Ультраметрическое пространство - Ultrametric space

В математика, ультраметрическое пространство это метрическое пространство в которой неравенство треугольника усиливается до ${ Displaystyle д (х, г) Leq макс влево {д (х, у), д (у, г) вправо }}$ . Иногда связанную метрику также называют неархимедова метрика или же суперметрический. Хотя некоторые из теорем для ультраметрических пространств могут показаться странными на первый взгляд, они естественным образом появляются во многих приложениях.

Формальное определение

An ультраметрический на набор $M$ это настоящий -значная функция

{ displaystyle d двоеточие M times M rightarrow mathbb {R}}

(куда $ℝ$ обозначить действительные числа ), что для всех $Икс, у, z \in M$ :

$d (Икс, у) \geq 0$ ;
$d (Икс, у) = d (у, Икс)$ (симметрия)
$d (Икс, Икс) = 0$ ;
если $d (Икс, у) = 0$ тогда $Икс = у$ (Личность неразличимых);
$d (Икс, z) \leq max {d (Икс, у), d (у, z)$ } (сильный треугольник или же ультраметрическое неравенство).

Определение: An ультраметрическое пространство пара $(M, d)$ состоящий из набора $M$ вместе с ультраметрическим $d$ на $M$ , которая называется функцией расстояния, связанной с пространством (также называемая метрика ).

Определение:^[1] Если $d$ удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, условия 4 (т. е. идентичности неразличимых), то $d$ называется ультрапсевдометрический на $M$ . An ультрапсевдометрическое пространство пара $(M, d)$ состоящий из набора $M$ и ультрапсевдометрический $d$ на $M$ .

В случае, когда $M$ - группа (написанная аддитивно) и $d$ порождается функция длины ${ displaystyle | cdot |}$ (так что ${ Displaystyle д (х, у) = | х-у |}$ ), последнее свойство можно усилить с помощью Krull заточка^[2] к:

{ Displaystyle | х + у | Leq макс влево { | х |, | у | вправо }}

с равенством, если

{ Displaystyle | х | neq | у |}

.

Мы хотим доказать, что если ${ Displaystyle | х + у | Leq макс влево { | х |, | у | вправо }}$ , то равенство имеет место, если ${ Displaystyle | х | neq | у |}$ . Не теряя общий смысл, предположим, что ${ Displaystyle | х |> | у |}$ . Это означает, что ${ Displaystyle | х + Y | Leq | х |}$ . Но мы также можем вычислить ${ Displaystyle | х | = | (х + y) -y | leq max left { | x + y |, | y | right }}$ . Теперь значение ${ Displaystyle макс влево { | х + у |, | у | вправо }}$ не может быть ${ Displaystyle | у |}$ , поскольку в этом случае мы имеем ${ Displaystyle | х | Leq | у |}$ вопреки первоначальному предположению. Таким образом, ${ Displaystyle макс влево { | х + у |, | у | вправо } = | х + у |}$ , и ${ Displaystyle | х | Leq | х + у |}$ . Используя исходное неравенство, имеем ${ Displaystyle | х | Leq | х + у | Leq | х |}$ и поэтому ${ Displaystyle | х + у | = | х |}$ .

Характеристики

В треугольнике справа две нижние точки x и y нарушают условие d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).

Из приведенного выше определения можно сделать вывод о нескольких типичных свойствах ультраметрики. Например, для всех ${ displaystyle x, y, z in M}$ , хотя бы одно из трех равенств ${ Displaystyle д (х, у) = д (у, г)}$ или же ${ Displaystyle d (х, z) = d (y, z)}$ или же ${ Displaystyle д (х, у) = д (г, х)}$ держит. То есть каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник, поэтому все пространство равнобедренный набор.

Определение (открытый) мяч радиуса ${ displaystyle r> 0}$ сосредоточен на ${ displaystyle x in M}$ в качестве ${ Displaystyle В (х; г): = {у ин М середина d (х, у) <г }}$ , у нас есть следующие свойства:

Каждая точка внутри шара является его центром, т. Е. Если ${ Displaystyle д (х, у) <г}$ тогда ${ Displaystyle В (х; г) = В (у; г)}$ .
Пересекающиеся шары содержатся друг в друге, т. Е. Если ${ Displaystyle В (х; г) кепка В (у; s)}$ является непустой тогда либо ${ Displaystyle В (х; г) substeq B (y; s)}$ или же ${ Displaystyle B (y; s) substeq B (x; r)}$ .
Все шары строго положительного радиуса оба открыто и закрытые наборы в индуцированном топология. То есть открытые шары тоже закрытые, а закрытые шары (заменить ${ displaystyle <}$ с ${ displaystyle leq}$ ) также открыты.
Набор всех открытых шаров с радиусом ${ displaystyle r}$ и центр в замкнутом шаре радиуса ${ displaystyle r> 0}$ образует раздел последнего, а расстояние между двумя отдельными открытыми шарами (больше или) равно ${ displaystyle r}$ .

Доказательство этих утверждений - поучительное упражнение.^[3] Все прямо вытекают из ультраметрического неравенства треугольника. Обратите внимание, что согласно второму утверждению, у мяча может быть несколько центральных точек с ненулевым расстоянием. Интуиция за такими, казалось бы, странными эффектами заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметриках не складываются.

Примеры

В дискретная метрика является ультраметрикой.
В п-адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
Рассмотрим набор слов произвольной длины (конечной или бесконечной), Σ^*, над некоторым алфавитом Σ. Определите расстояние между двумя разными словами как 2^−п, куда п это первое место, в котором слова различаются. Результирующая метрика - ультраметрика.
В набор слов со склеенными концами длины п над некоторым алфавитом Σ является ультраметрическим пространством относительно п-близкое расстояние. Два слова Икс и у находятся п-close, если есть подстрока п последовательные буквы (п < п) встречается одинаковое количество раз (которое также может быть нулевым) как в Икс и у.^[4]
Если р = (р_п) представляет собой последовательность действительные числа уменьшается до нуля, то |Икс|_р := лим суп_п→∞ |Икс_п|^р_п индуцирует ультраметрику на пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма так как ему не хватает однородность - Если р_п могут быть равны нулю, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, что 0⁰=0.)
Если грамм взвешенный по ребрам неориентированный граф, все веса ребер положительны, и d(ты,v) - вес минимаксный путь между ты и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизации этого наибольшего веса), затем вершины графа с расстоянием, измеренным d, образуют ультраметрическое пространство, и все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом.^[5]

Приложения

А сжатие в таком случае можно рассматривать как способ аппроксимации конечного результата вычислений (существование которого может быть гарантировано Теорема Банаха о неподвижной точке ). Подобные идеи можно найти в теория предметной области. п-адический анализ активно использует ультраметрический характер п-адическая метрика.
В физика конденсированного состояния, то самоусредняющийся перекрытие спинов в Модель SK из спиновые очки демонстрирует ультраметрическую структуру с решением, полученным с помощью процедуры нарушения симметрии полной реплики, впервые описанной следующим образом: Джорджио Паризи и коллеги.^[6] Ультраметричность также появляется в теории апериодических твердых тел.^[7]
В таксономия и филогенетическое дерево конструкции, ультраметрические расстояния также используются UPGMA и WPGMA методы.^[8] Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости и создают деревья, в которых расстояния от корня до каждого конца ветви равны. Когда ДНК, РНК и белок данных, предположение ультраметричности называется молекулярные часы.
Модели прерывистость в трехмерном турбулентность жидкостей используют так называемые каскады, а в дискретных моделях диадических каскадов, которые имеют ультраметрическую структуру.^[9]
В география и ландшафтная экология Ультраметрические расстояния применялись для измерения сложности ландшафта и оценки того, насколько одна функция ландшафта важнее другой.^[10]

Библиография

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

дальнейшее чтение

Капланский, И. (1977), Теория множеств и метрические пространства, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20111-18-1] Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1-18.

[2] Планета Математика: Ультраметрическое треугольное неравенство

[3] «Ультраметрическое треугольное неравенство». Обмен стеком.

[4] Осипов, Гуткин (2013), "Кластеризация периодических орбит в хаотических системах", Нелинейность, 26 (26): 177–200, Bibcode:2013Nonli..26..177G, Дои:10.1088/0951-7715/26/1/177.

[5] Леклерк, Бруно (1981), "Описание Combinatoire des ultramétriques", Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (на французском языке) (73): 5–37, 127, МИСТЕР 0623034.

[6] Мезард, М; Паризи, G; и Вирасоро, М. Теория спинового стекла и не только, World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7

[physics_apps-7] Rammal, R .; Тулуза, G .; Вирасоро, М. (1986). «Ультраметричность для физиков». Обзоры современной физики. 58 (3): 765–788. Bibcode:1986РвМП ... 58..765Р. Дои:10.1103 / RevModPhys.58.765. Получено 20 июн 2011.

[8] Лежандр, П. и Лежандр, Л. 1998. Численная экология. Второе английское издание. Развитие моделирования окружающей среды 20. Эльзевир, Амстердам.

[9] Benzi, R .; Biferale, L .; Троватор, Э. (1997). «Ультраметрическая структура многомасштабных энергетических корреляций в турбулентных моделях». Письма с физическими проверками. 79 (9): 1670–1674. arXiv:chao-dyn / 9705018. Bibcode:1997ПхРвЛ..79.1670Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.79.1670.

[10] Пападимитриу, Fivos (2013). «Математическое моделирование землепользования и ландшафтной сложности с ультраметрической топологией». Журнал науки о землепользовании. 8 (2): 234–254. Дои:10.1080 / 1747423x.2011.637136. ISSN 1747-423X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]