Рациональные функции Лежандра - Legendre rational functions

График рациональных функций Лежандра для n = 0,1,2 и 3 для Икс от 0,01 до 100.

В математика то Рациональные функции Лежандра представляют собой последовательность ортогональные функции на [0, ∞). Их получают путем составления Преобразование Кэли с Полиномы Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени п определяется как:

${displaystyle R_ {n} (x) = {frac {sqrt {2}} {x + 1}}, P_ {n} left ({frac {x-1} {x + 1}} ight)}$

куда ${displaystyle P_ {n} (x)}$ является полиномом Лежандра. Эти функции собственные функции единственного Проблема Штурма-Лиувилля:

${displaystyle (x + 1) partial _ {x} (xpartial _ {x} ((x + 1) v (x))) + лямбда v (x) = 0}$

с собственными значениями

${displaystyle lambda _ {n} = n (n + 1),}$

Характеристики

Многие свойства могут быть выведены из свойств полиномов Лежандра первого рода. Другие свойства уникальны для самих функций.

Рекурсия

${displaystyle R_ {n + 1} (x) = {frac {2n + 1} {n + 1}}, {frac {x-1} {x + 1}}, R_ {n} (x) - {frac {n} {n + 1}}, R_ {n-1} (x) quad mathrm {for, ngeq 1}}$

и

${displaystyle 2 (2n + 1) R_ {n} (x) = (x + 1) ^ {2} (частично _ {x} R_ {n + 1} (x) -частичный _ {x} R_ {n- 1} (x)) + (x + 1) (R_ {n + 1} (x) -R_ {n-1} (x))}$

Ограничивающее поведение

Сюжет седьмого порядка (п = 7) Рациональная функция Лежандра, умноженная на 1 + х за Икс от 0,01 до 100. Обратите внимание, что есть п нули расположены симметрично относительно х = 1 и если Икс₀ является нулем, то 1 / х₀ тоже ноль. Эти свойства сохраняются для всех заказов.

Можно показать, что

${displaystyle lim _ {xightarrow infty} (x + 1) R_ {n} (x) = {sqrt {2}}}$

и

${displaystyle lim _ {xightarrow infty} xpartial _ {x} ((x + 1) R_ {n} (x)) = 0}$

Ортогональность

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {m} (x), R_ {n} (x), dx = {frac {2} {2n + 1}} delta _ {nm}}$

куда ${displaystyle delta _ {нм}}$ это Дельта Кронекера функция.

Особые ценности

${displaystyle R_ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle R_ {1} (x) = {гидроразрыв {x-1} {x + 1}},}$

${displaystyle R_ {2} (x) = {гидроразрыв {x ^ {2} -4x + 1} {(x + 1) ^ {2}}},}$

${displaystyle R_ {3} (x) = {гидроразрыв {x ^ {3} -9x ^ {2} + 9x-1} {(x + 1) ^ {3}}},}$

${displaystyle R_ {4} (x) = {frac {x ^ {4} -16x ^ {3} + 36x ^ {2} -16x + 1} {(x + 1) ^ {4}}},}$

Рекомендации

Чжун-Цин, Ван; Бен-Ю, Го (2005). «Смешанный спектральный метод течения вязкой несжимаемой жидкости в бесконечной полосе». Мат. Апл. Вычислить. 24 (3). Дои:10.1590 / S0101-82052005000300002.