Колебательный интегральный оператор - Википедия - Oscillatory integral operator

В математика, в области гармонический анализ, осциллирующий интегральный оператор является интегральный оператор формы

${ Displaystyle Т _ { лямбда} и (х) = int _ { mathbf {R} ^ {n}} е ^ {я лямбда S (х, у)} а (х, у) и (у) , dy, qquad x in mathbf {R} ^ {m}, quad y in mathbf {R} ^ {n},}$

где функция S (х, у) называется фаза оператора и функции а (х, у) называется символ оператора. λ - параметр. Часто считают S (х, у) быть реальными и гладкими, и а (х, у) гладкий и компактно поддерживается. Обычно интересуется поведением Т_λ для больших значений λ.

Колебательные интегральные операторы часто встречаются во многих областях математики (анализ, уравнения в частных производных, интегральная геометрия, теория чисел ) и в физике. Свойства осциллирующих интегральных операторов изучались Элиас Штайн и его школа.^[1]

Теорема Хёрмандера

Следующая оценка L² → L² действие осциллирующих интегральных операторов (или L² → L² норма оператора ) был получен Ларс Хёрмандер в его статье о Интегральные операторы Фурье:^[2]

Предположить, что х, у ∈ р^п, п ≥ 1. Пусть S (х, у) быть действительным и гладким, и пусть а (х, у) быть гладким и компактно поддерживается. Если ${ displaystyle mathop { rm {det}} _ {j, k} { frac { partial ^ {2} S} { partial x_ {j} partial y_ {k}}} (x, y) neq 0}$ везде при поддержке а (х, у), то существует постоянная C такой, что Т_λ, который изначально определен на гладкие функции, расширяет к непрерывный оператор из L²(р^п) к L²(р^п), с норма ограничен ${ Displaystyle С лямбда ^ {- п / 2}}$, для любого λ ≥ 1:

${ displaystyle || T _ { lambda} || _ {L ^ {2} ( mathbf {R} ^ {n}) to L ^ {2} ( mathbf {R} ^ {n})} leq C lambda ^ {- n / 2}.}$

Рекомендации