Теорема Марденса - Википедия - Mardens theorem

Треугольник и его эллипс Штейнера. Нули п(z) черные точки, а нули п'(z) красные точки). Центральная зеленая точка - это нольп"(z). Теорема Мардена утверждает, что красные точки являются фокусами эллипса.

В математика, Теорема мардена, названный в честь Морриса Мардена, но доказанный примерно 100 лет назад Йоргом Зибеком, дает геометрическую связь между нулями третьей степени многочлен с сложный коэффициенты и нули его производная. Смотрите также геометрические свойства корней многочлена.

Заявление

Кубический многочлен имеет три нуля на плоскости комплексных чисел, которые в общем случае образуют треугольник, а Теорема Гаусса – Лукаса утверждает, что корни его производной лежат внутри этого треугольника. Теорема Мардена более точно определяет их расположение в этом треугольнике:

Предположим, что нули z1, z2, и z3 полинома третьей степени п(z) неколлинеарны. Уникальный эллипс вписан в треугольник с вершинами z1, z2, z3 и касательная в стороны на их средние точки: the Штайнер инеллипс. В фокусы этого эллипса - нули производной п'(z).

Дополнительные связи между корневыми локациями и эллипсом Штайнера

Посредством Теорема Гаусса – Лукаса, корень двойной производной п"(z) должен быть средним из двух фокусов, который является центральной точкой эллипса и центроид треугольника. В частном случае, когда треугольник равносторонний (как, например, бывает для многочлена п(z) = z3 − 1) вписанный эллипс вырождается в круг, а производная отп имеет двойной корень в центре круга. И наоборот, если производная имеет двойной корень, то треугольник должен быть равносторонним (Кальман 2008a ).

Обобщения

Более общий вариант теоремы, поскольку Линфилд (1920), применяется к многочленам п(z) = (z − а)я (z − б)j (z − c)k чья степень я + j + k может быть больше трех, но у них всего три корня а, б, и c. Для таких многочленов корни производной могут быть найдены в кратных корнях данного многочлена (корни, экспонента которых больше единицы) и в фокусах эллипса, точки касания которого к треугольнику делят его стороны в соотношениях я : j, j : k, и k : я.

Еще одно обобщение (Приход (2006) ) является п-угольники: некоторые п-угольники имеют внутренний эллипс, касающийся каждой стороны в средней точке стороны. Теорема Мардена по-прежнему применима: фокусы этого касательного к середине эллипса являются нулями производной многочлена, нули которого являются вершинами п-гон.

История

Йорг Зибек открыл эту теорему за 81 год до того, как о ней написал Марден. Тем не мение, Дэн Калман назвал его Американский математический ежемесячный журнал статью «Теорема Мардена», потому что, как он пишет, «я называю эту теорему Мардена, потому что впервые прочитал ее в замечательной книге М. Мардена».

Марден (1945, 1966 ) приписывает то, что сейчас известно как теорема Мардена, Зибек (1864) и цитирует девять статей, которые включали версию теоремы. Дэн Калман выиграл 2009 год Лестер Р. Форд Премия Математическая ассоциация Америки для его статьи 2008 года в Американский математический ежемесячный журнал описывая теорему.

Краткое и элементарное доказательство теоремы Мардена объясняется в решении упражнения из книги Фрица Карлсона «Geometri» (на шведском языке, 1943 г.).[1]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Доказательство Карлсоном теоремы Мардена» (PDF).