Формула суммирования Пуассона - Poisson summation formula

В математика, то Формула суммирования Пуассона уравнение, связывающее Ряд Фурье коэффициенты периодическое суммирование из функция к значениям функции непрерывное преобразование Фурье. Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеон Дени Пуассон и иногда его называют Пересуммация Пуассона.

Формы уравнения

Для соответствующих функций ${ displaystyle f,}$ формулу суммирования Пуассона можно записать как:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (n) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {f}} left (k верно),}$ куда ${ displaystyle { hat {f}}}$ это преобразование Фурье[A] из ${ displaystyle f}$; то есть ${ displaystyle { hat {f}} ( nu) = { mathcal {F}} {f (x) }.}$

(Уравнение 1)

При замене ${ Displaystyle г (хР) треугольникq е (х),}$ и свойство преобразования Фурье,${ displaystyle { mathcal {F}} {g (xP) } = { frac {1} {P}} cdot { hat {g}} left ({ frac { nu} { P}} right)}$ (за ${ displaystyle P> 0}$),  Уравнение 1 становится:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} g (nP) = { frac {1} {P}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} { шляпа {g}} left ({ frac {k} {P}} right)}$     (Штайн и Вайс, 1971 г. ).

(Уравнение 2)

С другим определением,${ Displaystyle s (т + х) треугольник г (х),}$ и свойство преобразования${ Displaystyle { mathcal {F}} {s (t + x) } = { hat {s}} ( nu) cdot e ^ {i2 pi nu t},}$  Уравнение 2 становится периодическое суммирование (с периодом ${ displaystyle P}$) и его аналог Ряд Фурье:

${ displaystyle underbrace { sum _ {n = - infty} ^ { infty} s (t + nP)} _ {S_ {P} (t)} = sum _ {k = - infty} ^ { infty} underbrace {{ frac {1} {P}} cdot { hat {s}} left ({ frac {k} {P}} right)} _ {S [k]} e ^ {i2 pi { frac {k} {P}} t}}$     (Пинский 2002; Зигмунд 1968 ).

(Уравнение 3)

Аналогично, периодическое суммирование преобразования Фурье функции эквивалентно этому ряду Фурье:

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {s}} ( nu + k / T) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) e ^ {- i2 pi nT nu} Equiv { mathcal {F}} left { sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) delta (t-nT) right },}$

(Уравнение 4)

где T представляет интервал времени, в течение которого функция ${ displaystyle s (t)}$ выбирается, и ${ displaystyle 1 / T}$ скорость выборки в секунду.

Примеры

• Позволять ${ Displaystyle е (х) = е ^ {- ах}}$ за ${ displaystyle 0 leq x}$ и ${ displaystyle f (x) = 0}$ за ${ displaystyle x <0}$ получить

${ displaystyle coth (x) = x sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {x ^ {2} + pi ^ {2} n ^ {2}}} = { frac {1} {x}} + 2x sum _ {n in mathbb {Z _ {+}}} { frac {1} {x ^ {2} + pi ^ {2} n ^ { 2}}},}$

• Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тета-функции
• Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может использоваться для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди.^{[требуется разъяснение ]}
• Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса

Распределительная формулировка

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределения (Кордова 1988 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFCórdoba1988 (помощь); Хёрмандер 1983, §7.2) для функции ${ displaystyle f}$ все производные которого быстро убывают (см. Функция Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай Теорема свертки о умеренных распределениях.С использованием Гребень Дирака распространение и его Ряд Фурье:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (x-nT) Equiv sum _ {k = - infty} ^ { infty} { frac {1} {T }} cdot e ^ {i2 pi { frac {k} {T}} x} quad { stackrel { mathcal {F}} { Longleftrightarrow}} quad { frac {1} {T} } cdot sum _ {k = - infty} ^ { infty} delta ( nu -k / T),}$

(Уравнение 7)

Другими словами, периодизация Дельта Дирака ${ displaystyle delta}$, в результате чего Гребень Дирака, соответствует дискретизации его спектра, который постоянно равен единице. Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями.

Уравнение 1 охотно следует:

${ Displaystyle { begin {align} sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {f}} (k) & = sum _ {k = - infty} ^ { infty } left ( int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- i2 pi kx} dx right) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) underbrace { left ( sum _ {k = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi kx} right)} _ { sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (xn)} dx & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} left ( int _ {- infty} ^ { infty} f (x) delta (xn) dx right) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (n). end {align}}}$

по аналогии:

${ Displaystyle { begin {align} sum _ {k = - infty} ^ { infty} { hat {s}} ( nu + k / T) & = sum _ {k = - infty } ^ { infty} { mathcal {F}} left {s (t) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {T}} t} right } & = { mathcal {F}} { bigg {} s (t) underbrace { sum _ {k = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi { frac {k} {T }} t}} _ {T sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (t-nT)} { bigg }} = { mathcal {F}} left { sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) cdot delta (t-nT) right } & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) cdot { mathcal {F}} left { delta (t-nT) right } = sum _ {n = - infty} ^ { infty} T cdot s (nT) cdot e ^ {- i2 pi nT nu}. End {align}}}$

Вывод

Мы также можем доказать, что Уравнение 3 выполняется в том смысле, что если ${ Displaystyle s (т) в L_ {1} ( mathbb {R})}$, то правая часть - это (возможно, расходящийся) ряд Фурье левой части. Это доказательство можно найти либо в (Пинский 2002 ) или же (Зигмунд 1968 ). Это следует из теорема о доминируемой сходимости который ${ Displaystyle s_ {P} (т)}$ существует и конечна почти для всех ${ displaystyle t}$. Более того, отсюда следует, что ${ displaystyle s_ {P}}$ интегрируема на интервале ${ displaystyle [0, P]}$. Правая часть Уравнение 3 имеет форму Ряд Фурье. Итак, достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье ${ Displaystyle s_ {P} (т)}$ находятся ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {P}} { hat {s}} left ({ frac {k} {P}} right)}$. Исходя из определения коэффициентов Фурье, имеем:

${ displaystyle { begin {align} S [k] & { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} {P}} int _ {0} ^ {P} s_ {P} (t) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} t} , dt & = { frac {1} {P}} int _ { 0} ^ {P} left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty} s (t + nP) right) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {P }} t} , dt & = { frac {1} {P}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} int _ {0} ^ {P} s (t + nP) cdot e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} t} , dt, end {align}}}$

где замена суммирования интегрированием еще раз оправдана преобладающей сходимостью. С замена переменных (${ Displaystyle тау = т + нП}$) это становится:

${ displaystyle { begin {align} S [k] = { frac {1} {P}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} int _ {nP} ^ {nP + P } s ( tau) e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} tau} underbrace {e ^ {i2 pi kn}} _ {1} , d tau = { frac {1} {P}} int _ {- infty} ^ { infty} s ( tau) e ^ {- i2 pi { frac {k} {P}} tau } d tau = { frac {1} {P}} cdot { hat {s}} left ({ frac {k} {P}} right) end {выравнивается}}}$       QED.

Формула суммирования Пуассона также может быть доказана довольно концептуально, используя совместимость Понтрягинская двойственность с короткие точные последовательности Такие как

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} to mathbb {R} to mathbb {R} / mathbb {Z} to 0.}$^[1]

Применимость

Уравнение 3 держит при условии ${ displaystyle s (t)}$ является непрерывным интегрируемая функция что удовлетворяет

${ displaystyle | s (t) | + | { hat {s}} (t) | leq C (1+ | t |) ^ {- 1- delta}}$

для некоторых ${ displaystyle C> 0, delta> 0}$ и каждый ${ displaystyle t}$ (Графакос 2004; Штайн и Вайс, 1971 г. ). Обратите внимание, что такие ${ displaystyle s (t)}$ является равномерно непрерывный, это вместе с предположением о распаде ${ displaystyle s}$, покажем, что ряд, определяющий ${ displaystyle s_ {P}}$ сходится равномерно к непрерывной функции. Уравнение 3 выполняется в сильном смысле, что обе стороны сходятся равномерно и абсолютно к одному пределу (Штайн и Вайс, 1971 г. ).

Уравнение 3 держит в точечно смысл при строго более слабом предположении, что ${ displaystyle s}$ имеет ограниченную вариацию и

${ Displaystyle 2 cdot s (t) = lim _ { varepsilon to 0} s (t + varepsilon) + lim _ { varepsilon to 0} s (t- varepsilon)}$     (Зигмунд 1968 ).

Ряд Фурье в правой части Уравнение 3 тогда понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм.

Как показано выше, Уравнение 3 выполняется при гораздо менее ограничительном предположении, что ${ displaystyle s (t)}$ в ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$, но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть представляет собой (возможно расходящийся) ряд Фурье ${ Displaystyle s_ {P} (т)}$ (Зигмунд 1968 ). В этом случае можно расширить область, в которой выполняется равенство, путем рассмотрения таких методов суммирования, как Суммируемость Чезаро. При интерпретации конвергенции таким образом Уравнение 2 выполняется при менее ограничительных условиях, что ${ displaystyle g (x)}$ интегрируема, а 0 - точка непрерывности ${ displaystyle g_ {P} (x)}$. тем не мение Уравнение 2 может не удержаться, даже когда оба ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle { hat {g}}}$ интегрируемы и непрерывны, а суммы сходятся абсолютно (Кацнельсон 1976 ).

Приложения

Метод изображений

В уравнения в частных производных, формула суммирования Пуассона дает строгое обоснование фундаментальное решение из уравнение теплопроводности с поглощающей прямоугольной границей метод изображений. Здесь тепловое ядро на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ известно, а прямоугольник определяется с помощью периодизации. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей (Графакос 2004 ). В одном измерении полученное решение называется тета-функция.

Отбор проб

При статистическом исследовании временных рядов, если ${ displaystyle f}$ является функцией времени, то рассмотрение только его значений в равные промежутки времени называется «выборкой». В приложениях обычно функция ${ displaystyle f}$ является ограниченный диапазон, что означает наличие некоторой частоты среза ${ displaystyle f_ {o}}$ такой, что преобразование Фурье равно нулю для частот, превышающих порог: ${ Displaystyle { шляпа {f}} ( xi) = 0}$ за ${ displaystyle | xi |> е_ {о}}$. Для функций с ограничением полосы частот выбор частоты дискретизации ${ displaystyle 2f_ {o}}$ гарантирует, что информация не будет потеряна: поскольку ${ displaystyle { hat {f}}}$ могут быть восстановлены из этих выборочных значений, затем с помощью инверсии Фурье, так что можно ${ displaystyle f}$. Это приводит к Теорема выборки Найквиста – Шеннона (Пинский 2002 ).

Суммирование Эвальда

В вычислительном отношении формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящееся суммирование в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящееся эквивалентное суммирование в пространстве Фурье.^{[нужна цитата ]} (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея, лежащая в основе Суммирование Эвальда.

Точки решетки в сфере

Формула суммирования Пуассона может быть использована для вывода асимптотической формулы Ландау для числа точек решетки в большой евклидовой сфере. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция, ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle { hat {f}}}$ как есть компактная опора тогда ${ displaystyle f = 0}$  (Пинский 2002 ).

Теория чисел

В теория чисел, Суммирование Пуассона также может быть использовано для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для Дзета-функция Римана.^[2]

Одно из важных применений пуассоновского суммирования касается тета-функции: периодические суммирования гауссианов. Положить ${ Displaystyle д = е ^ {я пи тау}}$, за ${ Displaystyle тау}$ комплексное число в верхней полуплоскости и определим тета-функцию:

${ displaystyle theta ( tau) = sum _ {n} q ^ {n ^ {2}}.}$

Связь между ${ Displaystyle тета (-1 / тау)}$ и ${ Displaystyle тета ( тау)}$ оказывается важным для теории чисел, поскольку такого рода отношения являются одним из определяющих свойств модульная форма. Выбирая ${ Displaystyle е = е ^ {- пи х ^ {2}}}$ во втором варианте формулы суммирования Пуассона (с ${ displaystyle a = 0}$), и используя тот факт, что ${ displaystyle { hat {f}} = e ^ {- pi xi ^ {2}}}$, сразу получается

${ displaystyle theta left ({- 1 над tau} right) = { sqrt { tau over i}} theta ( tau)}$

поставив ${ displaystyle {1 / lambda} = { sqrt { tau / i}}}$.

Из этого следует, что ${ displaystyle theta ^ {8}}$ имеет свойство простого преобразования при ${ Displaystyle тау mapsto {-1 / тау}}$ и это может быть использовано для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выразить целое число как сумму восьми полных квадратов.

Сферические упаковки

Кон и Элкис (2003) доказал верхнюю оценку плотности сферические упаковки с использованием формулы суммирования Пуассона, которая впоследствии привела к доказательству оптимальной упаковки сфер в размерностях 8 и 24.

Обобщения

Формула суммирования Пуассона верна в Евклидово пространство произвольной размерности. Позволять ${ displaystyle Lambda}$ быть решетка в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ состоящий из точек с целыми координатами; ${ displaystyle Lambda}$ это группа персонажей, или же Понтрягин дуальный, из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$^{[сомнительный – обсуждать]}. Для функции ${ displaystyle f}$ в ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {d})}$, рассмотрим ряд, полученный суммированием переводов ${ displaystyle f}$ элементами ${ displaystyle Lambda}$:

${ displaystyle sum _ { nu in Lambda} f (x + nu).}$

Теорема За ${ displaystyle f}$ в ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {d})}$, указанный ряд поточечно сходится почти всюду и тем самым определяет периодическую функцию Pƒ на ${ displaystyle Lambda}$. Pƒ лежит в ${ Displaystyle L ^ {1}}$ с || Pƒ ||₁ ≤ || ƒ ||₁. Более того, для всех ${ displaystyle nu}$ в ${ displaystyle Lambda}$, Pƒ̂ (ν) (преобразование Фурье на ${ displaystyle Lambda}$) равно ${ Displaystyle { шляпа {f}} ( ню)}$ (Преобразование Фурье на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$).

Когда ${ displaystyle f}$ вдобавок непрерывен, и оба ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle { hat {f}}}$ распадаются достаточно быстро на бесконечности, то можно "инвертировать" домен обратно в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ и сделайте более сильное заявление. Точнее, если

${ Displaystyle | е (х) | + | { шляпа {f}} (х) | leq C (1+ | х |) ^ {- d- delta}}$

для некоторых C, δ> 0, то

${ Displaystyle сумма _ { ню ин лямбда} е (х + ню) = сумма _ { ню ин лямбда} { шляпа {е}} ( ню) е ^ {2 пи ix cdot nu},}$    (Штайн и Вайс, 1971 г., VII §2)

где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и Икс = 0, это дает формулу, приведенную в первом разделе выше.

В более общем смысле, версия утверждения верна, если Λ заменить на более общую решетку в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. В двойная решетка Λ ′ можно определить как подмножество двойственного векторного пространства или, альтернативно, как Понтрягинская двойственность. Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ ′ снова является преобразованием Фурье в виде распределений, подлежащих правильной нормировке.

Это применяется в теории тета-функции, и это возможный метод в геометрия чисел. Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в областях он обычно используется - суммируя индикаторная функция региона D по точкам решетки - это как раз вопрос, так что LHS формулы суммирования - это то, что ищется, и RHS то, что может быть атаковано математический анализ.

Формула следа Сельберга

Дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы требуется в теория чисел. В некоммутативном гармонический анализ, идея развивается еще дальше в Формула следа Сельберга, но принимает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг, Роберт Лэнглендс и Джеймс Артур обобщили формулу суммирования Пуассона на преобразование Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах ${ displaystyle G}$ с дискретной подгруппой ${ displaystyle Gamma}$ такой, что ${ Displaystyle G / Gamma}$ имеет конечный объем. Например, ${ displaystyle G}$ могут быть настоящими точками ${ displaystyle GL_ {n}}$ и ${ displaystyle Gamma}$ могут быть интегральными точками ${ displaystyle GL_ {n}}$. В этой настройке ${ displaystyle G}$ играет роль действительной числовой прямой в классической версии пуассоновского суммирования, а ${ displaystyle Gamma}$ играет роль целых чисел ${ displaystyle n}$ которые появляются в сумме. Обобщенная версия пуассоновского суммирования называется формулой следа Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Великой теоремы Ферма Уайлсом. Левая часть (1) превращается в сумму по неприводимым унитарным представлениям ${ displaystyle G}$, и называется «спектральной стороной», а правая часть становится суммой по классам сопряженности ${ displaystyle Gamma}$, и называется «геометрической стороной».

Формула суммирования Пуассона является прототипом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

Смотрите также

• Анализ Фурье # Резюме
• Формула обращения поста
• Формула Вороного
• Дискретное преобразование Фурье
• явные формулы для L-функций

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бенедетто, Дж. Дж .; Циммерманн, Г. (1997), «Множители выборки и формула суммирования Пуассона», Ж. Фурье Ана. Приложение., 3 (5), заархивировано оригинал на 2011-05-24, получено 2008-06-19.
• Кон, Генри; Элкис, Ноам (2003), "Новые верхние оценки сферических упаковок. I", Анна. математики., 2, 157 (2): 689–714, arXiv:математика / 0110009, Дои:10.4007 / анналы.2003.157.689, МИСТЕР  1973059
• Кордова, А., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376.
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Фурье-анализ и приложения, Springer, стр. 344–352, ISBN  0-387-98485-2.
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье, Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN  0-13-035399-X.
• Хиггинс, Дж. Р. (1985), «Пять рассказов о кардинальном сериале», Бык. Амер. Математика. Soc., 12 (1): 45–89, Дои:10.1090 / S0273-0979-1985-15293-0.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  3-540-12104-8, МИСТЕР  0717035.
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ (Второе исправленное издание), New York: Dover Publications, Inc, ISBN  0-486-63331-4
• Пинский, М. (2002), Введение в анализ Фурье и всплески., Брукс Коул, ISBN  978-0-534-37660-4.
• Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08078-9.
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрический ряд (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9.