Лемма о числе Лебега - Википедия - Lebesgues number lemma

В топология, Лемма Лебега о числах, названный в честь Анри Лебег, является полезным инструментом в изучении компактный метрические пространства. Говорится:

Если метрическое пространство

{ displaystyle (X, d)}

компактный и открытая крышка из

{ displaystyle X}

дано, то существует номер

{ displaystyle delta> 0}

так что каждый подмножество из

{ displaystyle X}

имея диаметр меньше, чем

{ displaystyle delta}

содержится в каком-то члене обложки.

Такое число ${ displaystyle delta}$ называется Число Лебега этой обложки. Само понятие числа Лебега полезно и в других приложениях.

Доказательство

Позволять ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ быть открытой крышкой ${ displaystyle X}$ . С ${ displaystyle X}$ компактно, мы можем извлечь конечное подпокрытие ${ displaystyle {A_ {1}, dots, A_ {n} } substeq { mathcal {U}}}$ .Если любой из ${ displaystyle A_ {i}}$ равны ${ displaystyle X}$ тогда любой ${ displaystyle delta> 0}$ будет служить числом Лебега. В противном случае для каждого ${ Displaystyle я в {1, точки, п }}$ , позволять ${ displaystyle C_ {i}: = X setminus A_ {i}}$ , Обратите внимание, что ${ displaystyle C_ {i}}$ не пусто, и определите функцию ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ к ${ displaystyle f (x): = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} d (x, C_ {i})}$ .

С ${ displaystyle f}$ непрерывна на компакте, она достигает минимума ${ displaystyle delta}$ . Ключевое наблюдение состоит в том, что, поскольку каждый ${ displaystyle x}$ содержится в некоторых ${ displaystyle A_ {i}}$ , то теорема об экстремальном значении показывает ${ displaystyle delta> 0}$ . Теперь мы можем убедиться, что это ${ displaystyle delta}$ - искомое число Лебега. ${ displaystyle Y}$ это подмножество ${ displaystyle X}$ диаметром менее ${ displaystyle delta}$ , то существует ${ displaystyle x_ {0} in X}$ такой, что ${ displaystyle Y substeq B _ { delta} (x_ {0})}$ , куда ${ displaystyle B _ { delta} (x_ {0})}$ обозначает шар радиуса ${ displaystyle delta}$ сосредоточен на ${ displaystyle x_ {0}}$ (а именно, можно выбрать ${ displaystyle x_ {0}}$ как любой момент в ${ displaystyle Y}$ ). С ${ displaystyle f (x_ {0}) geq delta}$ должен существовать хотя бы один ${ displaystyle i}$ такой, что ${ displaystyle d (x_ {0}, C_ {i}) geq delta}$ . Но это значит, что ${ displaystyle B _ { delta} (x_ {0}) substeq A_ {i}}$ и так, в частности, ${ Displaystyle Y substeq A_ {i}}$ .

Лемма о числе Лебега - Википедия - Lebesgues number lemma

Доказательство

Рекомендации