Теорема Штольца – Чезаро - Википедия - Stolz–Cesàro theorem

В математика, то Теорема Штольца – Чезаро является критерием доказательства сходимость последовательности. Теорема названа в честь математики Отто Штольц и Эрнесто Сезаро, который это впервые заявил и доказал.

Теорема Штольца – Чезаро может рассматриваться как обобщение Чезаро среднее, но и как Правило л'Опиталя для последовательностей.

Формулировка теоремы для ∙/∞ дело

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}}$ и ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ быть двумя последовательности из действительные числа. Предположить, что ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ это строго монотонный и расходящаяся последовательность (т.е. строго возрастающий и приближается ${ displaystyle + infty}$, или же строго убывающий и приближается ${ displaystyle - infty}$) и следующие предел существуют:

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l. }$

Тогда предел

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l. }$

Формулировка теоремы для 0/0 дело

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}}$ и ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ быть двумя последовательности из действительные числа. Предположим теперь, что ${ displaystyle (a_ {n}) to 0}$ и ${ displaystyle (b_ {n}) to 0}$ пока ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ является строго монотонный. Если

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l, }$

тогда

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l. }$^[1]

Доказательства

Доказательство теоремы для ${ Displaystyle cdot / infty}$ дело

Случай 1: предполагать ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастает и расходится с ${ displaystyle + infty}$, и ${ Displaystyle л < infty}$. По предположению у нас есть это для всех ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ Существует ${ displaystyle nu> 0}$ такой, что ${ displaystyle forall n> nu}$

${ displaystyle left | , { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} - l , right | <{ frac { epsilon} {2}},}$

что сказать

${ displaystyle l- epsilon / 2 <{ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} nu.}$

С ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастает, ${ displaystyle b_ {n + 1} -b_ {n}> 0}$, и имеет место

${ displaystyle (l- epsilon / 2) (b_ {n + 1} -b_ {n}) nu}$.

Затем мы замечаем, что

${ displaystyle a_ {n} = [(a_ {n} -a_ {n-1}) + dots + (a _ { nu +2} -a _ { nu +1})] + a _ { nu + 1}}$

таким образом, применяя указанное выше неравенство к каждому слагаемому в квадратных скобках, получаем

${ displaystyle { begin {align} & (l- epsilon / 2) (b_ {n} -b _ { nu +1}) + a _ { nu +1} = (l- epsilon / 2) [ (b_ {n} -b_ {n-1}) + dots + (b _ { nu +2} -b _ { nu +1})] + a _ { nu +1}$

Теперь, поскольку ${ displaystyle b_ {n} к + infty}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$, существует ${ displaystyle n_ {0}> 0}$ такой, что ${ displaystyle b_ {n} gneq 0}$ для всех ${ displaystyle n> n_ {0}}$, и мы можем разделить два неравенства на ${ displaystyle b_ {n}}$ для всех ${ Displaystyle п> макс { ню, п_ {0} }}$

${ displaystyle (l- epsilon / 2) + { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l- epsilon / 2)} {b_ {n}}} <{ гидроразрыв {a_ {n}} {b_ {n}}} <(l + epsilon / 2) + { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l + epsilon / 2)} {b_ {n}}}.}$

Две последовательности (которые определены только для ${ displaystyle n> n_ {0}}$ как мог быть ${ displaystyle N leq n_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle b_ {N} = 0}$)

${ displaystyle c_ {n} ^ { pm}: = { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l pm epsilon / 2)} {b_ {n}}} }$

бесконечно малы, поскольку ${ displaystyle b_ {n} к + infty}$ а числитель - постоянное число, поэтому для всех ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ существуют ${ displaystyle n _ { pm}> n_ {0}> 0}$, так что

${ displaystyle { begin {align} & | c_ {n} ^ {+} | < epsilon / 2, quad forall n> n _ {+}, & | c_ {n} ^ {-} | < epsilon / 2, quad forall n> n _ {-}, end {align}}}$

следовательно

${ displaystyle l- epsilon max lbrace nu, n _ { pm} rbrace =: N> 0,}$

что завершает доказательство. Случай с ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго убывающий и расходящийся ${ displaystyle - infty}$, и ${ Displaystyle л < infty}$ похож.

Случай 2: мы предполагаем ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастает и расходится с ${ displaystyle + infty}$, и ${ displaystyle l = + infty}$. Действуя как прежде, для всех ${ displaystyle { frac {3} {2}} M> 0}$ Существует ${ displaystyle nu> 0}$ такой, что для всех ${ Displaystyle п> ню}$

${ displaystyle { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M.}$

Опять же, применяя указанное выше неравенство к каждому члену в квадратных скобках, получаем

${ displaystyle a_ {n}> { frac {3} {2}} M (b_ {n} -b _ { nu +1}) + a _ { nu +1}, quad forall n> nu ,}$

и

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + { frac {a _ { nu +1} - { frac {3} { 2}} Mb _ { nu +1}} {b_ {n}}}, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}.$

Последовательность ${ displaystyle (c_ {n}) _ {n> n_ {0}}}$ определяется

${ displaystyle c_ {n}: = { frac {a _ { nu +1} - { frac {3} {2}} Mb _ { nu +1}} {b_ {n}}}}$

бесконечно мала, поэтому

${ displaystyle forall M / 2> 0 , exists { bar {n}}> n_ {0}> 0 { text {такой, что}} - M / 2 { bar {n}},}$

комбинируя это неравенство с предыдущим, заключаем

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + c_ {n}> M, quad forall n> max { nu, { bar {n}} } =: N.}$

Доказательства остальных случаев с ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастающий или убывающий и приближающийся ${ displaystyle + infty}$ или же ${ displaystyle - infty}$ соответственно и ${ displaystyle l = pm infty}$ все поступают таким же образом.

Доказательство теоремы для ${ displaystyle 0/0}$ дело

Случай 1: сначала рассмотрим случай с ${ Displaystyle л < infty}$ и ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастает. На этот раз для каждого ${ displaystyle m> 0}$, мы можем написать

${ displaystyle a_ {n} = (a_ {n} -a_ {n-1}) + dots + (a_ {m + nu +1} -a_ {m + nu}) + a_ {m + nu}, }$

и

${ displaystyle { begin {align} & (l- epsilon / 2) (b_ {n} -b _ { nu + m}) + a _ { nu + m} = (l- epsilon / 2) [ (b_ {n} -b_ {n-1}) + dots + (b _ { nu + m + 1} -b _ { nu + m})] + a _ { nu + m}$

Две последовательности

${ displaystyle c_ {m} ^ { pm}: = { frac {a _ { nu + m} -b _ { nu + m} (l pm epsilon / 2)} {b_ {n}}} }$

бесконечно малы, поскольку по гипотезе ${ displaystyle a_ {m}, b_ {m} to 0}$, таким образом, для всех ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ Существуют ${ displaystyle n ^ { pm}> 0}$ такой, что

${ displaystyle { begin {align} & | c_ {m} ^ {+} | < epsilon / 2, quad forall m> n _ {+}, & | c_ {m} ^ {-} | < epsilon / 2, quad forall m> n _ {-}, end {align}}}$

таким образом, выбирая ${ displaystyle m}$ соответствующим образом (то есть, взяв предел относительно ${ displaystyle m}$) мы получаем

${ displaystyle l- epsilon max { nu, n_ {0} },}$

что завершает доказательство.

Случай 2: мы предполагаем ${ displaystyle l = + infty}$ и ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастает. Для всех ${ displaystyle { frac {3} {2}} M> 0}$ Существует ${ displaystyle nu> 0}$ такой, что для всех ${ Displaystyle п> ню}$

${ displaystyle { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M.}$

Следовательно, для каждого ${ displaystyle m> 0}$

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + { frac {a _ { nu + m} - { frac {3} { 2}} Mb _ { nu + m}} {b_ {n}}}, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}.$

Последовательность

${ displaystyle c_ {m}: = { frac {a _ { nu + m} - { frac {3} {2}} Mb _ { nu + m}} {b_ {n}}}}$

сходится к ${ displaystyle 0}$ (сохраняя ${ displaystyle n}$ фиксировано), поэтому

${ displaystyle forall M / 2> 0 , exists { bar {n}}> 0 { text {такой, что}} - M / 2 { bar {n}},}$

и, выбирая ${ displaystyle m}$ Удобно завершаем доказательство

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + c_ {m}> M, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Приложения и примеры

Теорема о ${ Displaystyle cdot / infty}$ case имеет несколько заметных последствий, которые полезны при вычислении пределов.

Среднее арифметическое

Позволять ${ displaystyle (x_ {n})}$ последовательность действительных чисел, сходящаяся к ${ displaystyle l}$, определять

${ displaystyle a_ {n}: = sum _ {m = 1} ^ {n} x_ {m} = x_ {1} + dots + x_ {n}, quad b_ {n}: = n}$

тогда ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго возрастает и расходится в ${ displaystyle + infty}$. Мы вычисляем

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n + 1} = lim _ {n to infty} x_ {n} = l}$

следовательно

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {x_ {1} + dots + x_ {n}} {n}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Учитывая любую последовательность ${ Displaystyle (х_ {п}) _ {п geq 1}}$ действительных чисел, предположим, что

${ Displaystyle lim _ {п к infty} x_ {n}}$

существует (конечный или бесконечный), то

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {x_ {1} + dots + x_ {n}} {n}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Среднее геометрическое

Позволять ${ displaystyle (x_ {n})}$ последовательность положительных действительных чисел, сходящаяся к ${ displaystyle l}$ и определить

${ displaystyle a_ {n}: = log (x_ {1} cdots x_ {n}), quad b_ {n}: = n,}$

снова мы вычисляем

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = lim _ {n в infty} log { Big (} { frac {x_ {1} cdots x_ {n + 1}} {x_ {1} cdots x_ {n}}} { Big)} = lim _ {n to infty} log (x_ {n + 1}) = lim _ {n to infty} log (x_ {n}) = log (l),}$

где мы использовали тот факт, что логарифм непрерывно. Таким образом

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (x_ {1} cdots x_ {n})} {n}} = lim _ {n to infty} log { Big (} (x_ {1} cdots x_ {n}) ^ { frac {1} {n}} { Big)} = log (l),}$

поскольку логарифм непрерывен и инъективен, мы можем заключить, что

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} cdots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n}}$.

Учитывая любую последовательность ${ Displaystyle (х_ {п}) _ {п geq 1}}$ (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

${ Displaystyle lim _ {п к infty} x_ {n}}$

существует (конечный или бесконечный), то

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} cdots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Предположим, нам дана последовательность ${ Displaystyle (у_ {п}) _ {п geq 1}}$ и нас просят вычислить

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}},}$

определение ${ displaystyle y_ {0} = 1}$ и ${ displaystyle x_ {n} = y_ {n} / y_ {n-1}}$ мы получаем

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} dots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} { sqrt [{ n}] { frac {y_ {1} dots y_ {n}} {y_ {0} cdot y_ {1} dots y_ {n-1}}}} = lim _ {n to infty } { sqrt [{n}] {y_ {n}}},}$

если мы применим свойство выше

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n} = lim _ {n в infty} { frac {y_ {n}} {y_ {n-1}}}.}$

Эта последняя форма обычно наиболее полезна для вычисления пределов.

Учитывая любую последовательность ${ Displaystyle (у_ {п}) _ {п geq 1}}$ (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {y_ {n + 1}} {y_ {n}}}}$

существует (конечный или бесконечный), то

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}} = lim _ {n to infty} { frac {y_ {n + 1}} {y_ {n}}}.}$

Примеры

Пример 1

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n}} = lim _ {n to infty} { frac {n + 1} {n}} = 1 .}$

Пример 2

${ Displaystyle { begin {align} lim _ {n to infty} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} & = lim _ {n to infty } { frac {(n + 1)! (n ^ {n})} {n! (n + 1) ^ {n + 1}}} & = lim _ {n to infty} { frac {n ^ {n}} {(n + 1) ^ {n}}} = lim _ {n to infty} { frac {1} {(1 + { frac {1} {n }}) ^ {n}}} = { frac {1} {e}}. end {align}}}$

мы использовали представление ${ displaystyle e}$ как предел последовательности на последнем этапе.

Пример 3

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (n!)} {n log (n)}} = lim _ {n to infty} { frac { log ({ sqrt [{n}] {n!}})} { log (n)}},}$

Заметь

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n!}} = lim _ {n to infty} { frac {(n + 1)!} {n !}} = lim _ {n to infty} (n + 1)}$

следовательно

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (n!)} {n log (n)}} = lim _ {n to infty} { frac { log (n + 1)} { log (n)}} = 1.}$

Пример 4

Рассмотрим последовательность

${ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} { frac {n!} {n ^ {n}}}}$

это можно записать как

${ displaystyle a_ {n} = b_ {n} cdot c_ {n}, quad b_ {n}: = (- 1) ^ {n}, c_ {n}: = { Big (} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} { Big)} ^ {n},}$

последовательность ${ displaystyle (b_ {n})}$ ограничена (и колеблется), а

${ displaystyle lim _ {n to infty} { Big (} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} { Big)} ^ {n} = lim _ {n to infty} (1 / e) ^ {n} = 0,}$

к известный предел, потому что ${ Displaystyle 1 / е <1}$; следовательно

${ displaystyle lim _ {n to infty} (- 1) ^ {n} { frac {n!} {n ^ {n}}} = 0.}$

История

Случай ∞ / ∞ изложен и доказан на страницах 173–175 книги Штольца 1885 года, а также на странице 54 статьи Чезаро 1888 года.

Она появляется как Проблема 70 в Pólya and Szeg (1925).

Общая форма

Заявление

Общий вид теоремы Штольца – Чезаро следующий:^[2] Если ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}}$ и ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ две последовательности такие, что ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ монотонно и неограниченно, то:

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}.}$

Доказательство

Вместо доказательства предыдущего утверждения мы докажем несколько иное; сначала введем обозначение: пусть ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}}$ - любая последовательность, ее частичная сумма будем обозначать ${ displaystyle A_ {n}: = sum _ {m geq 1} ^ {n} a_ {m}}$. Эквивалентное утверждение, которое мы докажем:

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п geq 1}, (b_ {п}) _ { geq 1}}$ быть любыми двумя последовательностями действительные числа такой, что

• ${ displaystyle b_ {n}> 0, quad forall n in { mathbb {Z}} _ {> 0}}$,
• ${ displaystyle lim _ {n to infty} B_ {n} = + infty}$,

тогда

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}.}$

Доказательство эквивалентного утверждения

Сначала мы замечаем, что:

• ${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ выполняется по определению ограничивать высшее и ограничивать низшее;
• ${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ выполняется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ потому что ${ displaystyle liminf _ {n to infty} x_ {n} = - limsup _ {n to infty} (- x_ {n})}$ для любой последовательности ${ Displaystyle (х_ {п}) _ {п geq 1}}$.

Поэтому нам нужно только показать, что ${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$. Если ${ displaystyle L: = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = + infty}$ доказывать нечего, поэтому мы можем предположить ${ Displaystyle L <+ infty}$ (может быть как конечным, так и ${ displaystyle - infty}$). По определению ${ displaystyle limsup}$, для всех ${ displaystyle l> L}$ есть натуральное число ${ displaystyle nu> 0}$ такой, что

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} nu.}$

Мы можем использовать это неравенство, чтобы написать

${ displaystyle A_ {n} = A _ { nu} + a _ { nu +1} + dots + a_ {n} nu,}$

Потому что ${ displaystyle b_ {n}> 0}$, у нас также есть ${ displaystyle B_ {n}> 0}$ и мы можем разделить на ${ displaystyle B_ {n}}$ получить

${ displaystyle { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} <{ frac {A _ { nu} -lB _ { nu}} {B_ {n}}} + l, quad forall п> ню.}$

С ${ displaystyle B_ {n} к + infty}$ в качестве ${ Displaystyle п к + infty}$, последовательность

${ displaystyle { frac {A _ { nu} -lB _ { nu}} {B_ {n}}} to 0 { text {as}} n to + infty { text {(сохранение}} nu { text {fixed)}},}$

и получаем

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq l, quad forall l> L,}$

По определению наименьшая верхняя граница, это и означает, что

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq L = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n }} {b_ {n}}},}$

и мы закончили.

Доказательство оригинального заявления

Теперь возьми ${ Displaystyle (а_ {п}), (б_ {п})}$ как в формулировке общей формы теоремы Штольца-Чезаро и определим

${ displaystyle alpha _ {1} = a_ {1}, alpha _ {k} = a_ {k} -a_ {k-1}, , forall k> 1 quad beta _ {1} = b_ {1}, beta _ {k} = b_ {k} -b_ {k-1} , forall k> 1}$

поскольку ${ displaystyle (b_ {n})}$ строго монотонно (например, можно считать строго возрастающим), ${ displaystyle beta _ {n}> 0}$ для всех ${ displaystyle n}$ и с тех пор ${ displaystyle b_ {n} к + infty}$ также ${ displaystyle mathrm {B} _ {n} = b_ {1} + (b_ {2} -b_ {1}) + dots + (b_ {n} -b_ {n-1}) = b_ {n } к + infty}$, поэтому мы можем применить только что доказанную теорему к ${ Displaystyle ( альфа _ {п}), ( бета _ {п})}$ (и их частичные суммы ${ displaystyle ( mathrm {A} _ {n}), ( mathrm {B} _ {n})}$)

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = limsup _ {n to infty} { frac { mathrm {A} _ {n}} { mathrm {B} _ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac { alpha _ {n}} { beta _ {n}}} = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n} -a_ {n-1}} {b_ {n} -b_ {n-1}}},}$

что мы и хотели доказать.

Рекомендации

• Мурешан, Мариан (2008), Конкретный подход к классическому анализу, Берлин: Springer, стр. 85–88, ISBN  978-0-387-78932-3.
• Штольц, Отто (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Лейпциг: Teubners, стр. 173–175..
• Чезаро, Эрнесто (1888), "Sur la convergence des séries", Nouvelles annales de mathématiques, Серия 3, 7: 49–59.
• Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, я, Берлин: Springer.
• А.Д.Р. Чоудари, Константин Никулеску: Реальный анализ по интервалам. Springer, 2014 г., ISBN  9788132221487, стр. 59-62
• Дж. Маршалл Эш, Аллан Береле, Стефан Катойу: Правдоподобное и подлинное расширение правила L’Hospital. Математический журнал, Vol. 85, № 1 (февраль 2012 г.), стр. 52–60 (JSTOR )

внешняя ссылка

• Правило Лопиталя и теорема Штольца-Чезаро на imomath.com
• Доказательство теоремы Штольца – Чезаро. в PlanetMath.

Примечания

В статье использован материал из теоремы Штольца-Чезаро о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.