Функциональный квадратный корень - Functional square root

В математика, а функциональный квадратный корень (иногда называемый половина повторения) это квадратный корень из функция в отношении работы функциональная композиция. Другими словами, функциональный квадратный корень из функции $грамм$ это функция $ж$ удовлетворение $ж (ж (Икс)) = грамм (Икс)$ для всех $Икс$ .

Обозначение

Обозначения, выражающие это $ж$ является функциональным квадратным корнем из $грамм$ находятся $ж = грамм [1/2]$ и $ж = грамм 1/2$ .^{[нужна цитата ]}

История

Функциональный квадратный корень из экспоненциальная функция (теперь известный как полуэкспоненциальная функция ) был изучен Хельмут Кнезер в 1950 г.^[1]
Решения $ж (ж (Икс)) = Икс$ над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ (в инволюции из действительные числа ) были впервые изучены Чарльз Бэббидж в 1815 г., и это уравнение называется уравнением Бэббиджа функциональное уравнение.^[2] Конкретное решение $ж (Икс) = (б - Икс)/(1 + сх)$ за $до н.э \neq -1$ . Бэббидж отметил, что для любого данного решения $ж$ , это функциональный конъюгат $Ψ -1 \circ ж \circ Ψ$ произвольно обратимый функция $Ψ$ тоже решение. Другими словами, группа всех обратимых функций на действительной прямой действует на подмножестве, состоящем из решений функционального уравнения Бэббиджа по формуле спряжение.

Решения

Систематическая процедура производства произвольный функциональный $п$ -roots (в том числе, за пределами $п = 1/2$ ,^{[требуется разъяснение ]} непрерывный, отрицательный и бесконечно малый $п$ ) функций грамм: ℂ → ℂ опирается на решения Уравнение Шредера.^[3]^[4]^[5] Бесконечно много тривиальных решений существует, когда домен корневой функции ж может быть достаточно большим, чем у грамм.

Примеры

$ж (Икс) = 2 Икс 2$ является функциональным квадратным корнем из $грамм (Икс) = 8 Икс 4$ .
Функциональный квадратный корень из $п$ th Полином Чебышева, $грамм (Икс) = Т п (Икс)$ , является $ж (Икс) = cos (\sqrt п arccos (Икс))$ , что в целом не является многочлен.
$ж (Икс) = Икс /(\sqrt 2 + Икс (1 - \sqrt 2))$ является функциональным квадратным корнем из $грамм (Икс) = Икс /(2 - Икс)$ .

Итерирует из функция синуса (синий), в первом полупериоде. Полу-итерация (апельсин), т. е. функциональный квадратный корень синуса; функциональный квадратный корень из этого, четверть итерации (черный) над ним, и дальнейшая дробная итерация до 1/64 итерации. Функции ниже синуса - это шесть интегральных итераций под ним, начиная со второй итерации (красный) и заканчивая 64-й итерацией. В зеленый Огибающий треугольник представляет собой ограничивающую нулевую итерацию, пилообразная функция служит отправной точкой, ведущей к синусоидальной функции. Пунктирная линия - отрицательная первая итерация, т.е. обратный синуса (Arcsin ).

грех [2] (Икс) = грех (грех (Икс))

[красный изгиб]

грех [1] (Икс) = грех (Икс) = rin (rin (Икс))

[синий изгиб]

грех [½] (Икс) = рин (Икс) = qin (qin (Икс))

[апельсин изгиб]

грех [¼] (Икс) = qin (Икс)

[черная кривая над оранжевой кривой]

грех [-1] (Икс) = arcsin (Икс)

[пунктирная кривая]

(Видеть.^[6] Обозначения см. [1].)

Смотрите также

Рекомендации

^ Кнезер, Х. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung" φ(φ(Икс)) = е^Икс und verwandter Funktionalgleichungen ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67.
^ Джереми Грей и Карен Паршалл (2007) Эпизоды истории современной алгебры (1800–1950), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4343-7
^ Шредер, Э. (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen. 3 (2): 296–322. Дои:10.1007 / BF01443992.
^ Секереш, Г. (1958). «Регулярное повторение вещественных и сложных функций». Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. Дои:10.1007 / BF02559539.
^ Кертрайт, Т.; Захос, К.; Джин, X. (2011). «Приближенные решения функциональных уравнений». Журнал физики А. 44 (40): 405205. arXiv:1105.3664. Bibcode:2011JPhA ... 44N5205C. Дои:10.1088/1751-8113/44/40/405205.
^ Кертрайт, Т. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[sqrtexp-1] Кнезер, Х. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung" φ(φ(Икс)) = е^Икс und verwandter Funktionalgleichungen ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67.

[2] Джереми Грей и Карен Паршалл (2007) Эпизоды истории современной алгебры (1800–1950), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4343-7

[schr-3] Шредер, Э. (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen. 3 (2): 296–322. Дои:10.1007 / BF01443992.

[4] Секереш, Г. (1958). «Регулярное повторение вещественных и сложных функций». Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. Дои:10.1007 / BF02559539.

[5] Кертрайт, Т.; Захос, К.; Джин, X. (2011). «Приближенные решения функциональных уравнений». Журнал физики А. 44 (40): 405205. arXiv:1105.3664. Bibcode:2011JPhA ... 44N5205C. Дои:10.1088/1751-8113/44/40/405205.

[6] Кертрайт, Т. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]