Многочлены Якоби - Jacobi polynomials

В математика, Многочлены Якоби (иногда называют гипергеометрические полиномы) п(α, β)
п
(Икс)
являются классом классический ортогональные многочлены. Они ортогональны относительно веса (1 − Икс)α(1 + Икс)β на интервале [−1, 1]. В Полиномы Гегенбауэра, а значит, и Legendre, Зернике и Полиномы Чебышева, являются частными случаями полиномов Якоби.[1]

Многочлены Якоби были введены Карл Густав Джейкоб Якоби.

Определения

Через гипергеометрическую функцию

Полиномы Якоби определяются через гипергеометрическая функция следующее:[2]

куда является Символ Поххаммера (для возрастающего факториала). В этом случае ряд для гипергеометрической функции конечен, поэтому получаем следующее эквивалентное выражение:

Формула Родригеса

Эквивалентное определение дается Формула Родригеса:[1][3]

Если , то сводится к Полиномы Лежандра:

Альтернативное выражение для реального аргумента

Серьезно Икс В качестве альтернативы многочлен Якоби можно записать как

и для целого числа п

куда Γ (z) это Гамма-функция.

В частном случае, когда четыре величины п, п + α, п + β, и п + α + β являются неотрицательными целыми числами, многочлен Якоби можно записать как

 

 

 

 

(1)

Сумма распространяется на все целые значения s для которых аргументы факториалов неотрицательны.

Особые случаи

Основные свойства

Ортогональность

Полиномы Якоби удовлетворяют условию ортогональности

Как определено, они не имеют единичной нормы по весу. Это можно исправить, разделив на квадратный корень из правой части уравнения выше, когда .

Хотя это не дает ортонормированной основы, альтернативная нормализация иногда предпочтительна из-за ее простоты:

Отношение симметрии

Многочлены обладают соотношением симметрии

таким образом, другое конечное значение

Производные

В k-я производная явного выражения приводит к

Дифференциальное уравнение

Полином Якоби п(α, β)
п
является решением второго порядка линейное однородное дифференциальное уравнение[1]

Повторяющиеся отношения

В отношение повторения для полиномов Якоби фиксированной α,β является:[1]

за п = 2, 3, ....

Так как полиномы Якоби могут быть описаны в терминах гипергеометрической функции, рекурренты гипергеометрической функции дают эквивалентные рекурренты полиномов Якоби. В частности, отношения смежности Гаусса соответствуют тождествам

Производящая функция

В производящая функция полиномов Якоби дается формулой

куда

и ответвляться квадратного корня выбирается так, чтобы р(z, 0) = 1.[1]

Асимптотика многочленов Якоби.

За Икс в интерьере [−1, 1], асимптотика п(α, β)
п
для больших п дается формулой Дарбу[1]

куда

и "О"член однороден на интервале [ε, π-ε] для любого ε> 0.

Асимптотика многочленов Якоби вблизи точек ± 1 дается формулой Формула Мелера – Гейне

где пределы одинаковы для z в ограниченном домен.

Асимптотика снаружи [−1, 1] менее явный.

Приложения

D-матрица Вигнера

Выражение (1) позволяет выразить D-матрица Вигнера djм’,м(φ) (для 0 ≤ φ ≤ 4π) в терминах полиномов Якоби:[4]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c d е ж Сегё, Габор (1939). «IV. Многочлены Якоби.». Ортогональные многочлены. Публикации коллоквиума. XXIII. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1023-1. МИСТЕР  0372517. Определение находится в IV.1; дифференциальное уравнение - в IV.2; Формула Родригеса находится в IV.3; производящая функция находится в IV.4; рекуррентная связь находится в IV.5.
  2. ^ Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 561. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
  3. ^ П.К. Суетин (2001) [1994], "Полиномы Якоби", Энциклопедия математики, EMS Press
  4. ^ Biedenharn, L.C .; Louck, J.D. (1981). Угловой момент в квантовой физике. Читает: Эддисон-Уэсли.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка