Интегральный оператор Фурье - Fourier integral operator

В математический анализ, Интегральные операторы Фурье стали важным инструментом в теории уравнения в частных производных. Класс интегральных операторов Фурье содержит дифференциальные операторы а также классический интегральные операторы как особые случаи.

Интегральный оператор Фурье ${displaystyle T}$ дан кем-то:

${displaystyle (Tf) (x) = int _ {mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2pi iPhi (x, xi)} a (x, xi) {hat {f}} (xi), dxi}$

куда ${displaystyle {hat {f}}}$ обозначает преобразование Фурье ${displaystyle f}$, ${displaystyle a (x, xi)}$ это стандартный символ который компактно поддерживается в ${displaystyle x}$ и ${displaystyle Phi}$ вещественнозначен и однороден степени ${displaystyle 1}$ в ${displaystyle xi}$. Также необходимо потребовать, чтобы ${displaystyle det left ({frac {partial ^ {2} Phi} {partial x_ {i}, partial xi _ {j}}} ight) eq 0}$ при поддержке а. В этих условиях, если а имеет нулевой порядок, можно показать, что ${displaystyle T}$ определяет ограниченный оператор из ${displaystyle L ^ {2}}$ к ${displaystyle L ^ {2}}$.^[1]

Примеры

Одним из мотивов изучения интегральных операторов Фурье является оператор решения начальной задачи для волнового оператора. Действительно, рассмотрим следующую проблему:

${displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {partial ^ {2} u} {partial t ^ {2}}} (t, x) = Delta u (t, x) quad mathrm { for} quad (t, x) в mathbb {R} ^ {+} imes mathbb {R} ^ {n},}$

и

${displaystyle u (0, x) = 0, quad {frac {partial u} {partial t}} (0, x) = f (x), quad mathrm {for} quad fin {mathcal {S}} '(mathbb {R} ^ {n}).}$

Решение этой проблемы дает

${displaystyle u (t, x) = {frac {1} {(2pi) ^ {n}}} int {frac {e ^ {i (langle x, xi angle + ct | xi |)}} {2i | xi |}} {hat {f}} (xi), dxi - {frac {1} {(2pi) ^ {n}}} int {frac {e ^ {i (langle x, xi angle -ct | xi |) }} {2i | xi |}} {hat {f}} (xi), dxi.}$

Их нужно интерпретировать как осциллирующие интегралы, поскольку они, как правило, не сходятся. Формально это выглядит как сумма двух интегральных операторов Фурье, однако коэффициенты в каждом из интегралов не гладкие в начале координат и, следовательно, не стандартные символы. Если вырезать эту особенность с помощью срезающей функции, то полученные таким образом операторы по-прежнему будут обеспечивать решения начальной задачи по модулю гладких функций. Таким образом, если нас интересует только распространение особенностей начальных данных, достаточно рассмотреть такие операторы. Фактически, если мы позволим скорости звука c в волновом уравнении изменяться в зависимости от положения, мы все равно сможем найти интегральный оператор Фурье, который дает решение по модулю гладких функций, и интегральные операторы Фурье, таким образом, предоставляют полезный инструмент для изучения распространения сингулярностей решения волновых уравнений с переменной скоростью и, в более общем плане, других гиперболических уравнений.

Смотрите также

• Микролокальный анализ
• преобразование Фурье
• Псевдодифференциальный оператор
• Осциллирующий интегральный оператор
• Симплектическая категория

Примечания

Рекомендации

• Элиас Штайн, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы. Издательство Принстонского университета, 1993. ISBN  0-691-03216-5
• Ф. Тревес, Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Co., 1981. ISBN  0-306-40404-4
• J.J. Duistermaat, Интегральные операторы Фурье, (Прогресс в математике), Биркхойзер, 1995. ISBN  0-8176-3821-0

внешняя ссылка

• «Интегральный оператор Фурье», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]