Инвариантный выпуклый конус - Википедия - Invariant convex cone

В математика, инвариантный выпуклый конус закрытый выпуклый конус в Алгебра Ли связанного Группа Ли инвариантный относительно внутренних автоморфизмов. Исследование таких колбочек было инициировано Эрнест Винберг и Бертрам Костант.

Для простой алгебры Ли существование инвариантного выпуклого конуса вынуждает алгебру Ли иметь эрмитову структуру, т. Е. Максимальная компактная подгруппа имеет центр, изоморфный группе окружности. Инвариантный выпуклый конус, порожденный образующей алгебры Ли центра, замкнут и является минимальным инвариантным выпуклым конусом (с точностью до знака). Двойственный конус относительно Форма убийства - максимальный инвариантный выпуклый конус. Любой промежуточный конус однозначно определяется его пересечением с алгеброй Ли конуса максимальный тор в максимальной компактной подгруппе. Пересечение инвариантно относительно Группа Вейля максимального тора и орбита каждой точки внутри конуса пересекает внутренность инвариантного конуса группы Вейля.

Для настоящего симплектическая группа, максимальный и минимальный конус совпадают, поэтому существует только один инвариантный выпуклый конус. Когда один правильно содержится в другом, возникает континуум промежуточных инвариантных выпуклых конусов.

Инвариантные выпуклые конусы возникают при анализе голоморфных полугрупп в комплексирование группы Ли, впервые изученной Григорием Ольшанским. Они естественно связаны с Эрмитовы симметрические пространства и связанные с ними голоморфный дискретный ряд. Полугруппа состоит из тех элементов комплексификации, которые, действуя на эрмитово симметрическое пространство компактного типа, оставляют неизменной ограниченную область, соответствующую некомпактному двойственному объекту. Полугруппа действует по формуле операторы сжатия о голоморфных дискретных сериях; его интерьер действует Операторы Гильберта – Шмидта. Унитарная часть их полярное разложение - это оператор, соответствующий элементу исходной действительной группы Ли, а положительная часть - это экспонента мнимого кратного инфинитезимального оператора, соответствующего элементу в максимальном конусе. Подобное разложение уже происходит в полугруппе.

В полугруппа осцилляторов из Роджер Хоу касается частного случая этой теории для вещественной симплектической группы. Исторически это было одно из самых важных приложений, которое было распространено на бесконечные измерения. В статье подробно рассматривается пример инвариантного выпуклого конуса для симплектической группы и его использование при изучении симплектической полугруппы Ольшанского.

Инвариантный выпуклый конус в симплектической алгебре Ли

Алгебра Ли симплектической группы на р^2п имеет единственный инвариантный выпуклый конус. Он самодвойственный.^[1] Конус и его свойства могут быть получены напрямую, используя описание симплектической алгебры Ли, которое дает Исчисление Вейля в квантовая механика.^[2] Пусть переменные в р^2п быть Икс₁, ..., Икс_п, у₁, ..., у_п. Принимая стандартный внутренний продукт на р^2псимплектическая форма соответствует матрице

{ displaystyle displaystyle {J = { begin {pmatrix} 0 & I - I & 0 end {pmatrix}}.}}

Действительные многочлены на р^2п образуют бесконечномерную алгебру Ли под действием Скобка Пуассона

{ displaystyle displaystyle { {f, g } = sum _ {i} { partial f over partial x_ {i}} { partial g over partial y_ {i}} - { partial f over partial y_ {i}} { partial g over partial x_ {i}}.}}

Многочлены степени ≤ 2 образуют конечномерную алгебру Ли с центром постоянных многочленов. Однородные многочлены степени 2 образуют подалгебру Ли, изоморфную симплектической алгебре Ли. Симплектическая группа естественным образом действует на этой подалгебре путем репараметризации, и это дает присоединенное представительство. С другой стороны, однородные полиномы степени 2 - это просто симметричные билинейные формы на р_2п. Следовательно, они соответствуют симметричным 2п × 2п матрицы. В Форма убийства на алгебре Ли пропорциональна форме следа Tr AB. Положительно определенные симметричные билинейные формы образуют открытый инвариантный выпуклый конус с замыкающим множеством п положительных полуопределенных симметричных билинейных форм. Поскольку форма Киллинга - это форма следа, конус п самодуальна.

Любая положительно симметричная билинейная форма определяет новый внутренний продукт на р^2п. Симплектика из определяет обратимый кососопряженный оператор Т в отношении этого внутреннего продукта с -Т² положительный оператор. Ортонормированный базис можно выбрать так, чтобы Т имеет кососимметричные матрицы 2 × 2 по диагонали. Масштабируя ортонормированный базис, следует, что существует симплектический базис для р^2п диагонализация исходной положительно симметричной билинейной формы. Таким образом, каждая положительно симметричная билинейная форма лежит на орбите диагональной формы относительно симплектической группы.

Если C любой другой инвариантный выпуклый конус, то он инвариантен относительно замкнутой подгруппы U симплектической группы, состоящей из ортогональных преобразований, коммутирующих с J. Идентификация р^2п со сложным внутренним пространством продукта C^п используя сложную структуру J, U можно отождествить с U(п). Взяв любую ненулевую точку в C. в среднем более U относительно Мера Хаара лежит в C и отличен от нуля. Соответствующая квадратичная форма кратна стандартному внутреннему произведению. Замена C к -C этот коэффициент можно считать положительным. Имеется копия SL (2,р) в симплектической группе, действующей только на переменные Икс_я и у_я. Эти операторы можно использовать для преобразования $(Икс я) 2 + (у я) 2$ в $т (Икс я) 2 + (2 - т)(у я) 2$ с 0 < т <2. Отсюда следует, что C содержит точку $(Икс 1) 2 + (у 2) 2 + ... + (у п) 2$ . Применяя операторы диагонального масштабирования во втором и последующих экземплярах SL (2,р), конус C должен содержать квадратичную форму $(Икс 1) 2$ . По инвариантности C также должны содержать квадратичные формы $(Икс я) 2$ и $(у я) 2$ . По выпуклости он содержит все диагональные положительно симметричные билинейные формы. Поскольку любая положительно симметричная билинейная форма находится в орбите диагональной формы, C содержит конус неотрицательных симметричных билинейных форм. По двойственности двойственный конус C* содержится в п. Если C является собственным конусом, предыдущие рассуждения показывают, что C* = п и, следовательно, что C = п.

Этот аргумент показывает, что каждая положительно определенная симметричная форма находится на орбите формы с соответствующей квадратичной формой

{ displaystyle displaystyle {Q (x, y) = sum a_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}),}}

с а_я > 0. Это соответствует конусу в алгебре Ли (диагонального) максимальный тор из U.

Поскольку каждый элемент п диагонализуема, стабилизатор положительного элемента симплектической группы содержится в сопряженном к U. С другой стороны, если K - еще одна компактная подгруппа симплектической группы, усреднение по мере Хаара показывает, что она оставляет инвариантным положительный элемент группы п. Таким образом K содержится в конъюгате U. Следует, что U это максимальная компактная подгруппа симплектической группы и что любая другая такая подгруппа должна быть сопряжена с U.

Разложение в симплектическую полугруппу Ольшанского

Комплексная симплектическая группа действует преобразованиями Мёбиуса на Икс, комплексные симметричные матрицы с операторной нормой, меньшей или равной единице. Представление элемента в виде блочной матрицы 2 × 2 ${ displaystyle h = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ , действие задается

{ displaystyle displaystyle {h (z) = (az + b) (cz + d) ^ {- 1}.}}

Существует автоморфизм σ периода 2 комплексной симплектической группы с подгруппой неподвижных точек вещественной симплектической группы. потом Икс⁺ = σ (x) ^ {- 1} - антиавтоморфизм ЧАС который индуцирует обратное к вещественной симплектической группе грамм. Если грамм находится в открытой полугруппе Ольшанского ЧАС, позволять час = грамм⁺грамм. К Теорема Брауэра о неподвижной точке применительно к компактному выпуклому множеству Икс, грамм имеет фиксированную точку в Икс. С грамм несет Икс внутри неподвижная точка - это внутренняя точка. С грамм действует транзитивно на внутренней части Икс, после умножения на элемент грамм при необходимости можно предположить, что час исправляет 0. Поскольку час⁺ = час, следует, что б = c = 0. Сопряжение элементом в K ⊂ SU (1,1), а и d можно диагонализовать. Он имеет положительные собственные значения, поэтому существует единственный положительный диагональный оператор час₁ с квадратом час. По уникальности (час₁)⁺ = час₁. С час₁ диагональна, теория для SU (1,1) и SL (2,C) действующей на единичный диск в C показывает, что час₁ лежит в exp C. С другой стороны, k = грамм (час₁)⁻¹ удовлетворяет k⁺k = 1, так что σ (k) = k. Таким образом k лежит в грамм а значит, используя инвариантность C, ЧАС допускает разложение

{ Displaystyle Displaystyle {H = G cdot exp (C) = exp (C) cdot G.}}

Фактически существует аналогичное разложение для замкнутой симплектической полугруппы Ольшанского:

{ displaystyle displaystyle {{ overline {H}} = G cdot exp ({ overline {C}}) = exp ({ overline {C}}) cdot G.}}

Более того, карта (грамм,Икс) ↦ грамм exp Икс является гомеоморфизмом.^[3]

Фактически, если Икс в C, его можно диагонализовать с помощью вещественных собственных значений. Так что exp Икс имеет строго положительные собственные значения. По непрерывности, если Икс находится в закрытии C, он имеет действительные собственные значения и exp Икс имеет строго положительные собственные значения. Любой обратимый оператор, являющийся пределом такого exp Икс также будут иметь строго положительные собственные значения. Посредством голоморфное функциональное исчисление экспоненциальное отображение на пространстве операторов с вещественным спектром определяет гомеоморфизм на пространство операторов со строго положительным спектром с аналитическим обратным, задаваемым логарифмом. Следует, что ${ displaystyle exp { overline {C}}}$ замкнута в комплексной симплектической группе.

Если грамм_п exp Икс_п как правило час, то exp 2Икс_п как правило час⁺час. С ${ displaystyle exp { overline {C}}}$ закрыто, час⁺час = ехр 2Икс для некоторых Икс и поэтому час exp -Икс лежит в грамм. Итак, закрытие ${ Displaystyle G exp { overline {C}}}$ замкнуто и совпадает с ${ displaystyle { overline {H}}}$ . Аналогично, если грамм_п exp Икс_п как правило грамм exp Икс, то exp 2 Икс_п имеет тенденцию к exp 2Икс. Следовательно Икс_п как правило Икс. Но потом Икс_п имеет тенденцию к истощению Икс, так что грамм_п как правило грамм.

Использование теоремы Брауэра о неподвижной точке можно избежать, применяя более прямые теоремы о неподвижной точке для голоморфных отображений, таких как Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке и его варианты.^[4] Фактически преобразование Мёбиуса ж принимая {z: ||z|| < 1, z^т = z} в компактное подмножество имеет единственную неподвижную точку z₀ с ж^п(z) → z₀ для любого z.

Уникальность следует потому что, если ж имеет неподвижную точку, после сопряжения элементом вещественной симплектической группы ее можно считать равной 0. Тогда ж имеет форму ж(z) = az(1 + cz)⁻¹а^т, куда c^т = c, с итерациямиж^м(z) = а^мz(1 + c_мz)⁻¹(а^м)^т с c_м = c + а^ток + ⋅⋅⋅ + (а^{м − 1})^ток^{м − 1}. Здесь а и c_м у всех операторная норма меньше единицы. Таким образом, для ||z|| ≤ р < 1, ж^м(z) стремится к 0 равномерно, так что, в частности, 0 является единственной неподвижной точкой и получается путем применения итераций ж.

Существование фиксированной точки для ж следует, отмечая, что это возрастающая последовательность п_k такой, что ж^п_k и ж^{п_{2k + 1} − п_2k} оба сходятся равномерно на компактах, к час и грамм соответственно. Это следует потому, что реальные симплектические преобразования грамм_п можно выбрать так, чтобы час_п = грамм_п ∘ ж^п исправляет 0 с подпоследовательностью грамм_псходится именно тогда, когда соответствующая подпоследовательность ж^п(0) сходится. Поскольку преобразования час_п можно записать как час_п(z) = а_пz(1 + б_пz)⁻¹ (а_п)^т, можно выбрать сходящиеся подпоследовательности. По конструкции грамм ∘ час = час. Так указывает на изображение час фиксируются грамм. Сейчас же грамм и час либо постоянны, либо имеют вид az(1 + cz)⁻¹а^т с последующим реальным симплектическим преобразованием. Поскольку образ час связно, а непостоянная карта имеет только одну фиксированную точку, образ час это одна точка z₀, фиксируется грамм. С грамм ездит с ж, ж(z₀) также фиксируется грамм и поэтому ж(z₀)= z₀, так что z₀ неподвижная точка ж.^[5]

Максимальность симплектической полугруппы Ольшанского

Симплектическая группа действует транзитивно преобразованиями Мёбиуса на комплексных симметрических матрицах с операторной нормой меньше единицы. Открытая полугруппа Ольшанского состоит из преобразований Мёбиуса в комплексной симплектической группе, которые переводят пространственные комплексные симметрические матрицы нормы ≤ 1 в комплексные симметрические матрицы нормы <1. Ее замыкание является максимальной собственной полугруппой в комплексной симплектической группе.

В двух измерениях это следует из общий аргумент из Лоусон (1998) что также применимо в одном измерении. Позволять грамм = SL (2,р) действуют преобразованиями Мёбиуса на продолженной вещественной прямой и пусть ЧАС - открытая полугруппа, состоящая из преобразований, переводящих [–1,1] в (–1,1). Его закрытие ${ displaystyle { overline {H}}}$ - замкнутая полугруппа преобразований, переводящих [–1,1] в себя. Максимальность ${ displaystyle { overline {H}}}$ доказывается, сначала показывая, что любая строго большая полугруппа S содержит элемент грамм отправка |т| <1 на |т| > 1. Ведь если Икс в S но не в ${ displaystyle { overline {H}}}$ , то есть интервал я₁ в я = (–1,1) такое, что Икс я₁ лежит в [–1,1]^c. Тогда для некоторых час в ЧАС, я₁ = Здравствуй. по аналогии yxI₁ = [–1,1]^c для некоторых у в ЧАС. Так грамм = yxh лежит в S и отправляет я на [–1,1]^c. Следует, что грамм² исправления я, так что грамм⁻¹ лежит в S. Если z лежит в ЧАС тогда z грамм я содержит грамм я. Следовательно грамм⁻¹z⁻¹ грамм лежит в ${ displaystyle { overline {H}}}$ . Так z⁻¹ лежит в S и поэтому S содержит открытую окрестность 1. Следовательно S = SL (2,р).^[6]

Максимальность может быть выведена для симплектической полугруппы Ольшанского в SL (2,C) из максимальности этой полугруппы в SL (2,р). Достаточно показать, что замкнутая полугруппа содержит SL (2,р), поскольку масштабные преобразования лежат внутри симплектической полугруппы Ольшанского. Таким образом, если их обратные лежат в симплектической полугруппе, она содержит окрестность единицы и, следовательно, всю SL (2,C). Если S является полугруппой, собственно содержащей симплектическую полугруппу, она содержит элемент, несущий замкнутый единичный круг вне себя. Составив до и после композиции с элементами SU (1,1), можно предположить, что элемент грамм из S несет 0 в р > 1. Предварительно составив масштабное преобразование, можно предположить, что грамм переносит замкнутый единичный круг на малую окрестность р. Предварительно составив элемент из SU (1,1), прообраз действительной оси можно принять за диаметр, соединяющий -1 и 1. Но в этом случае грамм должен лежать в SL (2,р). Из результата о максимальности для полугрупп в SL (2,р), S должен содержать SL (2,р) и, следовательно, должно быть всей SL (2,C).^[7]

Факторизация Autonne – Takagi утверждает, что для любой сложной симметричной матрицы M, существует унитарная матрица U такой, что УМУ^т диагональный.^[8] ЕслиS является полугруппой, собственно содержащей замыкание полугруппы Ольшанки, то она содержит элемент грамм такой, что z = грамм(0) с 1 <||z|| < ∞.

Действительно, есть вложение из-за Хариш-Чандра пространства сложных симметричных п к п матриц как плотное открытое подмножество компактного грассманиана лангранжева подпространств C^2п. Моревоэра это вложение эквивариантно для действия вещественной симплектической группы.^[9] Фактически, со стандартным сложным внутренним продуктом на C^2п, грассманиан п-мерные подпространства имеет непрерывное транзитивное действие SL (2п,C) и ее максимальная компактная подгруппа SU (2п). Его можно отождествить с пространством ортогонального ранга п проекции, компактное подпространство в M_2п(CПринятие координат (z₁,...,z_п,ш₁,...,ш_п) на C^2п, симплектическая форма имеет вид

{ displaystyle displaystyle {B ((z, w), (z ^ { prime}, w ^ { prime})) = sum z_ {i} w_ {i} ^ { prime} -w_ {i } z_ {i} ^ { prime}.}}

An п-мерное подпространство U называется лагранжевым, если B исчезает на U. Лагранжевы подпространства образуют замкнутое подмножество грассманиана, на котором комплексная симплектическая группа и унитарная симплектическая группа действуют транзитивно. Это лагранжев грассманиан. Подпространство U₀ сформирован из векторов с z_я = 0 лагранжево. Множество лангранжева подпространств U для которого ограничение ортогональной проекции на U₀ является изоморфизмом, образует открытое плотное подмножество Ω лагранжевого грассманиана. Любое такое подпространство имеет канонический базис, векторы-столбцы которого образуют 2п к п матрица ${ displaystyle { begin {pmatrix} Z I end {pmatrix}}}$ куда Z сложный симметричный п к п матрица и я это п к п единичная матрица. При этом соответствии элементы комплексной симплектической группы, рассматриваемые как блочные матрицы ${ displaystyle g = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}}}$ действуют как преобразования Мёбиуса,грамм(Z) = (Аризона + B)(CZ + D)⁻¹. Единичный шар для операторной нормы и его замыкание остаются инвариантными слева относительно соответствующей вещественной формы симплектической группы.

Если элемент грамм комплексной симплектической группы не лежит в замыкании полугруппы Ольшанского, она должна нести некоторую точку W открытого единичного шара в дополнение к его закрытию. Если грамм(W) не лежит в Ω, то образ шарика вокруг W должен содержать точки с в Ω со сколь угодно большой операторной нормой. Предварительная композиция грамм с подходящим элементом в грамм, следует, что Z = грамм(0) будет иметь операторную норму больше 1. Если грамм(W) уже лежит в Ω, он также будет иметь операторную норму больше 1 и W может быть тогда принято равным 0, предварительно составив подходящий элемент грамм.

Предварительное сочинение грамм с масштабным преобразованием и пост-композицией грамм с унитарным преобразованием можно считать, что грамм(0) - диагональная матрица с элементами λ_я ≥ 0 с р = λ₁ > 0 и что изображение единичного шара содержится в маленьком шаре вокруг этой точки. Элементы λ_я с я ≥ 2 можно отдельно масштабировать по элементам полугруппы Ольшанки так, чтобы λ_я <1; а затем они могут быть отправлены в 0 элементами грамм лежащие в коммутирующих копиях SU (1,1). Так грамм(0) - диагональная матрица с элементами р, 0, ..., 0, где р > 1.

Смотрите также

Примечания

^
Видеть:
- Винберг 1980
- Панейтц 1983
^
Видеть:
- Хау 1988
- Фолланд 1989
^
Видеть:
- Ольшанский 1981
- Хильгерт и Ниб 1993, стр. 197–199
^ Эрве 1963, стр. 83–84
^ Эрве 1963, стр. 83–84
^
Видеть:
- Лоусон 1998
- Хильгерт и Ниб 1993, стр. 48–56
^
Видеть:
- Лоусон 1998
- Хильгерт и Ниб 1993, стр. 48–56
^ См. Например Сигел 1932, стр. 12, 14–15
^ Мок 1989, стр. 65–71