Положительная форма - Positive form

В сложная геометрия, период, термин положительная форма относится к нескольким классам реальных дифференциальные формы из Тип Ходжа (р, р).

(1,1) -формы

Настоящий (п,п) -формы на комплексном многообразии M являются формами типа (п,п) и реальные, то есть лежат в пересечении:${displaystyle Lambda ^ {p, p} (M) cap Lambda ^ {2p} (M, {mathbb {R}}).}$ Действительная (1,1) -форма ${displaystyle omega}$ называется положительный если выполняется любое из следующих эквивалентных условий

1. ${displaystyle -omega}$ является мнимой частью положительного (не обязательно положительно определенного) Эрмитова форма.
2. По какой-то причине ${displaystyle dz_ {1}, ... dz_ {n}}$ в пространстве ${displaystyle Lambda ^ {1,0} M}$ из (1,0) -форм, ${displaystyle {sqrt {-1}} omega}$ можно записать по диагонали как ${displaystyle {sqrt {-1}} omega = sum _ {i} alpha _ {i} dz_ {i} wedge d {ar {z}} _ {i},}$ с ${displaystyle alpha _ {i}}$ реальные и неотрицательные.
3. Для любого (1,0) -касательного вектора ${displaystyle vin T ^ {1,0} M}$, ${displaystyle - {sqrt {-1}} omega (v, {ar {v}}) geq 0}$
4. Для любого действительного касательного вектора ${displaystyle vin TM}$, ${displaystyle omega (v, I (v)) geq 0}$, где ${displaystyle I:; TMmapsto TM}$ это сложная структура оператор.

Положительные линейные пучки

В алгебраической геометрии положительные (1,1) -формы возникают как формы кривизны обильные линейные пакеты (также известен как положительные линейные пучки). Позволять L - голоморфное эрмитово линейное расслоение на комплексном многообразии,

${displaystyle {ar {partial}} :; Lmapsto Lotimes Lambda ^ {0,1} (M)}$

оператор его сложной структуры. потом L снабжена уникальной связью, сохраняющей эрмитову структуру и удовлетворяющей

${displaystyle abla ^ {0,1} = {ar {partial}}}$.

Это соединение называется то Черн связь.

Кривизна ${displaystyle Theta}$ связности Черна всегда чисто мнимая (1,1) -форма. Линейный пакет L называется положительный если

${displaystyle {sqrt {-1}} Theta}$

является положительно определенной (1,1) -формой. В Теорема вложения Кодаира утверждает, что положительное линейное расслоение обильно, и, наоборот, любое обильная линейка допускает эрмитову метрику с ${displaystyle {sqrt {-1}} Theta}$ положительный.

Позитивность для (п, п)-формы

Положительные (1,1) -формы на M сформировать выпуклый конус. Когда M компактный сложная поверхность, ${displaystyle dim_ {mathbb {C}} M = 2}$, этот конус самодвойственный относительно спаривания Пуанкаре:${displaystyle eta, zeta mapsto int _ {M} eta wedge zeta}$

За (р, р)-формы, где ${displaystyle 2leq pleq dim_ {mathbb {C}} M-2}$, есть два разных понятия позитивности. Форма называетсясильно положительный если это линейная комбинация произведений положительных форм с положительными действительными коэффициентами. Настоящая (п, п)-форма ${displaystyle eta}$ на п-мерное комплексное многообразие M называется слабо положительный если для всех сильно положительный (н-п, н-п)-форм ζ с компактным носителем имеем ${displaystyle int _ {M} eta wedge zeta geq 0}$.

Слабо положительные и сильно положительные формы образуют выпуклые конусы. На компактных многообразиях эти конусы двойной относительно спаривания Пуанкаре.

Рекомендации

• П. Гриффитс и Дж. Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии, Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• Ж.-П. Демилли, L² Теоремы об исчезновении для положительных линейных расслоений и теория присоединения, Конспект лекций курса CIME "Трансцендентные методы алгебраической геометрии" (Четраро, Италия, июль 1994 г.).