Теорема Лебега о дифференцировании - Википедия - Lebesgue differentiation theorem

В математика, то Теорема Лебега дифференцирования это теорема реальный анализ, который утверждает, что почти для каждой точки значение интегрируемой функции является пределом бесконечно малых средних значений, взятых в этой точке. Теорема названа в честь Анри Лебег.

Заявление

Для Интегрируемый по Лебегу действительная или комплексная функция ж на р^п, неопределенный интеграл есть установить функцию который отображает измеримое множество А интегралу Лебега от ${ displaystyle f cdot mathbf {1} _ {A}}$ , куда ${ displaystyle mathbf {1} _ {A}}$ обозначает характеристическая функция из набора А. Обычно пишут

{ Displaystyle A mapsto int _ {A} е mathrm {d} lambda,}

с λ то п–Размерный Мера Лебега.

В производная этого интеграла при Икс определяется как

{ displaystyle lim _ {B rightarrow x} { frac {1} {| B |}} int _ {B} f , mathrm {d} lambda,}

где |B| обозначает объем (т.е., мера Лебега) мяч B сосредоточен на Икс, и B → Икс означает, что диаметр B стремится к 0.
В Теорема Лебега дифференцирования (Лебег 1910 ) утверждает, что эта производная существует и равна ж(Икс) в почти каждый точка Икс ∈ р^п. На самом деле верно несколько более сильное утверждение. Обратите внимание, что:

{ displaystyle left | { frac {1} {| B |}} int _ {B} f (y) , mathrm {d} lambda (y) -f (x) right | = left | { frac {1} {| B |}} int _ {B} (f (y) -f (x)) , mathrm {d} lambda (y) right | leq { frac {1} {| B |}} int _ {B} | f (y) -f (x) | , mathrm {d} lambda (y).}

Более сильное утверждение состоит в том, что правая часть стремится к нулю почти для каждой точки Икс. Точки Икс для которых это верно, называются Точки Лебега из ж.

Верна и более общая версия. Можно заменить шары B семьей ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ наборов U из ограниченный эксцентриситет. Это означает, что существует некоторая фиксированная c > 0 такой, что каждый набор U из семьи содержится в шаре B с ${ Displaystyle | U | geq c , | B |}$ . Также предполагается, что каждая точка Икс ∈ р^п содержится в сколь угодно малых множествах из ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ . Когда эти наборы сжимаются до Икс, имеет место тот же результат: почти для каждой точки Икс,

{ displaystyle f (x) = lim _ {U rightarrow x, , U in { mathcal {V}}} { frac {1} {| U |}} int _ {U} f , mathrm {d} lambda.}

Семейство кубиков - пример такой семьи. ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ , как и семья ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$ (м) прямоугольников в р² так, чтобы соотношение сторон оставалось между м⁻¹ и м, для некоторых фиксированных м ≥ 1. Если на р^п, семейство шаров для метрики, связанной с нормой, является другим примером.

Одномерный случай ранее был доказан Лебег (1904). Если ж интегрируема на прямой, функция

{ Displaystyle F (x) = int _ {- infty} ^ {x} f (t) , mathrm {d} t}

почти всюду дифференцируема, причем ${ displaystyle F '(x) = f (x).}$

Доказательство

Теорема в ее более сильной форме - что почти каждая точка является точкой Лебега локально интегрируемая функция ж- может быть доказано как следствие слабый-L¹ оценки для Максимальная функция Харди – Литтлвуда. Приведенное ниже доказательство следует стандартной трактовке, которую можно найти в Бенедетто и Чайя (2009), Штейн и Шакарчи (2005), Уиден и Зигмунд (1977) и Рудин (1987).

Поскольку утверждение носит локальный характер, ж можно считать равным нулю вне некоторого шара конечного радиуса и, следовательно, интегрируемым. Тогда достаточно доказать, что множество

{ displaystyle E _ { alpha} = { Bigl {} x in mathbf {R} ^ {n}: limsup _ {| B | rightarrow 0, , x in B} { frac { 1} {| B |}} { bigg |} int _ {B} f (y) -f (x) , mathrm {d} y { bigg |}> 2 alpha { Bigr } }}

имеет меру 0 для всех α > 0.

Позволять ε > 0. С использованием плотность из непрерывные функции из компактный поддерживать в L¹(р^п), можно найти такую функцию грамм удовлетворение

{ displaystyle | fg | _ {L ^ {1}} = int _ { mathbf {R} ^ {n}} | f (x) -g (x) | , mathrm {d} x < varepsilon.}

Затем полезно переписать основное различие как

{ displaystyle { frac {1} {| B |}} int _ {B} f (y) , mathrm {d} yf (x) = { Bigl (} { frac {1} {| B |}} int _ {B} { bigl (} f (y) -g (y) { bigr)} , mathrm {d} y { Bigr)} + ​​{ Bigl (} { frac {1} {| B |}} int _ {B} g (y) , mathrm {d} yg (x) { Bigr)} + ​​{ bigl (} g (x) -f (x ) { bigr)}.}

Первый член может быть ограничен значением при Икс максимальной функции для ж − грамм, обозначаемый здесь ${ Displaystyle (е-г) ^ {*} (х)}$ :

{ displaystyle { frac {1} {| B |}} int _ {B} | f (y) -g (y) | , mathrm {d} y leq sup _ {r> 0} { frac {1} {| B_ {r} (x) |}} int _ {B_ {r} (x)} | f (y) -g (y) | , mathrm {d} y = (fg) ^ {*} (x).}

Второй член исчезает в пределе, поскольку грамм - непрерывная функция, а третий член ограничен соотношением |ж(Икс) − грамм(Икс) |, Чтобы абсолютное значение исходной разницы было больше 2α в пределах, по крайней мере, одно из первых или третьих членов должно быть больше, чем α по абсолютной величине. Однако оценка функции Харди – Литтлвуда говорит, что

{ Displaystyle { Bigl |} left {x: (fg) ^ {*} (x)> alpha right } { Bigr |} leq { frac {A_ {n}} { alpha }} , | fg | _ {L ^ {1}} <{ frac {A_ {n}} { alpha}} , varepsilon,}

для некоторой постоянной А_п в зависимости только от размера п. В Неравенство Маркова (также называемое неравенством Чебышева) говорит, что

{ displaystyle { Bigl |} left {x: | f (x) -g (x) |> alpha right } { Bigr |} leq { frac {1} { alpha}} , | fg | _ {L ^ {1}} <{ frac {1} { alpha}} , varepsilon}

откуда

{ displaystyle | E _ { alpha} | leq { frac {A_ {n} +1} { alpha}} , varepsilon.}

С ε произвольным, его можно считать сколь угодно малым, и теорема следует.

Обсуждение доказательств

В Лемма Витали о покрытии жизненно важен для доказательства этой теоремы; его роль заключается в доказательстве оценки Максимальная функция Харди – Литтлвуда.

Теорема также верна, если в определении производной шары заменить на семейства множеств с диаметром, стремящимся к нулю, удовлетворяющим условию Условие регулярности Лебега, определенный выше как семейство множеств с ограниченным эксцентриситетом. Это следует из того, что такую же замену можно сделать в формулировке леммы Витали о покрытии.

Обсуждение

Это аналог и обобщение основная теорема исчисления, что приравнивает Интегрируемый по Риману функция и производная от ее (неопределенного) интеграла. Также можно показать обратное - что каждая дифференцируемая функция равна интегралу от своей производной, но для этого требуется Хеншток – Курцвейл интеграл, чтобы иметь возможность интегрировать произвольную производную.

Частным случаем теоремы Лебега о дифференцировании является Теорема плотности Лебега, что эквивалентно теореме дифференцирования характеристических функций измеримых множеств. Теорема о плотности обычно доказывается более простым методом (например, см. Мера и Категория).

Эта теорема также верна для любой конечной борелевской меры на р^п вместо меры Лебега (доказательство можно найти, например, в (Ледраппье и Янг 1985 )). В более общем смысле, это верно для любой конечной борелевской меры на сепарабельном метрическом пространстве, такой что выполняется хотя бы одно из следующего:

метрическое пространство - это Риманово многообразие,
метрическое пространство является локально компактным ультраметрическое пространство,
мера удвоение.

Доказательство этих результатов можно найти в разделах 2.8–2.9 (Federer, 1969).

Смотрите также

Теорема плотности Лебега