Барицентрическая система координат - Barycentric coordinate system

В геометрия, а барицентрическая система координат это система координат в котором местоположение точки указывается ссылкой на симплекс (а треугольник для очков в самолет, а тетраэдр для очков в трехмерное пространство, так далее.). В барицентрические координаты точки можно интерпретировать как массы размещены в вершинах симплекса, так что точка является центр массы (или же барицентр) этих масс. Эти массы могут быть нулевыми или отрицательными; все они положительны тогда и только тогда, когда точка находится внутри симплекса.

Каждая точка имеет барицентрические координаты, и их сумма не равна нулю. Два кортеж барицентрических координат задают одну и ту же точку тогда и только тогда, когда они пропорциональны; то есть, если один кортеж может быть получен путем умножения элементов другого кортежа на такое же ненулевое число. Следовательно, барицентрические координаты считаются определенными вплоть до умножение на ненулевую константу или нормализованное для суммирования до единицы.

Барицентрические координаты были введены Август Фердинанд Мёбиус в 1827 г.^[1][2][3] Они особенные однородные координаты. Барицентрические координаты сильно связаны с Декартовы координаты и, в более общем плане, аффинные координаты (видеть Аффинное пространство § Связь между барицентрическими и аффинными координатами ).

Барицентрические координаты особенно полезны в геометрия треугольника для изучения свойств, не зависящих от углов треугольника, таких как Теорема Чевы. В Системы автоматизированного проектирования, они полезны для определения некоторых Поверхности Безье. ^[4][5]

Определение

Позволять ${ displaystyle A_ {0}, ldots, A_ {n}}$ быть п + 1 очков в Евклидово пространство, а плоский или аффинное пространство ${ displaystyle mathbf {A}}$ измерения п которые аффинно независимый; это означает, что нет аффинное подпространство измерения п который содержит все точки, или, что то же самое, точки определяют симплекс. Учитывая любую точку ${ displaystyle P in mathbf {A},}$ Существуют скаляры ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ которые не все равны нулю, так что

${ displaystyle (a_ {0} + cdots + a_ {n}) { overrightarrow {OP}} = a_ {0} { overrightarrow {OA_ {0}}} + cdots + a_ {n} { overrightarrow {OA_ {n}}},}$

для любой точки О. (Как обычно, обозначения ${ displaystyle { overrightarrow {AB}}}$ представляет вектор перевода или же бесплатный вектор что отображает точку А к точке B.)

Элементы (п + 1)кортеж ${ displaystyle (a_ {0}: dotsc: a_ {n})}$ который удовлетворяет этому уравнению, называются барицентрические координаты из п относительно ${ displaystyle A_ {0}, ldots, A_ {n}.}$ Использование двоеточий в обозначении кортежа означает, что барицентрические координаты являются своего рода однородные координаты, то есть точка не изменяется, если все координаты умножаются на одну и ту же ненулевую константу. Более того, барицентрические координаты также не меняются, если вспомогательная точка О, то источник, изменено.

Барицентрические координаты точки уникальны вплоть до а масштабирование. То есть два кортежа ${ displaystyle (a_ {0}: dotsc: a_ {n})}$ и ${ displaystyle (b_ {0}: dotsc: b_ {n})}$ являются барицентрическими координатами одной и той же точки если и только если есть ненулевой скаляр ${ displaystyle lambda}$ такой, что ${ displaystyle b_ {i} = lambda a_ {i}}$ для каждого я.

В некоторых случаях полезно сделать уникальными барицентрические координаты точки. Это получается путем наложения условия

${ displaystyle sum a_ {i} = 1,}$

или, что то же самое, разделив каждый ${ displaystyle a_ {i}}$ по сумме всех ${ displaystyle a_ {i}.}$ Эти конкретные барицентрические координаты называются нормализованный или же абсолютные барицентрические координаты.^[6] Иногда их еще называют аффинные координаты, хотя этот термин обычно относится к несколько иному понятию.

Иногда это нормализованные барицентрические координаты, которые называют барицентрические координаты. В этом случае указанные выше координаты называются однородные барицентрические координаты.

В указанных выше обозначениях однородные барицентрические координаты А_я равны нулю, кроме индекса я. При работе над действительные числа (приведенное выше определение используется также для аффинных пространств над произвольной поле ) точки, все нормированные барицентрические координаты которых неотрицательны, образуют выпуклый корпус из ${ displaystyle {A_ {0}, ldots, A_ {n} },}$ какой симплекс вершинами которого являются эти точки.

С указанными выше обозначениями кортеж ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {п})}$ такой, что

${ Displaystyle сумма _ {я = 0} ^ {п} а_ {я} = 0}$

не определяет какую-либо точку, но вектор

${ displaystyle a_ {0} { overrightarrow {OA_ {0}}} + cdots + a_ {n} { overrightarrow {OA_ {n}}}}$

не зависит от происхождения О. Поскольку направление этого вектора не меняется, если все ${ displaystyle a_ {i}}$ умножаются на один и тот же скаляр, однородный набор ${ displaystyle (a_ {0}: dotsc: a_ {n})}$ определяет направление линий, то есть точка в бесконечности. Подробности смотрите ниже.

Связь с декартовыми или аффинными координатами

Барицентрические координаты сильно связаны с Декартовы координаты и, в более общем плане, аффинные координаты. Для пространства измерения п, эти системы координат определены относительно точки О, то источник, координаты которого равны нулю, и п точки ${ displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {n},}$ чьи координаты равны нулю, кроме индекса я это равно одному.

Точка имеет координаты

${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$

для такой системы координат тогда и только тогда, когда ее нормированные барицентрические координаты равны

${ displaystyle (1-x_ {1} - cdots -x_ {n}, x_ {1}, ldots, x_ {n})}$

относительно точек ${ displaystyle O, A_ {1}, ldots, A_ {n}.}$

Основное преимущество барицентрических систем координат состоит в том, что они симметричны относительно п + 1 определяющие точки. Поэтому они часто полезны для изучения свойств, симметричных относительно п + 1 точки. С другой стороны, расстояния и углы трудно выразить в общих барицентрических системах координат, и когда они задействованы, обычно проще использовать декартову систему координат.

Связь с проективными координатами

Однородные барицентрические координаты также сильно связаны с некоторыми проективные координаты. Однако эта связь более тонкая, чем в случае аффинных координат, и для ясного понимания требует бескординатного определения проективное завершение из аффинное пространство, и определение проекционная рамка.

В проективное завершение аффинного пространства размерности п это проективное пространство того же измерения, которое содержит аффинное пространство как дополнять из гиперплоскость. Проективное пополнение уникально вплоть до ан изоморфизм. Гиперплоскость называется гиперплоскость в бесконечности, а его точки - указывает на бесконечность аффинного пространства.^[7]

Учитывая проективное пространство размерности п, а проекционная рамка упорядоченный набор п + 2 точки, не лежащие в одной гиперплоскости. Проективный фрейм определяет проективную систему координат, такую ​​что координаты (п + 2)-й точки кадра все равны, в противном случае все координаты я-я точка равна нулю, кроме яй один.^[7]

При построении проективного пополнения из аффинной системы координат обычно определяют его относительно проективного репера, состоящего из пересечений с гиперплоскостью на бесконечности оси координат, начало аффинного пространства и точка, у которой все аффинные координаты равны единице. Это означает, что точка на бесконечности имеет свою последнюю координату, равную нулю, и что проективные координаты точки аффинного пространства получаются дополнением ее аффинных координат единицей как (п + 1)-я координата.

Когда есть п + 1 точки в аффинном пространстве, определяющие барицентрическую систему координат, это еще один проективный каркас проективного пополнения, который удобно выбрать. Эта рамка состоит из этих точек и их центроид, то есть точка, у которой все барицентрические координаты равны. В этом случае однородные барицентрические координаты точки в аффинном пространстве совпадают с проективными координатами этой точки. Точка находится на бесконечности тогда и только тогда, когда сумма ее координат равна нулю. Эта точка находится в направлении вектора, определенного в конце § Определение.

Барицентрические координаты на треугольниках

Эта секция может быть сбивает с толку или неясно читателям. В частности, это излишне технически и сложно. Пожалуйста, помоги нам прояснить раздел. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Декабрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В контексте треугольник, барицентрические координаты также известны как координаты области или же площадные координаты, потому что координаты п относительно треугольника ABC эквивалентны (знаковым) отношениям площадей КПБ, PCA и PAB в область справочного треугольника ABC. Ареал и трилинейные координаты используются для аналогичных целей в геометрии.

Барицентрические или площадные координаты чрезвычайно полезны в инженерных приложениях, связанных с треугольные подобласти. Это делает аналитические интегралы часто легче оценить, и Квадратура Гаусса таблицы часто представлены в виде координат местности.

Рассмотрим треугольник ${ displaystyle T}$ определяется его тремя вершинами, ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$ и ${ displaystyle mathbf {r} _ {3}}$. Каждая точка ${ displaystyle mathbf {r}}$ расположенный внутри этого треугольника можно записать как уникальный выпуклое сочетание из трех вершин. Другими словами, для каждого ${ displaystyle mathbf {r}}$ есть уникальная последовательность из трех чисел, ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} geq 0}$ такой, что ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3} = 1}$ и

${ displaystyle mathbf {r} = lambda _ {1} mathbf {r} _ {1} + lambda _ {2} mathbf {r} _ {2} + lambda _ {3} mathbf { r} _ {3},}$

Три числа ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ указать "барицентрические" или "площадные" координаты точки ${ displaystyle mathbf {r}}$ относительно треугольника. Их часто обозначают как ${ displaystyle alpha, beta, gamma}$ вместо ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$. Обратите внимание, что хотя есть три координаты, есть только две. степени свободы, поскольку ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3} = 1}$. Таким образом, каждая точка однозначно определяется любыми двумя барицентрическими координатами.

Чтобы объяснить, почему эти координаты знаковые соотношения площадей, допустим, что мы работаем в Евклидово Космос ${ displaystyle mathbf {E} ^ {3}}$. Здесь рассмотрим Декартова система координат ${ displaystyle Oxyz}$ и связанные с ним основа, а именно ${ Displaystyle { mathbf {я}, mathbf {j}, mathbf {k} }}$. Рассмотрим также положительно ориентированный треугольник ${ displaystyle ABC}$ лежащий в ${ displaystyle Oxy}$ самолет. Известно, что для любого основа ${ displaystyle { mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {g} }}$ из ${ displaystyle mathbf {E} ^ {3}}$ и любой бесплатный вектор ${ displaystyle mathbf {h}}$ надо^[8]

${ displaystyle mathbf {h} = { frac {1} {( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {g})}} cdot left [( mathbf {h}, mathbf {f}, mathbf {g}) mathbf {e} + ( mathbf {e}, mathbf {h}, mathbf {g}) mathbf {f} + ( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {h}) mathbf {g} right],}$

куда ${ displaystyle ( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {g}) = ( mathbf {e} times mathbf {f}) cdot mathbf {g}}$ стоит за смешанный продукт этих трех векторов.

Брать ${ displaystyle mathbf {e} = { vec {AB}}, , mathbf {f} = { vec {AC}}, , mathbf {g} = mathbf {k}, , mathbf {h} = { vec {AP}}}$, куда ${ displaystyle P}$ произвольная точка на плоскости ${ displaystyle Oxy}$, и отметим, что

${ displaystyle ( mathbf {e}, mathbf {f}, mathbf {h}) = ({ vec {AB}} times { vec {AC}}) cdot { vec {AP}} = ( vert { vec {AB}} times { vec {AC}} vert mathbf {k}) cdot { vec {AP}} = 0.}$

Тонкость относительно нашего выбора свободных векторов: ${ displaystyle mathbf {e}}$ на самом деле класс эквивалентности из связанный вектор ${ displaystyle { vec {AB}}}$.

Мы получили, что

${ displaystyle { vec {AP}} = m_ {B} cdot { vec {AB}} + m_ {C} cdot { vec {AC}}, , { mbox {где}} , m_ {B} = { frac {({ vec {AP}}, { vec {AC}}, mathbf {k})} {({ vec {AB}}, { vec {AC}} , mathbf {k})}}, , m_ {C} = { frac {({ vec {AB}}, { vec {AP}}, mathbf {k})} {({ vec {AB}}, { vec {AC}}, mathbf {k})}}.}.$

Учитывая положительный (против часовой стрелки ) ориентация треугольника ${ displaystyle ABC}$, то знаменатель обоих ${ displaystyle m_ {B}}$ и ${ displaystyle m_ {C}}$ это в точности двойник площадь треугольника ${ displaystyle ABC}$. Также,

${ displaystyle ({ vec {AP}}, { vec {AC}}, mathbf {k}) = ({ vec {PC}}, { vec {PA}}, mathbf {k}) , { mbox {и}} , ({ vec {AB}}, { vec {AP}}, mathbf {k}) = ({ vec {PA}}, { vec {PB} }, mathbf {k})}$

и так числители из ${ displaystyle m_ {B}}$ и ${ displaystyle m_ {C}}$ являются двойниками подписанные области треугольников ${ displaystyle APC}$ и соответственно ${ displaystyle ABP}$.

Далее выводим, что

${ displaystyle { vec {OP}} = (1-m_ {B} -m_ {C}) cdot { vec {OA}} + m_ {B} cdot { vec {OB}} + m_ { C} cdot { vec {OC}}}$

что означает, что числа ${ displaystyle 1-m_ {B} -m_ {C}}$, ${ displaystyle m_ {B}}$ и ${ displaystyle m_ {C}}$ - барицентрические координаты ${ displaystyle P}$. Точно так же третья барицентрическая координата читается как

${ displaystyle m_ {A} = 1-m_ {B} -m_ {C} = { frac {({ vec {PB}}, { vec {PC}}, mathbf {k})} {( { vec {AB}}, { vec {AC}}, mathbf {k})}}.}$

Этот ${ displaystyle m}$-буквенное обозначение барицентрических координат связано с тем, что точка ${ displaystyle P}$ можно интерпретировать как центр массы для масс ${ displaystyle m_ {A}}$, ${ displaystyle m_ {B}}$, ${ displaystyle m_ {C}}$ которые расположены в ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$.

Переключение между барицентрическими координатами и другими системами координат значительно упрощает решение некоторых проблем.

Преобразование между барицентрическими и декартовыми координатами

Учитывая точку ${ displaystyle mathbf {r}}$ в плоскости треугольника можно получить барицентрические координаты ${ displaystyle lambda _ {1}}$, ${ displaystyle lambda _ {2}}$ и ${ displaystyle lambda _ {3}}$ от Декартовы координаты ${ Displaystyle (х, у)}$ или наоборот.

Мы можем записать декартовы координаты точки ${ displaystyle mathbf {r}}$ через декартовы компоненты вершин треугольника ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {3}}$ куда ${ displaystyle mathbf {r} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i})}$ и в терминах барицентрических координат ${ displaystyle mathbf {r}}$ в качестве

${ displaystyle { begin {matrix} x = lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} + lambda _ {3} x_ {3} y = lambda _ {1} y_ {1} + lambda _ {2} y_ {2} + lambda _ {3} y_ {3} end {matrix}}}$

То есть декартовы координаты любой точки представляют собой средневзвешенное значение декартовых координат вершин треугольника, при этом веса представляют собой барицентрические координаты точки, суммируемые с единицей.

Чтобы найти обратное преобразование из декартовых координат в барицентрические координаты, мы сначала подставляем ${ displaystyle lambda _ {3} = 1- lambda _ {1} - lambda _ {2}}$ в приведенное выше, чтобы получить

${ displaystyle { begin {matrix} x = lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} + (1- lambda _ {1} - lambda _ {2}) x_ {3} y = lambda _ {1} y_ {1} + lambda _ {2} y_ {2} + (1- lambda _ {1} - lambda _ {2}) y_ {3 } конец {матрица}}}$

Переставляя, это

${ displaystyle { begin {matrix} lambda _ {1} (x_ {1} -x_ {3}) + lambda _ {2} (x_ {2} -x_ {3}) + x_ {3} - x = 0 lambda _ {1} (y_ {1} -y_ {3}) + lambda _ {2} (y_ {2} -y_ {3}) + y_ {3} -y = 0 конец {матрица}}}$

Этот линейное преобразование можно записать более кратко как

${ Displaystyle mathbf {T} cdot lambda = mathbf {r} - mathbf {r} _ {3}}$

куда ${ displaystyle lambda}$ это вектор первых двух барицентрических координат, ${ displaystyle mathbf {r}}$ это вектор из Декартовы координаты, и ${ displaystyle mathbf {T}}$ это матрица данный

${ displaystyle mathbf {T} = left ({ begin {matrix} x_ {1} -x_ {3} & x_ {2} -x_ {3} y_ {1} -y_ {3} & y_ {2}) } -y_ {3} конец {матрица}} right)}$

Теперь матрица ${ displaystyle mathbf {T}}$ является обратимый, поскольку ${ displaystyle mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {3}}$ и ${ displaystyle mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {3}}$ находятся линейно независимый (если бы это было не так, то ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$, и ${ displaystyle mathbf {r} _ {3}}$ было бы коллинеарен и не образовал бы треугольник). Таким образом, мы можем изменить приведенное выше уравнение, чтобы получить

${ displaystyle left ({ begin {matrix} lambda _ {1} lambda _ {2} end {matrix}} right) = mathbf {T} ^ {- 1} ( mathbf { r} - mathbf {r} _ {3})}$

Таким образом, поиск барицентрических координат свелся к нахождению 2 × 2 обратная матрица из ${ displaystyle mathbf {T}}$Простая проблема.

Явно формулы для барицентрических координат точки ${ displaystyle mathbf {r}}$ в декартовых координатах (х, у) и в декартовых координатах вершин треугольника:

${ displaystyle lambda _ {1} = { frac {(y_ {2} -y_ {3}) (x-x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y-y_ { 3})} { det (T)}} = { frac {(y_ {2} -y_ {3}) (x-x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y -y_ {3})} {(y_ {2} -y_ {3}) (x_ {1} -x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ { 3})}} ,,}$

${ displaystyle lambda _ {2} = { frac {(y_ {3} -y_ {1}) (x-x_ {3}) + (x_ {1} -x_ {3}) (y-y_ { 3})} { det (T)}} = { frac {(y_ {3} -y_ {1}) (x-x_ {3}) + (x_ {1} -x_ {3}) (y -y_ {3})} {(y_ {2} -y_ {3}) (x_ {1} -x_ {3}) + (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ { 3})}} ,,}$

${ displaystyle lambda _ {3} = 1- lambda _ {1} - lambda _ {2} ,.}$

Другой способ решить преобразование из декартовых координат в барицентрические - это переписать задачу в матричной форме так, чтобы

${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {R} { boldsymbol { lambda}}}$

с ${ Displaystyle mathbf {R} = left ({ begin {matrix} mathbf {r} _ {1} | mathbf {r} _ {2} | mathbf {r} _ {3} end { матрица}} справа)}$и${ displaystyle { boldsymbol { lambda}} = left ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} right) ^ { top}}$. Тогда условие ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3} = 1}$читает ${ displaystyle left (1,1,1 right) { boldsymbol { lambda}} = 1}$а барицентрические координаты могут быть решены как решение линейной системы

${ displaystyle left ({ begin {matrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} 1 & 1 & 1 end {matrix}} right) { boldsymbol { lambda}} = left ({ begin {matrix} x y 1 end {matrix}} right)}$

Преобразование между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейные координаты Икс : у : z имеет барицентрические координаты топор : к : cz куда а, б, c - длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентриками ${ displaystyle lambda _ {1}: lambda _ {2}: lambda _ {3}}$ имеет трилинейные ${ displaystyle lambda _ {1} / a: lambda _ {2} / b: lambda _ {3} / c.}$

Уравнения в барицентрических координатах

Стороны а, б, в соответственно имеют уравнения^[9]

${ displaystyle lambda _ {1} = 0, quad lambda _ {2} = 0, quad lambda _ {3} = 0.}$

Уравнение треугольника Линия Эйлера является^[9]

${ displaystyle { begin {vmatrix} lambda _ {1} & lambda _ {2} & lambda _ {3} 1 & 1 & 1 tan A & tan B & tan C end {vmatrix}} = 0.}$

Используя ранее данное преобразование между барицентрическими и трилинейными координатами, различные другие уравнения, приведенные в Трилинейные координаты # Формулы можно переписать в барицентрических координатах.

Расстояние между точками

Вектор смещения двух нормированных точек ${ Displaystyle P = (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3})}$ и ${ Displaystyle Q = (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ является^[10]

${ displaystyle { overrightarrow {PQ}} = (p_ {1} -q_ {1}, p_ {2} -q_ {2}, p_ {3} -q_ {3}).}$

Расстояние ${ displaystyle d}$ между ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$, или длина вектора смещения ${ displaystyle { overrightarrow {PQ}} = (x, y, z),}$ является^[9][10]

${ displaystyle d ^ {2} = left | PQ right | ^ {2} = - a ^ {2} yz-b ^ {2} zx-c ^ {2} xy = { frac {1} { 2}} [x ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) + y ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ { 2}) + z ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2})].}$

куда а, б, в - стороны треугольника. Эквивалентность двух последних выражений следует из ${ displaystyle x + y + z = 0,}$ что имеет место, потому что ${ displaystyle x + y + z = (p_ {1} -q_ {1}) + (p_ {2} -q_ {2}) + (p_ {3} -q_ {3}) = (p_ {1} + p_ {2} + p_ {3}) - (q_ {1} + q_ {2} + q_ {3}) = 1-1 = 0.}$

Барицентрические координаты точки могут быть вычислены на основе расстояний d_я к трем вершинам треугольника, решив уравнение

${ displaystyle left ({ begin {matrix} -c ^ {2} & c ^ {2} & b ^ {2} -a ^ {2} - b ^ {2} & c ^ {2} -a ^ {2} & b ^ {2} 1 & 1 & 1 end {matrix}} right) { boldsymbol { lambda}} = left ({ begin {matrix} d_ {A} ^ {2} -d_ {B } ^ {2} d_ {A} ^ {2} -d_ {C} ^ {2} 1 end {matrix}} right).}$

Приложения

Определение местоположения относительно треугольника

Хотя барицентрические координаты чаще всего используются для обработки точек внутри треугольника, их также можно использовать для описания точки вне треугольника. Если точка не находится внутри треугольника, мы все равно можем использовать приведенные выше формулы для вычисления барицентрических координат. Однако, поскольку точка находится вне треугольника, по крайней мере одна из координат нарушит наше исходное предположение, что ${ displaystyle lambda _ {1 ... 3} geq 0}$. Фактически, для любой точки в декартовых координатах мы можем использовать этот факт, чтобы определить, где эта точка находится относительно треугольника.

Если точка лежит внутри треугольника, все барицентрические координаты лежат в открытый интервал ${ displaystyle (0,1).}$ Если точка лежит на краю треугольника, но не в вершине, одна из координат области ${ displaystyle lambda _ {1 ... 3}}$ (один, связанный с противоположной вершиной) равен нулю, а два других лежат в открытом интервале ${ displaystyle (0,1).}$ Если точка лежит на вершине, координата, связанная с этой вершиной, равна 1, а остальные равны нулю. Наконец, если точка лежит вне треугольника, по крайней мере одна координата отрицательна.

Подводя итог,

Точка ${ displaystyle mathbf {r}}$ лежит внутри треугольника если и только если ${ Displaystyle 0 < лямбда _ {я} <1 ; forall ; я { текст {in}} {1,2,3}}$.

${ displaystyle mathbf {r}}$ лежит на краю или углу треугольника, если ${ displaystyle 0 leq lambda _ {i} leq 1 ; forall ; i { text {in}} {1,2,3}}$ и ${ displaystyle lambda _ {i} = 0 ; { text {, для некоторых я в}} {1,2,3}}$.

Иначе, ${ displaystyle mathbf {r}}$ лежит вне треугольника.

В частности, если точка лежит на противоположной стороне боковой линии от вершины, противоположной этой боковой линии, то барицентрическая координата этой точки, соответствующая этой вершине, отрицательна.

Интерполяция на треугольной неструктурированной сетке

Если ${ displaystyle f ( mathbf {r} _ {1}), f ( mathbf {r} _ {2}), f ( mathbf {r} _ {3})}$ - известные величины, но значения ${ displaystyle f}$ внутри треугольника, определяемого ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, mathbf {r} _ {3}}$ неизвестно, их можно аппроксимировать с помощью линейная интерполяция. Барицентрические координаты обеспечивают удобный способ вычисления этой интерполяции. Если ${ displaystyle mathbf {r}}$ - точка внутри треугольника с барицентрическими координатами ${ displaystyle lambda _ {1}}$, ${ displaystyle lambda _ {2}}$, ${ displaystyle lambda _ {3}}$, тогда

${ Displaystyle е ( mathbf {r}) приблизительно lambda _ {1} f ( mathbf {r} _ {1}) + lambda _ {2} f ( mathbf {r} _ {2}) + lambda _ {3} f ( mathbf {r} _ {3})}$

В общем, учитывая любые неструктурированная сетка или же полигональная сетка, этот вид техники можно использовать для аппроксимации значения ${ displaystyle f}$ во всех точках, если значение функции известно во всех вершинах сетки. В этом случае у нас есть много треугольников, каждый из которых соответствует разной части пространства. Чтобы интерполировать функцию ${ displaystyle f}$ в какой-то момент ${ displaystyle mathbf {r}}$, сначала нужно найти треугольник, содержащий ${ displaystyle mathbf {r}}$. Для этого ${ displaystyle mathbf {r}}$ преобразуется в барицентрические координаты каждого треугольника. Если найден такой треугольник, координаты которого удовлетворяют ${ displaystyle 0 leq lambda _ {i} leq 1 ; forall ; i { text {in}} 1,2,3}$, то точка лежит в этом треугольнике или на его краю (объяснено в предыдущем разделе). Тогда значение ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ можно интерполировать, как описано выше.

Эти методы имеют множество применений, например, метод конечных элементов (FEM).

Интегрирование по треугольнику или тетраэдру

Вычисление интеграла функции по области треугольника может раздражать при вычислении в декартовой системе координат. Обычно нужно разделить треугольник на две половины, и это приведет к большой неразберихе. Вместо этого часто бывает проще сделать замена переменных к любым двум барицентрическим координатам, например ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}}$. При такой замене переменных

${ Displaystyle int _ {T} е ( mathbf {r}) d mathbf {r} = 2A int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1- lambda _ { 2}} f ( lambda _ {1} mathbf {r} _ {1} + lambda _ {2} mathbf {r} _ {2} + (1- lambda _ {1} - lambda _ {2}) mathbf {r} _ {3}) d lambda _ {1} d lambda _ {2}}$

куда ${ displaystyle A}$ это площадь треугольника. Этот результат следует из того факта, что прямоугольник в барицентрических координатах соответствует четырехугольнику в декартовых координатах, а отношение площадей соответствующих форм в соответствующих системах координат определяется выражением ${ displaystyle 2A}$. Аналогичным образом, для интегрирования по тетраэдру, вместо того, чтобы разбивать интеграл на две или три отдельные части, можно было бы переключиться на трехмерные координаты тетраэдра при замене переменных

куда ${ displaystyle V}$ - объем тетраэдра.

Примеры особых точек

Три вершины треугольника имеют барицентрические координаты ${ displaystyle 1: 0: 0, quad 0: 1: 0, quad { text {and}} quad 0: 0: 1.}$^[9]

В центроид имеет барицентрику ${ displaystyle 1: 1: 1.}$^[9]

В центр окружности треугольника ABC имеет барицентрические координаты^{[9][10][11][12]}

${ displaystyle a ^ {2} (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}): ; b ^ {2} (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}): ; c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2})}$

${ displaystyle = sin 2A: sin 2B: sin 2C = (1- cos B cos C) :( 1- cos C cos A) :( 1- cos A cos B).}$

куда а, б, c длина кромки до н.э, CA, AB соответственно треугольника.

В ортоцентр имеет барицентрические координаты^[9][10]

${ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}): ; (- a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2}) (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}): ; (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}$

${ displaystyle = tan A: tan B: tan C = a cos B cos C: b cos C cos A: c cos A cos B.}$

В стимулятор имеет барицентрические координаты^[10][13]

${ displaystyle a: b: c = sin A: sin B: sin C.}$

В превосходители барицентрики^[13]

${ displaystyle -a: b: c quad quad a: -b: c quad quad a: b: -c.}$

В центр девяти точек имеет барицентрические координаты^[9][13]

${ displaystyle a cos (BC): b cos (CA): c cos (AB) = (1+ cos B cos C) :( 1+ cos C cos A) :( 1+ cos A cos B)}$

${ displaystyle = [a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2}) - (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}]: [b ^ {2} ( c ^ {2} + a ^ {2}) - (c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2}]: [c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} ) - (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2}].}$

Барицентрические координаты на тетраэдрах

Барицентрические координаты могут быть легко расширены до три измерения. 3D симплекс это тетраэдр, а многогранник имеющий четыре треугольных грани и четыре вершины. Еще раз, четыре барицентрических координаты определены так, что первая вершина ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$ отображает в барицентрические координаты ${ displaystyle lambda = (1,0,0,0)}$, ${ displaystyle mathbf {r} _ {2} to (0,1,0,0)}$, так далее.

Это снова линейное преобразование, и мы можем расширить описанную выше процедуру для треугольников, чтобы найти барицентрические координаты точки ${ displaystyle mathbf {r}}$ относительно тетраэдра:

${ displaystyle left ({ begin {matrix} lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} end {matrix}} right) = mathbf {T} ^ {-1} ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {4})}$

куда ${ displaystyle mathbf {T}}$ теперь матрица 3 × 3:

${ displaystyle mathbf {T} = left ({ begin {matrix} x_ {1} -x_ {4} & x_ {2} -x_ {4} & x_ {3} -x_ {4} y_ {1}) } -y_ {4} & y_ {2} -y_ {4} & y_ {3} -y_ {4} z_ {1} -z_ {4} & z_ {2} -z_ {4} & z_ {3} -z_ {4} end {matrix}} right)}$

и ${ displaystyle lambda _ {4} = 1- lambda _ {1} - lambda _ {2} - lambda _ {3}}$с соответствующими декартовыми координатами:

И снова проблема нахождения барицентрических координат была сведена к обращению матрицы 3 × 3. Трехмерные барицентрические координаты могут использоваться для определения того, находится ли точка внутри тетраэдрического объема, и для интерполяции функции в тетраэдрической сетке аналогично двухмерной процедуре. Тетраэдральные сетки часто используются в анализ методом конечных элементов потому что использование барицентрических координат может значительно упростить трехмерную интерполяцию.

Обобщенные барицентрические координаты

Барицентрические координаты (а₁, ..., а_п) которые определены относительно конечного множества точек вместо симплекса, называются обобщенные барицентрические координаты. Для них уравнение

${ displaystyle (a_ {1} + cdots + a_ {n}) p = a_ {1} x_ {1} + cdots + a_ {n} x_ {n}}$

по-прежнему требуется держать там, где Икс₁, ..., Икс_п - данные точки. Если эти данные точки не образуют симплекс, обобщенные барицентрические координаты точки п не уникальны (с точностью до скалярного умножения). Что касается случая симплекса, то точки с неотрицательными обобщенными координатами образуют выпуклый корпус из Икс₁, ..., Икс_п.

Таким образом, определение формально не изменилось, но пока симплекс с п вершины должны быть вложены в векторное пространство размерностью не менее п-1, многогранник может быть вложен в векторное пространство меньшей размерности. Самый простой пример - четырехугольник на плоскости. Следовательно, даже нормализованные обобщенные барицентрические координаты (то есть координаты, в которых сумма коэффициентов равна 1), как правило, больше не определяются однозначно, в то время как это имеет место для нормированных барицентрических координат относительно симплекса.

Более абстрактно, обобщенные барицентрические координаты выражают выпуклый многогранник с п вершины, независимо от размерности, как изображение стандарта ${ Displaystyle (п-1)}$-суплекс, имеющий п вершины - карта находится на: ${ displaystyle Delta ^ {n-1} twoheadrightarrow P.}$ Отображение взаимно однозначно тогда и только тогда, когда многогранник является симплексом, и в этом случае отображение является изоморфизмом; это соответствует точке, не имеющей уникальный обобщенные барицентрические координаты, кроме случая, когда P - симплекс.

Двойной к обобщенным барицентрическим координатам слабые переменные, который измеряет, насколько точка удовлетворяет линейным ограничениям, и дает встраивание ${ Displaystyle P hookrightarrow ( mathbf {R} _ { geq 0}) ^ {f}}$ в ж-ортодоксальный, куда ж - количество граней (двойственных вершинам). Эта карта является взаимно однозначной (переменные резервов определяются однозначно), но не взаимно (не все комбинации могут быть реализованы).

Это использование стандарта ${ Displaystyle (п-1)}$-простой и ж-orthant, поскольку стандартные объекты, которые отображаются в многогранник или в которые отображается многогранник, должны быть противопоставлены использованию стандартного векторного пространства ${ displaystyle K ^ {n}}$ как стандартный объект для векторных пространств, а стандартный аффинная гиперплоскость ${ displaystyle {(x_ {0}, ldots, x_ {n}) mid sum x_ {i} = 1 } subset K ^ {n + 1}}$ как стандартный объект для аффинных пространств, где в каждом случае выбирая линейный базис или же аффинный базис обеспечивает изоморфизм, позволяя мыслить все векторные пространства и аффинные пространства в терминах этих стандартных пространств, а не отображать на или взаимно однозначное отображение (не каждый многогранник является симплексом). Далее п-orthant - стандартный объект, отображающий к шишки.

Приложения

Обобщенные барицентрические координаты находят применение в компьютерная графика и более конкретно в геометрическое моделирование. Часто трехмерную модель можно аппроксимировать многогранником, так что обобщенные барицентрические координаты по отношению к этому многограннику имеют геометрический смысл. Таким образом, обработка модели может быть упрощена за счет использования этих значимых координат. Барицентрические координаты также используются в геофизика ^[14]

Смотрите также

• Тернарный сюжет
• Выпуклая комбинация

Рекомендации

• Скотт, Дж. А. Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника, Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., стр. 472–477.
• Шиндлер, Макс; Чен, Эван (13 июля 2012 г.). Барицентрические координаты в геометрии олимпиады (PDF). Проверено 14 января +2016.
• Энциклопедия треугольников Кларка Кимберлинга Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 года. Проверено 2 июня 2012.
• Брэдли, Кристофер Дж. (2007). Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты. Ванна: высокое восприятие. ISBN  978-1-906338-00-8.
• Кокстер, H.S.M. (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр.216 –221. ISBN  978-0-471-50458-0. Zbl  0181.48101.
• Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение, Абрахам Ангар, World Scientific, 2010 г.
• Гиперболические барицентрические координаты, Абрахам А. Ангар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, том 6, № 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Координаты площадей». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Барицентрические координаты». MathWorld.
• Вычисление барицентрических координат в однородных координатах, Вацлав Скала, Компьютеры и графика, Том 32, № 1, стр. 120–127, 2008 г.

внешняя ссылка

• Закон рычага

внешняя ссылка

• Использование однородных барицентрических координат в плоской евклидовой геометрии
• Барицентрические координаты - сборник научных статей о (обобщенных) барицентрических координатах
• Барицентрические координаты: любопытное приложение (решение проблемы "трех стаканов") в завязать узел
• Точная точка в тесте треугольника
• Барицентрические координаты в геометрии олимпиады Эван Чен и Макс Шиндлер
• Команда барицентра и Команда TriangleCurve в Геогебра.