Постоянная Кеплера – Боукампа - Kepler–Bouwkamp constant

Последовательность вписанных многоугольников и окружностей

В плоская геометрия, то Постоянная Кеплера – Боукампа (или же константа, вписывающая многоугольник) получается как предел из следующих последовательность. Взять круг радиуса 1. Вписать а правильный треугольник в этом кругу. Впишите в этот треугольник круг. Вписать квадрат в этом. Впишите круг, правильный пятиугольник, круг, правильный шестиугольник и так далее. В радиус предельной окружности называется постоянной Кеплера – Боукампа.^[1] Он назван в честь Иоганн Кеплер и Кристоффель Боукамп [де ], и является обратным константа, описывающая многоугольник.

Численная величина

Десятичное разложение постоянной Кеплера – Боукампа имеет вид (последовательность A085365 в OEIS )

${displaystyle prod _ {k = 3} ^ {infty} cos left ({frac {pi} {k}} ight) = 0,1149420448 точек.}$

Натуральный логарифм постоянной Кеплера-Боукампа равен

${displaystyle -2sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {2 ^ {2k} -1} {2k}} zeta (2k) left (zeta (2k) -1- {frac {1} {2 ^) {2k}}} ight)}$

куда ${displaystyle zeta (s) = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {s}}}}$ это Дзета-функция Римана.

Если произведение берется по нечетным простым числам, константа

${displaystyle prod _ {k = 3,5,7,11,13,17, ldots} cos left ({frac {pi} {k}} ight) = 0,312832ldots}$

получается (последовательность A131671 в OEIS ).

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Китсон, Адриан Р. (2006). «Простой аналог постоянной Кеплера – Боукампа». arXiv:математика / 0608186.
• Китсон, Адриан Р. (2008). «Простой аналог постоянной Кеплера-Боукампа». Математический вестник. 92: 293. Дои:10.1017 / S0025557200183214.
• Дослич, Томислав (2014). "Радиус Кеплера-Боукампа комбинаторных последовательностей". Журнал целочисленной последовательности. 17: 14.11.3.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольная надпись». MathWorld.