Теорема единственности для уравнения Пуассона - Википедия - Uniqueness theorem for Poissons equation

В теорема единственности за Уравнение Пуассона заявляет, что для большого класса граничные условия, уравнение может иметь много решений, но градиент каждого решения одинаков. В случае электростатика, это означает, что существует уникальный электрическое поле полученная из потенциальной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона при граничных условиях.

Доказательство

В Гауссовы единицы, общее выражение для Уравнение Пуассона в электростатика является

${ Displaystyle mathbf { nabla} cdot ( varepsilon , mathbf { nabla} varphi) = - rho _ {f}}$

Здесь ${ displaystyle varphi}$ это электрический потенциал и ${ Displaystyle mathbf {E} = - mathbf { nabla} varphi}$ это электрическое поле.

Единственность градиента решения (единственность электрического поля) для большого класса граничных условий можно доказать следующим образом.

Предположим, что есть два решения ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$. Затем можно определить ${ displaystyle varphi = varphi _ {2} - varphi _ {1}}$ что является разницей двух решений. Учитывая, что оба ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$ удовлетворить Уравнение Пуассона, ${ displaystyle varphi}$ должен удовлетворить

${ Displaystyle mathbf { nabla} cdot ( varepsilon , mathbf { nabla} varphi) = 0}$

Используя личность

${ displaystyle nabla cdot ( varphi varepsilon , nabla varphi) = varepsilon , ( nabla varphi) ^ {2} + varphi , nabla cdot ( varepsilon , nabla varphi)}$

Заметив, что второй член равен нулю, можно переписать это как

${ Displaystyle mathbf { nabla} cdot ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) = varepsilon ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2}}$

Обращение к объемному интегралу по всему пространству, заданному граничными условиями, дает

${ displaystyle int _ {V} mathbf { nabla} cdot ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) , d ^ {3} mathbf {r} = int _ { V} varepsilon ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2} , d ^ {3} mathbf {r}}$

Применяя теорема расходимости, выражение можно переписать как

${ displaystyle sum _ {i} int _ {S_ {i}} ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) cdot mathbf {dS} = int _ {V} varepsilon ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2} , d ^ {3} mathbf {r}}$

куда ${ displaystyle S_ {i}}$ являются граничными поверхностями, заданными граничными условиями.

С ${ displaystyle varepsilon> 0}$ и ${ Displaystyle ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2} geq 0}$, тогда ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi}$ везде должен быть равен нулю (и поэтому ${ Displaystyle mathbf { nabla} varphi _ {1} = mathbf { nabla} varphi _ {2}}$), когда поверхностный интеграл обращается в нуль.

Это означает, что градиент решения уникален, когда

${ Displaystyle сумма _ {я} int _ {S_ {я}} ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) cdot mathbf {dS} = 0}$

Граничные условия, для которых верно вышеизложенное, включают:

1. Граничное условие Дирихле: ${ displaystyle varphi}$ хорошо определена на всех граничных поверхностях. В качестве таких ${ displaystyle varphi _ {1} = varphi _ {2}}$ так на границе ${ displaystyle varphi = 0}$ и соответственно поверхностный интеграл обращается в нуль.
2. Граничное условие Неймана: ${ Displaystyle mathbf { nabla} varphi}$ хорошо определена на всех граничных поверхностях. В качестве таких ${ Displaystyle mathbf { nabla} varphi _ {1} = mathbf { nabla} varphi _ {2}}$ так на границе ${ Displaystyle mathbf { nabla} varphi = 0}$ и соответственно поверхностный интеграл обращается в нуль.
3. Изменено Граничное условие Неймана (также называемый Граничное условие Робина - условия, при которых границы указаны как проводники с известными зарядами): ${ Displaystyle mathbf { nabla} varphi}$ также хорошо определяется путем локального применения Закон Гаусса. При этом исчезает и поверхностный интеграл.
4. Смешанные граничные условия (комбинация граничных условий Дирихле, Неймана и модифицированных граничных условий Неймана): теорема единственности остается в силе.

Граничные поверхности могут также включать границы на бесконечности (описывающие неограниченные области) - для них теорема единственности верна, если поверхностный интеграл обращается в нуль, что имеет место (например), когда на больших расстояниях подынтегральное выражение убывает быстрее, чем увеличивается площадь поверхности.

Смотрите также

• Уравнение Пуассона
• Закон Гаусса
• Закон Кулона
• Метод изображений
• Функция Грина
• Теорема единственности
• Сферические гармоники

Рекомендации

• Л.Д. Ландау, Э.М.Лифшиц (1975). Классическая теория поля. Vol. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2768-9.
• Дж. Д. Джексон (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1.