Планшерель мера - Plancherel measure

В математика, Планшерель мера это мера определен на множестве неприводимые унитарные представления из локально компактная группа ${ displaystyle G}$, который описывает, как регулярное представление разбивается на неприводимые унитарные представления. В некоторых случаях термин Планшерель мера применяется конкретно в контексте группы ${ displaystyle G}$ конечная симметрическая группа ${ displaystyle S_ {n}}$ - Смотри ниже. Он назван в честь швейцарского математика. Мишель Планшерель за его работу в теория представлений.

Определение для конечных групп

Позволять ${ displaystyle G}$ быть конечная группа обозначим множество его неприводимые представления к ${ displaystyle G ^ { wedge}}$. Соответствующие Планшерель мера по набору ${ displaystyle G ^ { wedge}}$ определяется

${ Displaystyle му ( пи) = { гидроразрыва {( mathrm {dim} , pi) ^ {2}} {| G |}},}$

куда ${ Displaystyle пи в G ^ { клин}}$, и ${ displaystyle mathrm {dim} pi}$ обозначает размерность неприводимого представления ${ displaystyle pi}$. ^[1]

Определение симметрической группы ${ displaystyle S_ {n}}$

Важным частным случаем является случай конечного симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$, куда ${ displaystyle n}$ положительное целое число. Для этой группы набор ${ Displaystyle S_ {п} ^ { клин}}$ неприводимых представлений находится в естественной биекции с множеством целые разделы из ${ displaystyle n}$. Для неприводимого представления, связанного с целочисленным разбиением ${ displaystyle lambda}$, его размерность, как известно, равна ${ displaystyle f ^ { lambda}}$, количество стандартные картины Юнга формы ${ displaystyle lambda}$, так что в этом случае Планшерель мера часто рассматривается как мера на множестве целых разделов заданного порядкап, данный

${ displaystyle mu ( lambda) = { frac {(f ^ { lambda}) ^ {2}} {n!}}.}$ ^[2]

Тот факт, что эти вероятности в сумме равны 1, следует из комбинаторного тождества

${ Displaystyle сумма _ { лямбда vdash п} (е ^ { лямбда}) ^ {2} = п !,}$

что соответствует биективной природе Переписка Робинсона – Шенстеда.

Заявление

Планшерель мера естественно возникает в комбинаторных и вероятностных задачах, особенно при изучении самая длинная возрастающая подпоследовательность случайного перестановка ${ displaystyle sigma}$. В связи с его важностью в этой области во многих текущих исследовательских работах термин Планшерель мера почти исключительно относится к случаю симметрической группы ${ displaystyle S_ {n}}$.

Подключение к самой длинной возрастающей подпоследовательности

Позволять ${ Displaystyle L ( sigma)}$ обозначают длину самой длинной возрастающей подпоследовательности случайного перестановка ${ displaystyle sigma}$ в ${ displaystyle S_ {n}}$ выбирается по равномерному распределению. Позволять ${ displaystyle lambda}$ обозначим форму соответствующего Молодые картины относится к ${ displaystyle sigma}$ посредством Переписка Робинсона – Шенстеда. Тогда имеет место следующее тождество:

${ Displaystyle L ( sigma) = lambda _ {1},}$

куда ${ displaystyle lambda _ {1}}$ обозначает длину первой строки ${ displaystyle lambda}$. Кроме того, из того факта, что соответствие Робинсона – Шенстеда биективно, следует, что распределение ${ displaystyle lambda}$ это в точности мера Планшереля на ${ displaystyle S_ {n}}$. Итак, чтобы понять поведение ${ Displaystyle L ( sigma)}$, естественно смотреть на ${ displaystyle lambda _ {1}}$ с ${ displaystyle lambda}$ выбирается по мере Планшереля в ${ displaystyle S_ {n}}$, поскольку эти две случайные величины имеют одинаковое распределение вероятностей. ^[3]

Пуассонизированная мера Планшереля

Планшерель мера определяется на ${ displaystyle S_ {n}}$ для каждого целого числа ${ displaystyle n}$. В различных исследованиях асимптотического поведения ${ Displaystyle L ( sigma)}$ в качестве ${ Displaystyle п rightarrow infty}$, это оказалось полезным ^[4] расширить меру до меры, называемой Пуассонизированная мера Планшереля, на съемочной площадке ${ Displaystyle { mathcal {P}} ^ {*}}$ всех целочисленных разделов. Для любого ${ displaystyle theta> 0}$, то Пуассонизированная мера Планшереля с параметром ${ displaystyle theta}$ на съемочной площадке ${ Displaystyle { mathcal {P}} ^ {*}}$ определяется

${ displaystyle mu _ { theta} ( lambda) = e ^ {- theta} { frac { theta ^ {| lambda |} (f ^ { lambda}) ^ {2}} {( | лямбда |!) ^ {2}}},}$

для всех ${ displaystyle lambda in { mathcal {P}} ^ {*}}$. ^[2]

Планшерель процесс роста

В Планшерель процесс роста случайная последовательность Диаграммы Юнга ${ displaystyle lambda ^ {(1)} = (1), ~ lambda ^ {(2)}, ~ lambda ^ {(3)}, ~ ldots,}$ так что каждый ${ Displaystyle лямбда ^ {(п)}}$ - случайная диаграмма Юнга порядка ${ displaystyle n}$ распределение вероятностей которого является пмера Планшереля, и каждая последующая ${ Displaystyle лямбда ^ {(п)}}$ получен от своего предшественника ${ Displaystyle лямбда ^ {(п-1)}}$ добавлением одной коробки, согласно вероятность перехода

${ Displaystyle п ( ню, лямбда) = mathbb {P} ( лямбда ^ {(п)} = лямбда ~ | ~ лямбда ^ {(п-1)} = ню) = { гидроразрыва {f ^ { lambda}} {nf ^ { nu}}},}$

для любой данной диаграммы Юнга ${ displaystyle nu}$ и ${ displaystyle lambda}$ размеров п - 1 ип, соответственно. ^[5]

Итак Планшерель процесс роста можно рассматривать как естественное соединение различных мер Планшереля всех симметрических групп или, альтернативно, как случайная прогулка на Решетка Юнга. Нетрудно показать, что распределение вероятностей из ${ Displaystyle лямбда ^ {(п)}}$ в этой прогулке совпадает с Планшерель мера на ${ displaystyle S_ {n}}$. ^[6]

Компактные группы

Мера Планшереля для компактных групп аналогична мере для конечных групп, за исключением того, что мера не обязательно должна быть конечной. Унитарное двойственное - это дискретный набор конечномерных представлений, а мера Планшереля неприводимого конечномерного представления пропорциональна его размерности.

Абелевы группы

Унитарная двойственная локально компактная абелева группа является другой локально компактной абелевой группой, а мера Планшереля пропорциональна Мера Хаара дуальной группы.

Полупростые группы Ли

Мера Планшереля для полупростых групп Ли была найдена Хариш-Чандра. Подставка - это набор закаленные представления, и, в частности, не все унитарные представления должны присутствовать в опоре.

Рекомендации