Тета-представление - Theta representation

В математика, то тета-представление является частным представлением Группа Гейзенберга из квантовая механика. Он получил свое название из-за того, что Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Представление популяризировали Дэвид Мамфорд.

строительство

Тета-представление - это представление непрерывной группы Гейзенберга ${displaystyle H_ {3} (mathbb {R})}$ над полем действительных чисел. В этом представлении элементы группы действуют на определенный Гильбертово пространство. Приведенная ниже конструкция сначала начинается с определения операторы соответствующие генераторам группы Гейзенберга. Затем определяется гильбертово пространство, на котором эти акты определяются, после чего следует демонстрация изоморфизм к обычным представлениям.

Групповые генераторы

Позволять ж(z) быть голоморфная функция, позволять а и б быть действительные числа, и разреши ${displaystyle au}$ быть фиксированным, но произвольное комплексное число в верхняя полуплоскость; то есть так, чтобы мнимая часть ${displaystyle au}$ положительный. Определите операторы S_а и Т_б такие, что они действуют на голоморфные функции как

{displaystyle (S_ {a} f) (z) = f (z + a) = exp (apartial _ {z}) f (z)}

и

{displaystyle (T_ {b} f) (z) = exp (ipi b ^ {2} au + 2pi ibz) f (z + b au) = exp (ipi b ^ {2} au + 2pi ibz + b au частично _ {z}) f (z).}

Видно, что каждый оператор порождает однопараметрическую подгруппу:

{displaystyle S_ {a_ {1}} left (S_ {a_ {2}} fight) = left (S_ {a_ {1}} circ S_ {a_ {2}} ight) f = S_ {a_ {1} + a_ {2}} f}

и

{displaystyle T_ {b_ {1}} left (T_ {b_ {2}} fight) = left (T_ {b_ {1}} circle T_ {b_ {2}} ight) f = T_ {b_ {1} + b_ {2}} ф.}

Однако, S и Т не ездить на работу:

{displaystyle S_ {a} circ T_ {b} = exp (2pi iab) T_ {b} circ S_ {a}.}

Таким образом, мы видим, что S и Т вместе с унитарный фазовая форма нильпотентный Группа Ли, (непрерывное действительное) Группа Гейзенберга, параметризуемый как ${displaystyle H = U (1) imes mathbb {R} imes mathbb {R}}$ где U(1) - это унитарная группа.

Общий групповой элемент ${displaystyle U_ {au} (лямбда, a, b) в H}$ то действует на голоморфную функцию ж(z) так как

{displaystyle U_ {au} (lambda, a, b) f (z) = lambda (S_ {a} circ T_ {b} f) (z) = lambda exp (ipi b ^ {2} au + 2pi ibz) f (z + a + b au)}

где ${displaystyle lambda in U (1).}$ ${displaystyle U (1) = Z (H)}$ это центр из ЧАС, то коммутаторная подгруппа ${displaystyle [H, H]}$ . Параметр ${displaystyle au}$ на ${displaystyle U_ {au} (лямбда, а, б)}$ служит только для напоминания о том, что все значения ${displaystyle au}$ дает начало другому представлению о действии группы.

Гильбертово пространство

Действие элементов группы ${displaystyle U_ {au} (лямбда, а, б)}$ унитарна и неприводима на некотором гильбертовом пространстве функций. Для фиксированного значения τ определим норму на целые функции из комплексная плоскость так как

{displaystyle Vert fVert _ {au} ^ {2} = int _ {mathbb {C}} exp left ({frac {-2pi y ^ {2}} {Im au}} ight) | f (x + iy) | ^ {2} dx dy.}

Вот, ${displaystyle Im au}$ мнимая часть ${displaystyle au}$ а область интегрирования - это вся комплексная плоскость. Позволять ${displaystyle {mathcal {H}} _ {au}}$ быть набором целых функций ж с конечной нормой. Нижний индекс ${displaystyle au}$ используется только для обозначения того, что пространство зависит от выбора параметра ${displaystyle au}$ . Эта ${displaystyle {mathcal {H}} _ {au}}$ образует Гильбертово пространство. Действие ${displaystyle U_ {au} (лямбда, а, б)}$ приведенное выше унитарно на ${displaystyle {mathcal {H}} _ {au}}$ , это, ${displaystyle U_ {au} (лямбда, а, б)}$ сохраняет норму на этом пространстве. Наконец, действие ${displaystyle U_ {au} (лямбда, а, б)}$ на ${displaystyle {mathcal {H}} _ {au}}$ является несводимый.

Эта норма тесно связана с той, которая используется для определения Пространство Сегала – Баргмана.^{[нужна цитата ]}.

Изоморфизм

Вышеупомянутое тета-представление группы Гейзенберга изоморфна канонической Представление Вейля группы Гейзенберга. В частности, это означает, что ${displaystyle {mathcal {H}} _ {au}}$ и ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R})}$ находятся изоморфный так как ЧАС-модули. Позволять

{displaystyle M (a, b, c) = {egin {bmatrix} 1 & a & c 0 & 1 & b 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}

обозначают общий групповой элемент ${displaystyle H_ {3} (mathbb {R}).}$ В каноническом представлении Вейля для каждого действительного числа час, есть представление ${displaystyle ho _ {h}}$ действующий на ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R})}$ так как