Пример Хиронакаса - Википедия - Hironakas example

В геометрия, Пример Хиронаки - некелерово комплексное многообразие, являющееся деформация из Кэлеровы многообразия найден Хейсуке Хиронака (1960, 1962 ). Пример Хиронаки можно использовать, чтобы показать, что несколько других правдоподобных утверждений, справедливых для гладких разновидностей размерности не более 2, не работают для гладких разновидностей размерности не менее 3.

Пример Хиронаки

Возьмите две плавные кривые C и D в гладком проективном трехмерном п, пересекающиеся в двух точках c и d которые являются узлами приводимой кривой ${ Displaystyle C чашка D}$ . Для некоторых приложений их следует выбирать так, чтобы имелся автоморфизм без неподвижных точек, обменивающийся кривыми C и D а также обмен баллами c и d. Пример Хиронаки V получается раздуванием кривых C и D, с C взорван первым в точке c и D взорван первым в точке d. потом V имеет две гладкие рациональные кривые L и M лежа на c и d такой, что ${ Displaystyle L + M}$ алгебраически эквивалентно 0, поэтому V не может быть проективным.

Для явного примера этой конфигурации возьмите т быть точкой порядка 2 на эллиптической кривой E, брать п быть ${ Displaystyle Е раз Е / (т) раз Е / (т)}$ , брать C и D быть множествами точек вида ${ Displaystyle (х, х, 0)}$ и ${ Displaystyle (х, 0, х)}$ , так что c и d - точки (0,0,0) и ${ Displaystyle (т, 0,0)}$ , и возьмем инволюцию σ, которая принимает ${ Displaystyle (х, у, г)}$ к ${ Displaystyle (х + т, г, у)}$ .

Полное абстрактное многообразие, не являющееся проективным

Многообразие Хиронаки является гладким 3-мерным полным многообразием, но не проективно, поскольку оно имеет нетривиальную кривую, алгебраически эквивалентную нулю. Любое 2-мерное гладкое полное многообразие проективно, поэтому 3 - это наименьшая возможная размерность для такого примера. Существует множество неалгебраических двумерных комплексных многообразий, например Поверхности Хопфа (не кэлеровы) и неалгебраические торы (кэлеровы).

Эффективный цикл, алгебраически эквивалентный 0

В проективном многообразии ненулевой эффективный цикл имеет ненулевую степень, поэтому не может быть алгебраически эквивалентен нулю. В примере Хиронаки эффективный цикл, состоящий из двух исключительных кривых, алгебраически эквивалентен нулю.

Деформация кэлеровых многообразий, не являющаяся кэлеровым многообразием

Если одна из кривых D в конструкции Хиронаки разрешено варьироваться в семействе, так что большинство кривых семейства не пересекаются D, то получается семейство многообразий, большинство из которых проективны, а одно - нет. По комплексным числам это дает деформацию гладких кэлеровых (фактически проективных) многообразий, которая не является кэлеровой. Это семейство тривиально в гладкой категории, поэтому, в частности, существуют кэлеровы и некэлеровы гладкие компактные 3-мерные комплексные многообразия, которые диффеоморфны.

Гладкое алгебраическое пространство, не являющееся схемой

выбирать C и D так что п имеет автоморфизм σ порядка 2, свободно действующий на п и обмен C и D, а также обмен c и d. Тогда частное от V по действию σ является гладкой 3-мерной алгебраическое пространство с неприводимой кривой, алгебраически эквивалентной нулю. Это означает, что фактор - это гладкое трехмерное алгебраическое пространство, не являющееся схемой.

Многообразие Мойшезон, не являющееся абстрактным многообразием

Если предыдущая конструкция выполняется с комплексными многообразиями, а не с алгебраическими пространствами, она дает пример гладкого трехмерного компакта. Многообразие Мойшезона это не абстрактное разнообразие. Многообразие Мойшезона размерности не выше 2 обязательно проективно, поэтому 3 является минимально возможной размерностью для этого примера.

Фактор схемы по свободному действию конечной группы не обязательно должен быть схемой

По сути, это то же самое, что и в предыдущих двух примерах. Фактор действительно существует как схема, если каждая орбита содержится в аффинной открытой подсхеме; Контрпример, приведенный выше, показывает, что это техническое состояние нельзя отбросить.

Конечное подмножество многообразия не обязательно содержится в открытом аффинном подмногообразии.

Для квазипроективных многообразий очевидно, что любое конечное подмножество содержится в открытом аффинном подмногообразии. Это свойство не выполняется для примера Хиронаки: двухточечное множество, состоящее из точки в каждой из исключительных кривых, не содержится ни в каком открытом аффинном подмногообразии.

Разнообразие без схемы Гильберта

Для сорта Хиронака V над комплексными числами с автоморфизмом порядка 2, как указано выше, функтор Гильберта Hilb_V/C замкнутых подсхем не представляется схемой, по существу потому, что фактор по группе порядка 2 не существует как схема (Nitsure 2005, с.112). Другими словами, это дает пример гладкого полного многообразия, у которого Схема гильберта не существует. Гротендик показал, что схема Гильберта всегда существует для проективных многообразий.

Для правильных гладких морфизмов правильных схем спуск может быть неудачным.

Выберите нетривиальный Z/2Z торсор B → А; например, в характеристике not 2 можно взять А и B быть аффинной линией минус начало координат с картой из B к А данный Икс → Икс². Думать о B как открытое покрытие U для этальной топологии. Если V представляет собой полную схему с действием группы порядка 2 без неподвижной точки, затем данные спуска для карты V × B → B задаются подходящим изоморфизмом из V×C себе, где C = B×_АB = B × Z/2Z. Такой изоморфизм задается действием Z/2Z на V и C. Если бы эта точка спуска была эффективной, то волокна спуска U дал бы частное от V действием Z/2Z. Таким образом, если это частное не существует в виде схемы (как в приведенном выше примере), то данные спуска неэффективны. См Вистоли (2005, стр.103).

Схема конечного типа над полем такая, что не каждое линейное расслоение происходит от дивизора

Если Икс является схемой конечного типа над полем, существует естественное отображение дивизоров в линейные расслоения. Если Икс либо проективно, либо приведено, то это отображение сюръективно. Клейман нашел пример неприведенного и непроективного Икс для которого это отображение не сюръективно. Возьмем пример многообразия с двумя рациональными кривыми Хиронаки. А и B такой, что А+B численно эквивалентно 0. Тогда Икс дается выбором точек а и б на А и B и введение в эти точки нильпотентных элементов.

внешняя ссылка

Тиль (2007), Пример Хиронаки полного, но непроективного многообразия (PDF)