Матричный коэффициент - Matrix coefficient

Было высказано предположение, что Представительская функция быть слился в эту статью. (Обсудить) Предлагается с марта 2020 года.

В математика, а матричный коэффициент (или матричный элемент) - функция на группа особой формы, которая зависит от линейное представление группы и дополнительных данных. В случае конечная группа, матричные коэффициенты выражают действие элементов группы в указанном представлении через элементы соответствующих матрицы.

Матричные коэффициенты представлений Группы Ли оказался тесно связанным с теорией специальные функции, обеспечивая объединяющий подход к большей части этой теории. Ростовые свойства матричных коэффициентов играют ключевую роль в классификации неприводимые представления из локально компактные группы, в частности, редуктивные действительные и п-адический группы. Формализм матричных коэффициентов приводит к обобщению понятия модульная форма. В другом направлении, смешивание свойства некоторых динамические системы контролируются свойствами подходящих матричных коэффициентов.

Определение

А матричный коэффициент (или матричный элемент) линейного представления ρ группы г на векторное пространство V это функция ж_{v, η} на группе, типа

${displaystyle f_ {v, eta} (g) = eta (ho (g) v)}$

где v вектор в V, η является непрерывным линейный функционал на V, и г является элементом г. Эта функция принимает скалярные значения на г. Если V это Гильбертово пространство, то по Теорема Рисса о представлении, все матричные коэффициенты имеют вид

${displaystyle f_ {v, w} (g) = langle ho (g) v, wangle}$

для некоторых векторов v и ш в V.

За V конечной размерности, и v и ш взято из стандартная основа, это фактически функция, заданная матрица въезд в фиксированное место.

Приложения

Конечные группы

Матричные коэффициенты неприводимых представлений конечных групп играют важную роль в теории представлений этих групп, разработанной Бернсайд, Фробениус и Schur. Они удовлетворяют Соотношения ортогональности Шура. В характер представления ρ есть сумма матричных коэффициентов ж_{vя, ηя}, куда {v_я} образуют базис в пространстве представления ρ, а {η_я} формируют двойная основа.

Конечномерные группы Ли и специальные функции

Матричные коэффициенты представлений групп Ли были впервые рассмотрены Эли Картан. Израиль Гельфанд понял, что многие классические специальные функции и ортогональные многочлены выражаются как матричные коэффициенты представления групп Ли г.^{[1][нужна цитата ]} Это описание обеспечивает единообразную основу для доказательства многих ранее несопоставимых свойств специальных функций, таких как формулы сложения, определенные рекуррентные отношения, отношения ортогональности, интегральные представления и собственное значение свойства относительно дифференциальных операторов.^[2] Специальные функции математической физики, такие как тригонометрические функции, то гипергеометрическая функция и его обобщения, Legendre и Якоби ортогональные многочлены и Функции Бесселя все возникают как матричные коэффициенты представлений групп Ли. Тета-функции и вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна важно в алгебраическая геометрия и теория чисел, тоже допускают такие реализации.

Автоморфные формы

Мощный подход к теории классической модульные формы по инициативе Гельфанда, Граев, и Пятецкий-Шапиро, рассматривает их как матричные коэффициенты некоторых бесконечномерных унитарных представлений, автоморфные представления из адельные группы. Такой подход был дальнейшее развитие от Langlands, для общего редуктивные алгебраические группы над глобальные поля.

Смотрите также

• Теорема Питера – Вейля
• Сферические функции

Примечания

использованная литература

• Виленкин, Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. Перевод с русского В. Н. Сингха. Переводы математических монографий, Vol. 22 Американское математическое общество, Провиденс, Р. И. 1968 г.
• Виленкин Н.Я., Климык А.У. Представление групп Ли и специальные функции. Последние достижения. Перевод с русской рукописи В. А. Гроза и А. А. Гроза. Математика и ее приложения, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xvi + 497 с. ISBN  0-7923-3210-5
• Виленкин Н.Я., Климык А.У. Представление групп Ли и специальные функции. Vol. 3. Классические и квантовые группы и специальные функции.. Перевод с русского В. А. Гроза и А. А. Гроза. Математика и ее приложения (Советская серия), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. xx + 634 pp. ISBN  0-7923-1493-X
• Виленкин Н.Я., Климык А.У. Представление групп Ли и специальные функции. Vol. 2. Представления класса I, специальные функции и интегральные преобразования.. Перевод с русского В. А. Гроза и А. А. Гроза. Математика и ее приложения (Советская серия), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. xviii + 607 pp. ISBN  0-7923-1492-1
• Виленкин Н.Я., Климык А.У. Представление групп Ли и специальные функции. Vol. 1. Простейшие группы Ли, специальные функции и интегральные преобразования.. Перевод с русского В. А. Гроза и А. А. Гроза. Математика и ее приложения (Советская серия), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. xxiv + 608 pp. ISBN  0-7923-1466-2