Дифференциальное включение - Differential inclusion

В математике дифференциальные включения являются обобщением концепции обыкновенное дифференциальное уравнение формы

{displaystyle {frac {dx} {dt}} (t) в F (t, x (t)),}

куда F это многозначная карта, т.е. F(т, Икс) это набор а не одна точка в ${displaystyle scriptstyle {mathbb {R}} ^ {d}}$ . Дифференциальные включения возникают во многих ситуациях, в том числе дифференциальные вариационные неравенства, проектируемые динамические системы, Процесс заметания Моро, линейные и нелинейные динамические системы с дополнительностью, разрывные обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы с переключениями и нечеткое множество арифметика.^[1]

Например, основное правило кулоновского трения состоит в том, что сила трения имеет величину мкН в направлении, противоположном направлению скольжения, где N нормальная сила и μ - постоянная величина (коэффициент трения). Однако, если скольжение равно нулю, сила трения может быть любой сила в правильной плоскости с величиной меньше или равной мкН. Таким образом, запись силы трения как функции положения и скорости приводит к заданной функции.

Теория

Теория существования обычно предполагает, что F(т, Икс) является верхний полунепрерывный функция Икс, измеримый в т, и это F(т, Икс) - замкнутое выпуклое множество для всех т и Икс. Существование решений начальной задачи.

{displaystyle {frac {dx} {dt}} (t) в F (t, x (t)), quad x (t_ {0}) = x_ {0}}

за достаточно малый промежуток времени [т₀, т₀ + ε), ε > 0. Глобальное существование может быть показано при условии F не допускает «взрыва» ( ${displaystyle scriptstyle Vert x (t) Vert, o, infty}$ в качестве ${displaystyle scriptstyle t, o, t ^ {*}}$ для конечного ${displaystyle scriptstyle t ^ {*}}$ ).

Теория существования дифференциальных включений с невыпуклыми F(т, Икс) является активной областью исследований.

Единственность решений обычно требует других условий. Например, предположим ${displaystyle F (t, x)}$ удовлетворяет одностороннее условие Липшица:

{displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) ^ {T} (F (t, x_ {1}) - F (t, x_ {2})) leq CVert x_ {1} -x_ {2} Vert ^ {2}}

для некоторых C для всех Икс₁ и Икс₂. Тогда задача начального значения

{displaystyle {frac {dx} {dt}} (t) в F (t, x (t)), quad x (t_ {0}) = x_ {0}}

имеет уникальное решение.

Это тесно связано с теорией максимальные монотонные операторы, разработанный Минти и Хаим Брезис.

Филиппов теория допускает только разрывы в производной ${displaystyle {frac {dx} {dt}} (t)}$ , но не допускает разрывов в состоянии, т.е. ${displaystyle x (t)}$ нужно быть непрерывным. Шацман и позже Моро (который дал ему общепринятое название) расширил понятие до измерить дифференциальное включение (MDI), в котором включение оценивается с помощью ограничение сверху за ${displaystyle x (t)}$ .^[2]^[3]

Приложения

Дифференциальные включения могут быть использованы для понимания и соответствующей интерпретации разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений, например, возникающих для Кулоновское трение в механических системах и идеальных переключателях в силовой электронике. Важный вклад внесен А.Ф. Филипповым, изучавшим регуляризации разрывных уравнений. Далее техника регуляризации была использована Н.Н. Красовский в теории дифференциальные игры.

Дифференциальные включения также лежат в основе негладкие динамические системы (NSDS) анализ,^[4] который используется в аналог исследование коммутации электрических цепей с использованием идеализированных компонентных уравнений (например, с использованием идеализированных прямых вертикальных линий для резко экспоненциальные области прямой и пробивной проводимости диодной характеристики )^[5] и при изучении некоторых негладкая механическая система Такие как скачкообразные колебания в системах с сухое трение или динамика влияние явления.^[6] Существует программное обеспечение, которое решает системы NSDS, например INRIA с Siconos.

Смотрите также

Жесткость, который влияет на ОДУ / DAE для функций с "крутыми поворотами" и влияет на численную сходимость

Рекомендации

^ Брольято, Бернар; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы с монотонными многозначными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». SIAM Review, vol.62, no 1, pp.3-129, доступно на hal.inria.fr/hal-02379498.
^ Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика с неравенствами: воздействия и жесткие ограничения. СИАМ. п. 125. ISBN 978-1-61197-070-8.
^ Бернар Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление. Springer International Publishing Switzerland, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8.
^ Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.
^ Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и симуляция коммутируемых цепей. Springer Science & Business Media. С. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4.
^ Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем.. Springer Science & Business Media. п. V (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8.

Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные карты и теория жизнеспособности. Grundl. der Math. Wiss. 264. Берлин: Springer. ISBN 9783540131052.
Обен, Жан-Пьер; Франковская, Элен (1990). Установленный анализ. Birkhäuser. ISBN 978-0817648473.
Деймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения.. Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3110132120.
Andres, J .; Горневич, Лех (2003). Принципы топологической неподвижной точки для краевых задач. Springer. ISBN 978-9048163182.
Филиппов, А.Ф. (1988). Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 90-277-2699-Х.

[Brogliato2020-1] Брольято, Бернар; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы с монотонными многозначными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». SIAM Review, vol.62, no 1, pp.3-129, доступно на hal.inria.fr/hal-02379498.

[Stewart2011-2] Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика с неравенствами: воздействия и жесткие ограничения. СИАМ. п. 125. ISBN 978-1-61197-070-8.

[Brogliato2016-3] Бернар Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление. Springer International Publishing Switzerland, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8.

[Kunze2000-4] Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.

[AcaryBonnefon2010-5] Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и симуляция коммутируемых цепей. Springer Science & Business Media. С. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4.

[LeineNijmeijer2013-6] Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем.. Springer Science & Business Media. п. V (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]