Теорема Уолша – Лебега - Walsh–Lebesgue theorem

В Теорема Уолша – Лебега это известный результат гармонический анализ доказано американским математиком Джозеф Л. Уолш в 1929 г., используя результаты, доказанные Лебег в 1907 г.[1][2][3] Теорема утверждает следующее:

Позволять K быть компактное подмножество из Евклидова плоскость ℝ2 такой относительное дополнение из относительно ℝ2 является связанный. Тогда каждый реальный непрерывная функция на (т.е. то граница из K) может быть приблизительно равномерно на по (с реальной стоимостью) гармонические полиномы в реальных переменных Икс и у.[4]

Обобщения

Теорема Уолша – Лебега была обобщена на Римановы поверхности[5] и чтобы ℝп.

Эта теорема Уолша-Лебега также послужила катализатором для целых глав теории функциональные алгебры такие как теория Алгебры Дирихле и логмодулярные алгебры.[6]

В 1974 году Энтони Г. О'Фаррелл дал обобщение теоремы Уолша – Лебега с помощью теоремы Браудера – Вермера 1964 года.[7] со связанными техниками.[8][9][10]

использованная литература

  1. ^ Уолш, Дж. Л. (1928). "Über die Entwicklung einer harmingischen Funktion nach Harmonischen Polynomen". J. Reine Angew. Математика. 159: 197–209.
  2. ^ Уолш, Дж. Л. (1929). «Приближение гармонических функций гармоническими многочленами и гармоническими рациональными функциями». Бык. Амер. Математика. Soc. 35 (2): 499–544. Дои:10.1090 / S0002-9947-1929-1501495-4.
  3. ^ Лебег, Х. (1907). "Sur le probléme de Dirichlet" (PDF). Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 24 (1): 371–402. Дои:10.1007 / BF03015070.
  4. ^ Гамлен, Теодор В. (1984). «3.3 Теорема (теорема Уолша-Лебега)». Равномерные алгебры. Американское математическое общество. С. 36–37.
  5. ^ Bagby, T .; Готье, П. М. (1992). «Равномерное приближение глобальными гармоническими функциями». Аппроксимации решениями дифференциальных уравнений в частных производных. Дордрехт: Спрингер. С. 15–26 (с. 20).
  6. ^ Уолш, Дж. Л. (2000). Ривлин, Теодор Дж.; Сафф, Эдвард Б. (ред.). Джозеф Л. Уолш. Избранные статьи. Springer. С. 249–250. ISBN  978-0-387-98782-8.
  7. ^ Браудер, А.; Вермер, Дж. (Август 1964 г.). «Метод построения алгебр Дирихле». Труды Американского математического общества. 15 (4): 546–552. Дои:10.1090 / s0002-9939-1964-0165385-0. JSTOR  2034745.
  8. ^ О'Фаррелл А.Г. (2012). "Обобщенная теорема Уолша-Лебега" (PDF). Труды Королевского общества Эдинбурга, Секция А. 73: 231–234. Дои:10.1017 / S0308210500016395.
  9. ^ О'Фаррелл А.Г. (1981). «Пять обобщений аппроксимационной теоремы Вейерштрасса» (PDF). Труды Королевской ирландской академии, Секция А. 81 (1): 65–69.
  10. ^ О'Фаррелл А.Г. (1980). "Теоремы типа Уолша-Лебега" (PDF). В Д. А. Браннане; Дж. Клуни (ред.). Аспекты современного комплексного анализа. Академическая пресса. С. 461–467.