Полиномы Романовского - Википедия - Romanovski polynomials

В математика, то Полиномы Романовского являются одним из трех конечных подмножеств вещественных ортогональных многочленов, открытых Всеволод Романовский^[1] (Романовский во французской транскрипции) в контексте функций распределения вероятностей в статистике. Они образуют ортогональное подмножество более общего семейства малоизвестных Полиномы Рауса представлен Эдвард Джон Раут^[2] в 1884 году. Полиномы Романовского был выдвинут Рапосо,^[3] со ссылкой на так называемые «псевдоякобиевские полиномы» в классификационной схеме Лески.^[4] Кажется более последовательным называть их Полиномы Романовского – Рауса, по аналогии с условиями Романовски – Бессель и Романовски – Якоби используется Лески для двух других наборов ортогональных многочленов.

В некотором отличие от стандартных классических ортогональных многочленов, рассматриваемые многочлены различаются, поскольку только для произвольных параметров конечное число из них ортогональны, как более подробно обсуждается ниже.

Дифференциальное уравнение для полиномов Романовского

Полиномы Романовского решают следующую версию гипергеометрическое дифференциальное уравнение

{ displaystyle { begin {align} & s (x) {R_ {n} ^ {( alpha, beta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {( alpha, beta)} ( x) {R_ {n} ^ {( alpha, beta)}} '(x) + lambda _ {n} R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = 0, [4pt] & qquad x in (- infty, + infty), quad s (x) = left (1 + x ^ {2} right), quad t_ {1} ^ {( alpha, beta)} (x) = 2 beta x + alpha, quad lambda _ {n} = - n (2 beta + n-1). end {align}}}

(1)

Любопытно, что они не вошли в стандартные учебники по специальные функции в математической физике^[5]^[6] и в математике^[7]^[8] и относительно редко упоминаются в математической литературе.^[9]^[10]^[11]

В весовые функции находятся

{ displaystyle w ^ {( alpha, beta)} (x) = left (1 + x ^ {2} right) ^ { beta -1} exp left (- alpha operatorname {arccot } x right);}

(2)

они решают дифференциальное уравнение Пирсона

{ Displaystyle [s (x) вес (x)] '= t (x) w (x), quad s (x) = 1 + x ^ {2},}

(3)

это гарантирует самосопряженность дифференциального оператора гипергеометрического обыкновенное дифференциальное уравнение.

За $α = 0$ и $β < 0$ , весовая функция многочленов Романовского принимает вид Распределение Коши, поэтому ассоциированные многочлены также обозначаются как многочлены Коши^[12] в своих приложениях в теории случайных матриц.^[13]

Формула Родригеса задает многочлен $р (α, β) п (Икс)$ в качестве

{ displaystyle R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = N_ {n} { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { гидроразрыв { mathrm {d} ^ {n}} { mathrm {d} x ^ {n}}} left (w ^ {( alpha, beta)} (x) s (x) ^ {n} right), quad 0 leq n,}

(4)

куда $N п$ - нормировочная константа. Эта постоянная связана с коэффициентом $c п$ срока ученой степени $п$ в полиноме $р (α, β) п (Икс)$ выражением

{ displaystyle N_ {n} = { frac {(-1) ^ {n} n! , c_ {n}} { prod _ {k = 0} ^ {n-1} lambda _ {n} ^ {(k)}}}, quad lambda _ {n} = - n left ({t_ {n} ^ {( alpha, beta)}} '+ { tfrac {1} {2}) } (n-1) s '' (x) right),}

(5)

что справедливо для $п \geq 1$ .

Связь многочленов Романовского и Якоби

Как показал Аски, эта конечная последовательность действительных ортогональных многочленов может быть выражена в терминах многочленов Якоби мнимого аргумента и поэтому часто упоминается как комплексифицированные многочлены Якоби.^[14] А именно, уравнение Романовского (1) формально можно получить из уравнения Якоби,^[15]

{ displaystyle { begin {align} & left (1-x ^ {2} right) {P_ {n} ^ {( gamma, delta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {( gamma, delta)} (x) {P_ {n} ^ {( gamma, delta)}} '(x) + lambda _ {n} P_ {n} ^ {( gamma, delta)} (x) = 0, [4pt] & qquad t_ {1} ^ {( gamma, delta)} (x) = delta - gamma - ( gamma + delta +2) x, quad lambda _ {n} = n (n + gamma + delta +1), quad x in left [-1,1 right], end {align}}}

(6)

через замены, на самом деле $Икс$ ,

{ displaystyle x to ix, quad { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} to -i { frac { mathrm {d}} {{ mathrm { d}} x}}, quad gamma = delta ^ { ast} = beta -1 + { frac { alpha i} {2}},}

(7)

в этом случае можно найти

{ Displaystyle R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = i ^ {n} P_ {n} ^ { left ( beta -1 + { frac {i} {2}} alpha, beta -1 - { frac {i} {2}} alpha right)} (ix),}

(8)

(с подходящим образом подобранными нормировочными константами для полиномов Якоби). Комплексные многочлены Якоби справа определены через (1.1) в Куйлаарсе и другие. (2003)^[16] что гарантирует, что (8) являются действительными многочленами от x. Поскольку указанные авторы обсуждают условия неэрмитовой (комплексной) ортогональности только для вещественных индексов Якоби, их анализ и определение (8) полиномов Романовского существует, только если α = 0. Однако рассмотрение этого особенного случая требует более тщательного изучения, выходящего за рамки данной статьи. Обратите внимание на обратимость (8) в соответствии с

{ Displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = (- i) ^ {n} R_ {n} ^ { left (i ( alpha - beta), { frac {1} {2}} ( alpha + beta) +1) right)} (- ix),}

(9)

где сейчас, $п (α, β) п (Икс)$ является действительным многочленом Якоби и

{ Displaystyle R_ {п} ^ { влево (я ( альфа - бета), { гидроразрыва {1} {2}} ( альфа + бета) +1) вправо)} (- ix)}

будет комплексным многочленом Романовского.

Свойства многочленов Романовского

Явная конструкция

Серьезно $α, β$ и $п = 0, 1, 2, ...$ , функция $р (α, β) п (Икс)$ можно определить формулой Родригеса в уравнении (4) в качестве

{ Displaystyle R_ {п} ^ {( альфа, бета)} (х) эквив { гидроразрыва {1} {ш ^ {( альфа, бета)} (х)}} { гидроразрыва {{ rm {d}} ^ {n}} {{ rm {d}} x ^ {n}}} left (w ^ {( alpha, beta)} (x) s (x) ^ {n }верно),}

(10)

куда $ш (α, β)$ - та же весовая функция, что и в (2), и $s (Икс) = 1 + Икс 2$ - коэффициент при второй производной от гипергеометрическое дифференциальное уравнение как в (1).

Обратите внимание, что мы выбрали константы нормировки $N п = 1$ , что эквивалентно выбору коэффициента наивысшей степени в многочлене, заданном уравнением (5). Это принимает форму

{ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {n!}} prod _ {k = 0} ^ {n-1} { bigl (} 2 beta (nk) + n (n-1 ) -k (k-1) { bigr)}, quad n geq 1.}

(11)

Также отметим, что коэффициент $c п$ не зависит от параметра $α$ , но только на $β$ и, при определенных значениях $β$ , $c п$ обращается в нуль (т.е. для всех значений

{ Displaystyle бета = { гидроразрыва {к (к-1) -n (п-1)} {2 (п-к)}}}

куда $k = 0, ..., п - 1$ ). Это наблюдение создает проблему, которая рассматривается ниже.

Для дальнейшего использования мы явно записываем многочлены степени 0, 1 и 2,

{ displaystyle { begin {align} R_ {0} ^ {( alpha, beta)} (x) & = 1, [6pt] R_ {1} ^ {( alpha, beta)} ( x) & = { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} left (w '^ {( alpha, beta)} (x) s (x) + s '(x) w ^ {( alpha, beta)} (x) right) [6pt] & = t ^ {( alpha, beta)} (x) = 2 beta x + alpha , [6pt] R_ {2} ^ {( alpha, beta)} (x) & = { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { гидроразрыв { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} left (s ^ {2} (x) w '^ {( alpha, beta)} (x) + 2s (x) s '(x) w ^ {( alpha, beta)} (x) right) & = { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} left (s (x) w ^ {( alpha, beta)} (x) left (t ^ {( alpha , beta)} (x) + s '(x) right) right) [6pt] & = left (2x + t ^ {( alpha, beta)} (x) right) t ^ {( alpha, beta)} (x) + left (2 + t '^ {( alpha, beta)} (x) right) s (x) [6pt] & = (2 beta +1) (2 beta +2) x ^ {2} +2 (2 beta +1) alpha x + left (2 beta + alpha ^ {2} +2 right), end {выровнено}}}

которые выводятся из формулы Родригеса (10) в сочетании с ODE Пирсона (3).

Ортогональность

Два полинома, $р (α, β) м (Икс)$ и $р (α, β) п (Икс)$ с $м \neq п$ , ортогональны,^[3]

{ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} w ^ {( alpha, beta)} (x) R_ {m} ^ {( alpha, beta)} (x) R_ { n} ^ {( alpha, beta)} (x) = 0}

(12)

если и только если,

{ displaystyle m + n <1-2 beta.}

(13)

Другими словами, для произвольных параметров только конечное число полиномов Романовского ортогонально. Это свойство называется конечная ортогональность. Однако для некоторых частных случаев, в которых параметры определенным образом зависят от полиномиальной степени, может быть достигнута бесконечная ортогональность.

Это случай версии уравнения (1), который независимо встретился заново в контексте точной разрешимости квантово-механической проблемы тригонометрический потенциал Розена – Морса и сообщается в Compean & Kirchbach (2006).^[17] Там параметры полинома $α$ и $β$ уже не являются произвольными, а выражаются через потенциальные параметры, $а$ и $б$ , а степень $п$ полинома согласно соотношениям,

{ displaystyle { begin {align} alpha to alpha _ {n} = { frac {2b} {n + 1 + a}}, quad beta to beta _ {n} = - ( a + n + 1) +1, quad n = 0,1,2, ldots, infty. end {align}}}

(14)

Соответственно, $λ п$ появляется как $λ п = - п (2 а + п - 1)$ , а весовая функция принимает вид

{ displaystyle left (1 + x ^ {2} right) ^ {- (a + n + 1)} exp left (- { frac {2b} {n + a + 1}} operatorname { arccot} x right).}

Наконец, одномерная переменная, $Икс$ в Compean & Kirchbach (2006)^[17] был принят как

{ displaystyle x = cot left ({ frac {r} {d}} right),}

куда $р$ - радиальное расстояние, а ${ displaystyle d}$ - подходящий параметр длины. In Compean & Kirchbach^[17] было показано, что семейство многочленов Романовского, соответствующее бесконечной последовательности пар параметров,

{ displaystyle left ( alpha _ {1}, beta _ {1} right), left ( alpha _ {2} beta _ {2} right), ldots, left ( alpha _ {n} beta _ {n} right), ldots, quad n longrightarrow infty,}

(15)

ортогонален.

Производящая функция

У Вебера (2007)^[18] многочлены $Q (α п, β п + п) ν (Икс)$ , с $β п + п = - а$ , и дополняет $р (α п, β п) п (Икс)$ были изучены, сформированы следующим образом:

{ displaystyle Q _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n right)} (x) = { frac {1} {w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)}}} { frac {{ mathrm {d}} ^ { nu}} {{ mathrm {d}} x ^ { nu}}} w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} right)} (x) left (1 + x ^ {2} right) ^ {n}. }

(16)

Учитывая соотношение,

{ Displaystyle w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} right)} (x) left (1 + x ^ {2} right) ^ { delta} = w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + delta right)} (x),}

(17)

Уравнение (16) становится эквивалентным

{ displaystyle { begin {align} Q _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n right)} (x) & = { frac {1} { w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)}}} { frac {{ mathrm {d}} ^ { nu}} {{ mathrm {d}} x ^ { nu}}} w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} (x) left (1 + x ^ {2} right) ^ { nu} [4pt] & = R _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right) } (х), конец {выровнено}}}

(18)

и, таким образом, связывает дополнительные с главными многочленами Романовского.

Основная привлекательность дополнительных многочленов заключается в том, что их производящая функция можно рассчитать в закрытом виде.^[19] Такой производящая функция, записанный для полиномов Романовского на основе уравнения (18) с параметрами в (14) и, следовательно, ссылаясь на бесконечную ортогональность, был введен как

{ displaystyle G ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} right)} (x, y) = sum _ { nu = 0} ^ { infty} R _ { nu } ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} (x) { frac {y ^ { nu}} { nu!}}.}.}

(19)

Обозначения различия между Weber^[18] и те, которые здесь используются, резюмируются следующим образом:

$грамм (α п, β п) (Икс, у)$ здесь по сравнению с $Q (Икс, у; α,- а)$ там, $α$ там вместо $α п$ здесь,
$а = - β п - п$ , и
$Q (α,- а) ν (Икс)$ в уравнении (15) Вебера^[18] соответствующий $р (α п, β п + п - ν) ν (Икс)$ здесь.

Обсуждаемая производящая функция, полученная Вебером^[18] теперь читает:

{ displaystyle G ^ {( alpha _ {n}, beta _ {n})} (x, y) = left (1 + x ^ {2} right) ^ {- beta _ {n} -n + 1} exp left ( alpha _ {n} operatorname {arccot} x right) left (1+ left (x + y left (1 + x ^ {2} right) right) ^ {2} right) ^ {- left (- beta _ {n} -n + 1 right)} exp left (- alpha _ {n} operatorname {arccot} left ( x + y left (1 + x ^ {2} right) right) right.}

(20)

Повторяющиеся отношения

Повторяющиеся отношения между бесконечным ортогональным рядом многочленов Романовского с параметрами в приведенных выше уравнениях (14) следуют из производящая функция,^[18]

{ displaystyle nu { bigl (} nu + 1-2 ( beta _ {n} + n) { bigr)} R _ { nu -1} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu +1 right)} (x) + { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} R _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} (x) = 0,}

(21)

и

{ Displaystyle R _ { nu +1} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu -1 right)} (x) = { bigl (} alpha _ {n} -2x (- beta _ {n} -n + nu +1) { bigr)} R _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} - ​​ nu left (1 + x ^ {2} right) { bigl (} 2 (- beta _ {n} -n) + nu +1 { bigr) } R _ { nu -1} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu +1 right)},}

(22)

как уравнения (10) и (23) Вебера (2007)^[18] соответственно.

Смотрите также

Рекомендации

^ Романовский, В. (1929). "Sur quelques классы nouvelles de polynomes orthogonaux". C. R. Acad. Sci. Париж (На французском). 188: 1023.
^ Раус, Э. Дж. (1884). «О некоторых свойствах некоторых решений дифференциального уравнения второго порядка» (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. 16: 245. Дои:10.1112 / плмс / с1-16.1.245.
^ ^а ^б Raposo, A. P .; Weber, H.J .; Álvarez Castillo, D.E .; Кирхбах, М. (2007). «Полиномы Романовского в избранных задачах физики». Cent. Евро. J. Phys. 5 (3): 253–284. arXiv:0706.3897. Bibcode:2007CEJPh ... 5..253R. Дои:10.2478 / s11534-007-0018-5.
^ Лески, П. А. (1996). "Endliche und unendliche Systeme von kontinuierlichen klassischen Orthogonalpolynomen". З. Энгью. Математика. Мех. (на немецком). 76 (3): 181. Bibcode:1996ЗаММ ... 76..181Л. Дои:10.1002 / zamm.19960760317.
^ Абрамовиц, М.; Стегун, И. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0.
^ Никифоров, А. Ф .; Уваров, В. Б. (1988). Специальные функции математической физики. Базель: Birkhäuser Verlag.
^ Сего, Г. (1939). Ортогональные многочлены. 23. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
^ Исмаил, М. Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной. Издательство Кембриджского университета.
^ Аски, Р. (1987). «Интеграл Рамануджана и ортогональных многочленов». J. Indian Math. Soc. 51: 27.
^ Аски, Р. (1987). «Бета-интегралы и соответствующие ортогональные многочлены». Теория чисел. Конспект лекций по математике. 1395. Мадрас / Берлин: Springer. п. 84.
^ Зарцо Альтарехос, А. (1995). Дифференциальные уравнения гипергеометрического типа. (Доктор философии) (на испанском языке). Факультет естественных наук Гранадского университета.
^ Витте, Н. С .; Форрестер, П. Дж. (2000). "Вероятности разрыва в конечных и масштабированных ансамблях случайных матриц Коши". Нелинейность. 13 (6): 13–1986. arXiv:math-ph / 0009022. Bibcode:2000Nonli..13.1965W. Дои:10.1088/0951-7715/13/6/305.
^ Форрестер, П. Дж. (2010). Лог-газы и случайные матрицы. Монографии Лондонского математического общества. Издательство Принстонского университета.
^ Котфас, Н. (2004). «Системы ортогональных многочленов, определяемые уравнениями гипергеометрического типа, применительно к квантовой механике». Cent. Евро. J. Phys. 2 (3): 456–466. arXiv:math-ph / 0602037. Bibcode:2004CEJPh ... 2..456C. Дои:10.2478 / bf02476425.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Якоби». MathWorld.
^ Kuijlaars, A. B.J .; Мартинез-Финкельштейн, А .; Орив Р. (2005). «Ортогональность многочленов Якоби с общими параметрами». Электрон. Пер. Нумер. Анальный. 19: 1–17. arXiv:математика / 0301037. Bibcode:2003математика ...... 1037K.
^ ^а ^б ^c Compean, C. B .; Кирхбах, М. (2006). «Тригонометрический потенциал Розена – Морса в суперсимметричной квантовой механике и его точные решения». J. Phys. A: Математика. Gen. 39 (3): 547–558. arXiv:Quant-ph / 0509055. Bibcode:2006JPhA ... 39..547C. Дои:10.1088/0305-4470/39/3/007.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж Вебер, Х. Дж. (2007). «Связь многочленов Романовского с другими многочленами». Центральноевропейский математический журнал. 5 (3): 581. arXiv:0706.3153. Дои:10.2478 / s11533-007-0014-4.
^ Вебер, Х. Дж. (2007). «Связь между действительными полиномиальными решениями дифференциальных уравнений гипергеометрического типа с формулой Родригеса». Центральноевропейский математический журнал. 5 (2): 415–427. arXiv:0706.3003. Дои:10,2478 / с11533-007-0004-6.

[1] Романовский, В. (1929). "Sur quelques классы nouvelles de polynomes orthogonaux". C. R. Acad. Sci. Париж (На французском). 188: 1023.

[2] Раус, Э. Дж. (1884). «О некоторых свойствах некоторых решений дифференциального уравнения второго порядка» (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. 16: 245. Дои:10.1112 / плмс / с1-16.1.245.

[RAP-3] а ^б Raposo, A. P .; Weber, H.J .; Álvarez Castillo, D.E .; Кирхбах, М. (2007). «Полиномы Романовского в избранных задачах физики». Cent. Евро. J. Phys. 5 (3): 253–284. arXiv:0706.3897. Bibcode:2007CEJPh ... 5..253R. Дои:10.2478 / s11534-007-0018-5.

[4] Лески, П. А. (1996). "Endliche und unendliche Systeme von kontinuierlichen klassischen Orthogonalpolynomen". З. Энгью. Математика. Мех. (на немецком). 76 (3): 181. Bibcode:1996ЗаММ ... 76..181Л. Дои:10.1002 / zamm.19960760317.

[Abramowitz-5] Абрамовиц, М.; Стегун, И. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0.

[6] Никифоров, А. Ф .; Уваров, В. Б. (1988). Специальные функции математической физики. Базель: Birkhäuser Verlag.

[7] Сего, Г. (1939). Ортогональные многочлены. 23. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

[8] Исмаил, М. Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной. Издательство Кембриджского университета.

[9] Аски, Р. (1987). «Интеграл Рамануджана и ортогональных многочленов». J. Indian Math. Soc. 51: 27.

[10] Аски, Р. (1987). «Бета-интегралы и соответствующие ортогональные многочлены». Теория чисел. Конспект лекций по математике. 1395. Мадрас / Берлин: Springer. п. 84.

[11] Зарцо Альтарехос, А. (1995). Дифференциальные уравнения гипергеометрического типа. (Доктор философии) (на испанском языке). Факультет естественных наук Гранадского университета.

[12] Витте, Н. С .; Форрестер, П. Дж. (2000). "Вероятности разрыва в конечных и масштабированных ансамблях случайных матриц Коши". Нелинейность. 13 (6): 13–1986. arXiv:math-ph / 0009022. Bibcode:2000Nonli..13.1965W. Дои:10.1088/0951-7715/13/6/305.

[13] Форрестер, П. Дж. (2010). Лог-газы и случайные матрицы. Монографии Лондонского математического общества. Издательство Принстонского университета.

[14] Котфас, Н. (2004). «Системы ортогональных многочленов, определяемые уравнениями гипергеометрического типа, применительно к квантовой механике». Cent. Евро. J. Phys. 2 (3): 456–466. arXiv:math-ph / 0602037. Bibcode:2004CEJPh ... 2..456C. Дои:10.2478 / bf02476425.

[15] Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Якоби». MathWorld.

[16] Kuijlaars, A. B.J .; Мартинез-Финкельштейн, А .; Орив Р. (2005). «Ортогональность многочленов Якоби с общими параметрами». Электрон. Пер. Нумер. Анальный. 19: 1–17. arXiv:математика / 0301037. Bibcode:2003математика ...... 1037K.

[CK-17] а ^б ^c Compean, C. B .; Кирхбах, М. (2006). «Тригонометрический потенциал Розена – Морса в суперсимметричной квантовой механике и его точные решения». J. Phys. A: Математика. Gen. 39 (3): 547–558. arXiv:Quant-ph / 0509055. Bibcode:2006JPhA ... 39..547C. Дои:10.1088/0305-4470/39/3/007.

[HJW-18] а ^б ^c ^d ^е ^ж Вебер, Х. Дж. (2007). «Связь многочленов Романовского с другими многочленами». Центральноевропейский математический журнал. 5 (3): 581. arXiv:0706.3153. Дои:10.2478 / s11533-007-0014-4.

[19] Вебер, Х. Дж. (2007). «Связь между действительными полиномиальными решениями дифференциальных уравнений гипергеометрического типа с формулой Родригеса». Центральноевропейский математический журнал. 5 (2): 415–427. arXiv:0706.3003. Дои:10,2478 / с11533-007-0004-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]