиционное округление всегда округляется в большую сторону, когда следующая цифра равна 5, банкиры иногда округляют в меньшую сторону, чтобы устранить это смещение вверх.

См. Статью о округление для получения дополнительной информации о правилах округления и подробного объяснения правила округления до четности.

Разногласия по поводу важности

Значимые числа широко используются в средней школе и на курсах бакалавриата в качестве условного обозначения точности, с которой известны измерения. Однако значимые цифры нет идеальное представление о неопределенности, и не должно быть. Вместо этого они являются полезным инструментом, позволяющим избежать выражения большего количества информации, чем фактически известно экспериментатору, и избежать округления чисел таким образом, чтобы они не теряли точности.

Например, вот некоторые важные различия между правилами значимых чисел и неопределенностью:

Неопределенность - это не ошибка. Если результат конкретного эксперимента указан как 1,234 ± 0,056, это не означает, что наблюдатель совершил ошибку; может случиться так, что результат по своей природе является статистическим и лучше всего описывается выражением, указывающим значение, показывающее только те цифры, которые являются значимыми, то есть известные цифры плюс одна неопределенная цифра, в данном случае 1,23 ± 0,06. В данных обстоятельствах было бы неверно описывать этот результат как 1,234, даже если он выражает меньше неопределенность.
Неопределенность - это не то же самое, что незначительность, и наоборот. Неопределенное число может быть очень значимым (пример: усреднение сигнала ). И наоборот, вполне определенное количество может быть незначительным.
Значимость - не то же самое, что значимость цифры. Подсчет цифр не является таким строгим способом представления значимости, как определение неопределенности отдельно и явно (например, 1,234 ± 0,056).
Ручная, алгебраическая распространение неопределенности - номинальная тема этой статьи - возможно, но сложно. Альтернативные методы включают провернуть три раза метод и Метод Монте-Карло. Другой вариант - интервальная арифметика, который может обеспечить строгую верхнюю границу неопределенности, но, как правило, не является жесткой верхней границей (т.е. не дает лучшая оценка неопределенности). Для большинства целей метод Монте-Карло более полезен, чем интервальная арифметика.^{[нужна цитата ]}. Кахан считает арифметику значимости ненадежной как форму автоматического анализа ошибок.^[2]

Чтобы явно выразить неопределенность в любом неопределенном результате, неопределенность следует указывать отдельно, с интервалом неопределенности и доверительным интервалом. Выражение 1,23 U95 = 0,06 означает, что истинное (неизвестное) значение переменной, как ожидается, будет находиться в интервале от 1,17 до 1,29 с достоверностью не менее 95%. Если доверительный интервал не указан, он традиционно принимается равным 95%, что соответствует двум стандартным отклонениям от среднего. Также обычно используются доверительные интервалы в одно стандартное отклонение (68%) и три стандартных отклонения (99%).

Смотрите также

дальнейшее чтение

Делури, Д. Б. (1958). «Расчеты с приблизительными числами». Учитель математики. 51 (7): 521–30. JSTOR 27955748.
Бонд, Э.А. (1931). «Значащие цифры в вычислениях с приближенными числами». Учитель математики. 24 (4): 208–12. JSTOR 27951340.
ASTM E29-06b, Стандартная практика использования значащих цифр в данных испытаний для определения соответствия спецификациям

внешняя ссылка

Часто задаваемые вопросы о десятичной арифметике. Является ли десятичная арифметика «значимой» арифметикой?
Расширенные методы управления неопределенностью и некоторые объяснения недостатков арифметики значений и значащих цифр.
Калькулятор значащих цифр - Отображает число с желаемым количеством значащих цифр.
Измерения и погрешности относительно значащих цифр или значащих цифр - Надлежащие методы выражения неопределенности, включая подробное обсуждение проблем с любым понятием значащих цифр.

[1] Харрисон, Джон (июнь 2009 г.). «Десятичные трансцендентальные числа через двоичные» (PDF). IEEE. Получено 2019-12-01.

[JavaHurt-2] Уильям Кахан (1 марта 1998 г.). "Как плавающая точка в JAVA причиняет вред всем и везде" (PDF). С. 37–39.

[1]

[2]