Вейвлет Лежандра - Legendre wavelet

В функциональный анализ, компактно поддерживается вейвлеты происходит от Полиномы Лежандра называются Лежандровые вейвлеты или вейвлеты сферической гармоники.^[1] Функции Лежандра имеют широкое распространение, в которых сферическая система координат является целесообразным.^[2][3][4] Как и в случае со многими вейвлетами, нет хорошей аналитической формулы для описания этих гармонических сферических вейвлетов. В фильтр нижних частот связанный с Лежандром анализ с несколькими разрешениями это конечная импульсная характеристика (FIR) фильтр.

Вейвлеты, связанные с FIR-фильтрами, обычно предпочтительны в большинстве приложений.^[3] Еще одна привлекательная особенность заключается в том, что фильтры Лежандра линейная фаза FIR (т.е. анализ с множественным разрешением, связанный с линейная фаза фильтры). Эти вейвлеты были реализованы на MATLAB (набор вейвлетов). Хотя legdN является вейвлетом с компактным носителем, они не ортогональны (но для N = 1).^[5]

Фильтры Лежандра с несколькими разрешениями

Связанные полиномы Лежандра представляют собой колширотную часть сферических гармоник, которые являются общими для всех разделений уравнения Лапласа в сферических полярных координатах.^[2] Радиальная часть решения меняется от одного потенциала к другому, но гармоники всегда одни и те же и являются следствием сферической симметрии. Сферические гармоники ${displaystyle P_ {n} (z)}$ являются решениями Лежандра ${displaystyle 2 ^ {nd}}$- дифференциальное уравнение порядка, п целое число:

${displaystyle left (1-z ^ {2} ight) {frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} - 2z {frac {dy} {dz}} + n (n + 1) y = 0.}$

${displaystyle P_ {n} (cos (heta))}$ полиномы могут использоваться для определения сглаживающего фильтра ${displaystyle H (омега)}$ многокомпонентного анализа (MRA).^[6] Поскольку подходящие граничные условия для MRA следующие: ${displaystyle | H (0) | = 1}$ и ${displaystyle | H (pi) | = 0}$, сглаживающий фильтр MRA может быть определен так, чтобы величина нижних частот ${displaystyle | H (омега) |}$ можно связать с полиномами Лежандра согласно: ${displaystyle u = 2n + 1.}$

${displaystyle | H_ {u} (omega) | = left | {frac {P_ {u} left (cos left ({frac {omega} {2}} ight) ight)} {P_ {u} cos (0)} } право |}$

Наглядные примеры передаточных функций фильтра для MRA Лежандра показаны на рисунке 1 для ${displaystyle u = 1,3,5.}$ Фильтр демонстрирует низкочастотные характеристики. ЧАС, как и ожидалось. Количество нулей внутри ${displaystyle -pi$ равна степени полинома Лежандра. Следовательно скатывание боковых лепестков с частотой легко регулируется параметром ${displaystyle u}$.

Рисунок 1 - Величина передаточной функции для сглаживающих фильтров с разным разрешением Лежандра. Фильтр ${displaystyle | H_ {u} (омега) |}$ для заказов 1, 3 и 5.

Передаточная функция фильтра нижних частот определяется выражением

${displaystyle H_ {u} (omega) = - e ^ {- ju {frac {omega -pi} {2}}} P_ {u} left (cos left ({frac {omega} {2}} ight) ight) }$

Передаточная функция анализирующего фильтра верхних частот ${displaystyle G_ {u} (омега)}$ выбирается в соответствии с Квадратурный зеркальный фильтр условие,^[6][7] уступая:

${displaystyle H_ {u} (omega) = - e ^ {- j {(u -2)} {frac {omega} {2}}} P_ {u} left (sin left ({frac {omega} {2}) } ight) ight)}$

В самом деле, ${displaystyle | G_ {u} (0) | = 0}$ и ${displaystyle | G_ {u} (pi) | = 1}$, как и ожидалось.

Коэффициенты фильтра Лежандра с множественным разрешением

Соответствующее распределение фаз выполняется для правильной настройки передаточной функции. ${displaystyle H_ {u} (омега)}$ к форме

${displaystyle H_ {u} (omega) = {frac {1} {sqrt {2}}} sum _ {kin Z} h_ {k} ^ {u} e ^ {- jomega k}}$

Коэффициенты фильтра ${displaystyle {h_ {k}} _ {kin mathbb {Z}}}$ даны:

${displaystyle h_ {k} ^ {u} = - {frac {sqrt {2}} {2 ^ {2u}}} {inom {2k} {k}} {inom {2u -2k} {u -k}} }$

откуда симметрия:

${displaystyle {h_ {k} ^ {u}} = {h_ {u -k} ^ {u}},}$

следует. Есть только ${displaystyle u +1}$ ненулевые коэффициенты фильтра на ${displaystyle H_ {n} (омега)}$, так что вейвлеты Лежандра имеют компактную поддержку для каждого нечетного целого числа ${displaystyle u}$.

Таблица I - Коэффициенты сглаживающего КИХ-фильтра Лежандра для ${displaystyle u = 1,3,5}$ (${displaystyle N}$ это вейвлет-порядок.)

	${displaystyle u = 1 (N = 1)}$	${displaystyle u = 3 (N = 2)}$	${displaystyle u = 5 (N = 3)}$
${displaystyle h_ {0}}$	${displaystyle - {frac {sqrt {2}} {2}}}$	${displaystyle -5 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -63 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {1}}$	${displaystyle - {frac {sqrt {2}} {2}}}$	${displaystyle -3 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -35 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {2}}$		${displaystyle -3 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -30 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {3}}$		${displaystyle -5 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -30 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {4}}$			${displaystyle -35 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {5}}$			${displaystyle -63 {frac {sqrt {2}} {256}}}$

N.B. Сигнал минус можно подавить.

Реализация MATLAB вейвлетов Лежандра

Вейвлеты Лежандра могут быть легко загружены в MATLAB набор инструментов для вейвлетов. Доступны m-файлы, позволяющие вычислять вейвлет-преобразование Лежандра, детали и фильтры (бесплатно). Конечная ширина опоры семейства Лежандра обозначается legd (краткое название). Вейвлеты: 'legdN'. Параметр N в семействе legdN находится по ${displaystyle 2N = u +1}$ (длина MRA-фильтров).

Вейвлеты Лежандра могут быть получены из фильтра реконструкции нижних частот с помощью итерационной процедуры ( каскадный алгоритм ). Вейвлет имеет компактную опору и используются фильтры AMR (FIR) с конечной импульсной характеристикой (таблица 1). Первый вейвлет семейства Лежандра - это как раз хорошо известный Вейвлет Хаара. На рисунке 2 показан возникающий паттерн, который постепенно становится похожим на форму вейвлета.

Рисунок 2 - Форма вейвлетов Лежандра степени ${displaystyle u = 3}$ (legd2), полученный после 4 и 8 итераций каскадного алгоритма соответственно. Форма вейвлетов Лежандра степени ${displaystyle u = 5}$ (legd3), полученный каскадным алгоритмом после 4 и 8 итераций каскадного алгоритма соответственно.

Форма вейвлета Лежандра может быть визуализирована с помощью команды wavemenu MATLAB. На рисунке 3 показан вейвлет legd8, отображаемый с помощью MATLAB. Полиномы Лежандра также связаны с семействами окон.^[8]

Рисунок 3 - отображение вейвлета legd8 поверх MATLAB с использованием команды wavemenu.

Вейвлет-пакеты Лежандра

Вейвлет-пакеты (WP) системы, полученные из вейвлетов Лежандра, также могут быть легко реализованы. На рисунке 5 показаны функции WP, производные от legd2.

Рисунок 5 - Функции системы вейвлет-пакетов W Лежандра (legd2): WP от 0 до 9.

Рекомендации

Библиография

• M.M.S. Лира, Х. де Оливейра, М.А. Карвалью-младший, Р.М.К. Соуза, Вейвлеты с компактным носителем, полученные из полиномов Лежандра: сферические гармонические вейвлеты, В: Вычислительные методы в схемах и системах, N.E. Масторакис, И. Стахопулос, К. Маникопулос, Г.Э. Антониу, В. Младенов, И.Ф. Gonos Eds., WSEAS press, стр. 211–215, 2003. ISBN  960-8052-88-2. Доступны на ee.ufpe.br
• Коломер А.А., Коломер А.А. Адаптивное сжатие данных ЭКГ с использованием дискретного преобразования Лежандра. Цифровая обработка сигналов7. 1997. С. 222–228.
• Рамм А. Заславский, Рентгеновское преобразование, преобразование Лежандра и конверты, J. of Math. Анализ и приложение., 183, с. 528–546, 1994.
• К. Херли, М. Веттерли, Ортогонализация баз вейвлетов с компактным носителем, Процесс цифрового сигнала IEEE. мастерская, 13-16 сентября, с. 1.7.1-1.7.2, 1992.
• Маллат С. Теория разложения сигналов с множественным разрешением: вейвлет-представление. IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу, 11, июль, с. 674–693, 1989.
• М. Веттерли, К. Херли, Вейвлеты и банки фильтров: теория и дизайн, IEEE Trans. по акустике, речи и обработке сигналов, 40, 9, с. 2207, 1992.
• М. Яскула, Новое семейство окон на основе модифицированных полиномов Лежандра, IEEE Instrum. И измерительная техника. Конф., Анкоридж, AK, май 2002 г., стр. 553–556.