Сложное аффинное пространство - Complex affine space

Аффинная геометрия В широком смысле, это изучение геометрических свойств линий, плоскостей и их аналогов в более высоких измерениях, в котором сохраняется понятие «параллель», но отсутствуют метрические понятия расстояния или угла. Аффинные пространства отличаются от линейные пространства (то есть векторные пространства) в том, что они не имеют особого выбора происхождения. Итак, по словам Марсель Бергер, "Аффинное пространство - это не что иное, как векторное пространство, происхождение которого мы пытаемся забыть, добавляя переводы линейным картам ".^[1] Соответственно, сложное аффинное пространство, это аффинное пространство над сложные числа, похоже на сложное векторное пространство, но без выделенной точки, служащей началом координат.

Аффинная геометрия - одна из двух основных ветвей классической алгебраическая геометрия, другое существо проективная геометрия. Сложное аффинное пространство может быть получено из сложного проективного пространства путем фиксации гиперплоскости, которую можно рассматривать как гиперплоскость идеальных точек «на бесконечности» аффинного пространства. Чтобы проиллюстрировать разницу (по сравнению с действительными числами), парабола в аффинной плоскости пересекает линию на бесконечности, тогда как эллипс не. Однако любые два конических сечения проективно эквивалентны. Итак, парабола и эллипс - это одно и тоже когда мыслится проективно, но разные, когда рассматриваются как аффинные объекты. Несколько менее интуитивно понятно, что над комплексными числами эллипс пересекает линию на бесконечности в пара точек, а парабола пересекает бесконечно удаленную прямую в Один точка. Итак, по несколько иной причине, эллипс и парабола не эквивалентны на комплексной аффинной плоскости, но остаются эквивалентными на (комплексной) проективной плоскости.

Любое комплексное векторное пространство является аффинным пространством: все, что нужно сделать, это забыть о начале координат (и, возможно, о любой дополнительной структуре, такой как внутренний продукт ). Например, сложный п-Космос ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ можно рассматривать как сложное аффинное пространство, когда интересуют только его аффинные свойства (в отличие, например, от его линейных или метрических свойств). Поскольку любые два аффинных пространства одинаковой размерности являются изоморфный, в некоторых ситуациях их уместно идентифицировать с ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , с пониманием того, что в конечном итоге значимы только аффинно-инвариантные понятия. Это использование очень распространено в современной алгебраической геометрии.

Аффинная структура

Есть несколько эквивалентных способов указать аффинную структуру п-мерное сложное аффинное пространство А. Самый простой предполагает вспомогательное пространство V, называется разностное пространство, которое представляет собой векторное пространство над комплексными числами. Тогда аффинное пространство - это множество А вместе с простым и переходным действием V на А. (То есть, А это V-торсор.)

Другой способ - определить понятие аффинной комбинации, удовлетворяющее определенным аксиомам. Аффинная комбинация точек $п 1,..., п k \in А$ выражается в виде суммы вида

{displaystyle a_ {1} mathbf {p} _ {1} + cdots + a_ {k} mathbf {p} _ {k}}

где скаляры $а я$ - комплексные числа, сумма которых равна единице.

Пространство различий можно отождествить с набором «формальных различий». $п - q$ , по модулю отношения, согласно которому формальные различия очевидным образом учитывают аффинные комбинации.

Аффинные функции

Функция $ж : А \to ℂ$ называется аффинный если он сохраняет аффинные комбинации. Так

{displaystyle f (a_ {1} mathbf {p} _ {1} + cdots + a_ {k} mathbf {p} _ {k}) = a_ {1} f (mathbf {p} _ {1}) + cdots + a_ {k} f (mathbf {p} _ {k})}

для любой аффинной комбинации

{displaystyle a_ {1} mathbf {p} _ {1} + cdots + a_ {k} mathbf {p} _ {k}}

в А.

Пространство аффинных функций $А *$ - линейное пространство. В двойное векторное пространство из $А *$ естественно изоморфно (п+1) -мерное векторное пространство $F (А)$ какой свободное векторное пространство на А по модулю отношения, что аффинная комбинация в А соглашается с аффинной комбинацией в $F (А)$ . Благодаря этой конструкции аффинная структура аффинного пространства А полностью восстанавливается из пространства аффинных функций.

Алгебра многочлены в аффинных функциях на А определяет звенеть функций, называемых аффинное координатное кольцо в алгебраической геометрии. Это кольцо несет фильтрация, по степени в аффинных функциях. Наоборот, можно восстановить точки аффинного пространства как множество гомоморфизмы алгебр из аффинного координатного кольца в комплексные числа. Это называется максимальный спектр кольца, поскольку оно совпадает с его множеством максимальные идеалы. На этом максимальном спектре существует уникальная аффинная структура, совместимая с фильтрацией на аффинном координатном кольце.

Низкоразмерные примеры

Одно измерение

Одномерное комплексное аффинное пространство или комплексная аффинная линия является торсором для одномерного линейного пространства над ${displaystyle mathbb {C}}$ . Самый простой пример - это плоскость комплексных чисел Аргана. ${displaystyle mathbb {C}}$ сам. Он имеет каноническую линейную структуру, и поэтому "забвение" начала координат дает ему каноническую аффинную структуру.

В качестве другого примера предположим, что Икс является двумерным векторным пространством над комплексными числами. Позволять ${displaystyle alpha: mathbf {X} o mathbb {C}}$ быть линейный функционал. Как известно, множество решений $α (Икс) = 0$ , ядро $α$ , является одномерным линейным подпространством (то есть комплексной прямой, проходящей через начало координат Икс). Но если c - некоторое ненулевое комплексное число, то множество А решений $α (Икс) = c$ аффинная линия в Икс, но это не линейное подпространство, потому что оно не замкнуто относительно произвольной линейной комбинации. Разница в пространстве V это ядро $α$ , поскольку разность двух решений неоднородного уравнения $α (Икс) = c$ лежит в ядре.

Аналогичная конструкция применима к решению линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решения однородного дифференциального уравнения

{displaystyle y '(x) + mu (x) y (x) = 0}

- одномерное линейное пространство, а множество решений неоднородной задачи

{displaystyle y '(x) + mu (x) y (x) = f (x)}

- одномерное аффинное пространство А. Общее решение равно частному решению уравнения плюс решение однородного уравнения. Пространство решений однородного уравнения - это разностное пространство V.

Рассмотрим еще раз общий случай двумерного векторного пространства Икс оснащена линейной формой $α$ . Аффинное пространство А(c) дается решением $α (Икс) = c$ . Обратите внимание, что для двух отличных от нуля значений c, сказать $c 1$ и $c 2$ , аффинные пространства $А (c 1)$ и $А (c 2)$ находятся естественно изоморфный: масштабирование на $c 2 / c 1$ карты $А (c 1)$ к $А (c 2)$ . Итак, действительно есть только одно аффинное пространство, которое стоит рассмотреть в этой ситуации, назовите его А, точками которого являются прямые, проходящие через начало координат Икс которые не лежат в ядре $α$ .

Алгебраически комплексное аффинное пространство А только что описанное пространство разбиений точной последовательности

{displaystyle 0 o ker alpha {xrightarrow {substeq}} X {xrightarrow {alpha}} mathbb {C} o 0.}

Два измерения

Комплексная аффинная плоскость - это двумерное аффинное пространство над комплексными числами. Примером может служить двумерный комплексное координатное пространство ${displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ . Он имеет естественную линейную структуру и наследует аффинную структуру под действием функтора забывчивости. Другой пример - множество решений неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (по комплексным числам). Наконец, по аналогии с одномерным случаем, пространство расщеплений точной последовательности

{displaystyle 0 o mathbb {C} ^ {2} o mathbb {C} ^ {3} o mathbb {C} o 0}

- аффинное пространство размерности два.

Четыре измерения

Конформная спиновая группа группы Лоренца - это SU (2,2), которая действует в четырехмерном комплексном векторном пространстве Т (называется твистор пространство ). Конформная группа Пуанкаре как подгруппа в SU (2,2) стабилизирует точную последовательность вида

{displaystyle 0 o Pi o mathbf {T} o Omega o 0}

где - максимальное изотропное подпространство Т. Пространство расщеплений этой последовательности представляет собой четырехмерное аффинное пространство: (комплексифицированное) Пространство Минковского.

Аффинные координаты

Позволять А быть п-мерное аффинное пространство. Коллекция п аффинно независимые аффинные функции ${displaystyle z_ {1}, z_ {2}, dots, z_ {n}: mathbf {A} o mathbb {C}}$ является аффинная система координат на А. Аффинная система координат на А устанавливает биекцию А с комплексное координатное пространство ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , элементы которого п-наборы комплексных чисел.

Наоборот, ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ иногда называют сложным аффинным п-пространство, где подразумевается, что это его структура как аффинное пространство (в отличие, например, от его статуса как линейного пространства или как координатное пространство ), что представляет интерес. Такое использование типично в алгебраическая геометрия.

Ассоциированное проективное пространство

Сложное аффинное пространство А имеет каноническое проективное пополнение п(А), определяемый следующим образом. Образуют векторное пространство F (А), которое является свободным векторным пространством на А по модулю отношения, что аффинная комбинация в F (А) согласуется с аффинной комбинацией в А. потом $тусклый F (А) = п + 1$ , куда п это размер А. Проективное завершение А - проективное пространство одномерных комплексных линейных подпространств в F (А).

Структурная группа и автоморфизмы

Группа $Aut (п (А)) = PGL (F (А)) ≅ PGL (п + 1, ℂ)$ действует на п(А). Стабилизатор гиперплоскости на бесконечности - параболическая подгруппа, которая является группой автоморфизмов А. Он изоморфен (но не естественно изоморфен) полупрямому произведению группы $GL (V)$ и V. Подгруппа $GL (V)$ является стабилизатором некоторой фиксированной опорной точки о ("происхождение") в А, действуя как группа линейных автоморфизмов пространства векторов, исходящих из о, и V действует переводом.

Группа автоморфизмов проективного пространства $п (А)$ как алгебраическое многообразие есть не что иное, как группа коллинеаций $PGL (F (А))$ . Напротив, группа автоморфизмов аффинного пространства А как алгебраическое многообразие намного больше. Например, рассмотрим собственное отображение аффинной плоскости, определяемое в терминах пары аффинных координат формулой

{displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) mapsto (z_ {1}, z_ {2} + f (z_ {1}))}

куда ж является многочленом от одной переменной. Это автоморфизм алгебраического многообразия, но не автоморфизм аффинной структуры. В Определитель якобиана такого алгебраического автоморфизма обязательно является ненулевой константой. Считается, что если якобиан отображения в себя комплексного аффинного пространства ненулевой константы, то отображение является (алгебраическим) автоморфизмом. Это известно как Гипотеза о якобиане.

Сложная структура

Функция на комплексном аффинном пространстве есть голоморфный если его комплексно сопряженный элемент получен Ли по разностному пространству V. Это придает любому сложному аффинному пространству структуру комплексное многообразие.

Каждая аффинная функция из А комплексным числам голоморфна. Следовательно, таков любой многочлен от аффинных функций.

Топологии

Обычно используются две топологии сложного аффинного пространства.

В аналитическая топология является начальной топологией для семейства аффинных функций в комплексных числах, где комплексные числа несут свою обычную евклидову топологию, индуцированную комплексным модулем в качестве нормы. Это также исходная топология для семейства голоморфных функций.

Аналитическая топология имеет базу, состоящую из полидиски. Связано с любым п независимые аффинные функции ${displaystyle z_ {1}, dots, z_ {n}: mathbf {A} o mathbb {C}}$ на А, единичный полидиск определяется как

{displaystyle B (z_ {1}, точки, z_ {n}) = left {mathbf {z} in mathbf {A},:, | z_ {1} (mathbf {z}) | <1, точки, | z_ {n} (mathbf {z}) | <1ight}.}

Любое открытое множество в аналитической топологии является объединением счетного набора единичных полидисков.

В Топология Зарисского является начальной топологией для аффинных комплекснозначных функций, но вместо этого задает комплексной прямой топологию с конечным дополнением. Итак, в топологии Зарисского подмножество А замкнуто тогда и только тогда, когда это нулевое множество некоторого набора комплекснозначных полиномиальных функций на А. А подоснование топологии Зарисского - это набор дополнений к неприводимым алгебраическим множествам.

Аналитическая топология более тонкая, чем топология Зарисского, а это означает, что каждое множество, открытое в топологии Зарисского, также открыто в аналитической топологии. Обратное неверно. Например, полидиск открыт в аналитической топологии, но не в топологии Зарисского.

А метрика можно определить на сложном аффинном пространстве, что делает его Евклидово пространство, выбрав внутренний продукт на V. Расстояние между двумя точками п и q из А затем дается в терминах связанных норма на V к

{displaystyle d (mathbf {p}, mathbf {q}) = left | mathbf {p} -mathbf {q} ight |.}

Открытые шары, связанные с метрикой, образуют основу топологии, аналогичной аналитической топологии.

Пучок аналитических функций

Семейство голоморфных функций на комплексном аффинном пространстве А образует пучок из кольца в теме. По определению, такой пучок сопоставляет каждому (аналитическому) открытому подмножеству U из А кольцо ${displaystyle {mathcal {O}} (U)}$ всех комплекснозначных голоморфных функций на U.

Уникальность аналитическое продолжение говорит, что для двух голоморфных функций на связном открытом подмножестве U из C^п, если они совпадают на непустом открытом подмножестве U, они соглашаются U. С точки зрения теории пучков, из единственности следует, что ${displaystyle {mathcal {O}}}$ , если рассматривать как этале пространство, это Хаусдорфово топологическое пространство.

Теорема Оки о когерентности утверждает, что структурный пучок ${displaystyle {mathcal {O}}}$ сложного аффинного пространства последовательный. Это фундаментальный результат теории функций несколько сложных переменных; например, сразу следует, что структурный пучок комплексно-аналитическое пространство (например, комплексное многообразие ) когерентно.

Каждое сложное аффинное пространство - это область голоморфности. В частности, это Многообразие Штейна.