Метод квантовых характеристик - Википедия - Method of quantum characteristics

Квантовые характеристики - траектории фазового пространства, возникающие в формулировка фазового пространства из квантовая механика сквозь Преобразование Вигнера операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов. Эти траектории подчиняются уравнениям Гамильтона в квантовой форме и играют роль характеристики через которые могут быть выражены зависящие от времени символы квантовых операторов Вейля. в классический предел, квантовые характеристики сводятся к классическим траекториям. Знание квантовых характеристик эквивалентно знанию квантовой динамики.

Правило ассоциации Вейля-Вигнера

В Гамильтонова динамика, классические системы с ${ displaystyle n}$ степени свободы описываются ${ displaystyle 2n}$ канонические координаты и импульсы

{ displaystyle ^ {;} xi ^ {i} = (x ^ {1}, ..., x ^ {n}, p_ {1}, ..., p_ {n}) in mathbb {R} ^ {2n},}

образующие систему координат в фазовом пространстве. Эти переменные удовлетворяют Скобка Пуассона связи

{ displaystyle ^ {;} { xi ^ {k}, xi ^ {l} } = - I ^ {kl}.}

Кососимметричная матрица ${ displaystyle ^ {;} я ^ {kl}}$ ,

{ displaystyle left | I right | = left | { begin {array} {ll} 0 & -E_ {n} E_ {n} & 0 end {array}} right |, }

куда ${ Displaystyle ^ {;} E_ {п}}$ это ${ Displaystyle п раз п}$ единичная матрица, определяет невырожденную 2-форму в фазовом пространстве. При этом фазовое пространство приобретает структуру симплектическое многообразие. Фазовое пространство не является метрическим пространством, поэтому расстояние между двумя точками не определено. Скобку Пуассона двух функций можно интерпретировать как ориентированную область параллелограмма, смежные стороны которого являются градиентами этих функций. Вращения в Евклидово пространство оставьте расстояние между двумя точками неизменным. Канонические преобразования в симплектическом многообразии оставляем площади инвариантными.

В квантовой механике канонические переменные ${ Displaystyle ^ {;} xi}$ связаны с операторами канонических координат и импульсов

{ displaystyle { hat { xi}} ^ {i} = ({ hat {x}} ^ {1}, ..., { hat {x}} ^ {n}, { hat {p }} _ {1}, ..., { hat {p}} _ {n}) in operatorname {Op} (L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})).}

Эти операторы действуют в Гильбертово пространство и подчиняться коммутационным соотношениям

{ displaystyle [{ hat { xi}} ^ {k}, { hat { xi}} ^ {l}] = - я hbar I ^ {kl}.}

Weyl’s правило ассоциации^[1] расширяет переписку ${ displaystyle xi ^ {i} rightarrow { hat { xi}} ^ {i}}$ произвольным функциям и операторам фазового пространства.

Расширение Тейлора

Правило односторонней ассоциации ${ displaystyle f ( xi) к { hat {f}}}$ был сформулирован Вейлем первоначально с помощью Расширение Тейлора функций операторов канонических переменных

{ displaystyle { hat {f}} = f ({ hat { xi}}) Equiv sum _ {s = 0} ^ { infty} { frac {1} {s!}} { гидроразрыв { partial ^ {s} f (0)} { partial xi ^ {i_ {1}} ... partial xi ^ {i_ {s}}}} { hat { xi}} ^ {i_ {1}} ... { hat { xi}} ^ {i_ {s}}.}

Операторы ${ displaystyle { hat { xi}}}$ не коммутируют, поэтому разложение Тейлора не определено однозначно. В приведенном выше рецепте используются симметризованные произведения операторов. Действительные функции соответствуют эрмитовым операторам. Функция ${ Displaystyle ^ {;} е ( xi)}$ называется символом Вейля оператора ${ displaystyle { hat {f}}}$ .

Под обратной связью ${ Displaystyle е ( хи) leftarrow { шляпа {f}}}$ , то матрица плотности обращается к Функция Вигнера.^[2]Функции Вигнера находят множество приложений в квантовой физике многих тел, кинетической теории, теории столкновений, квантовой химии.

Уточненная версия правила ассоциации Вейля-Вигнера предложена Гроенвольдом.^[3] и Стратонович.^[4]

Операторская база

Множество операторов, действующих в гильбертовом пространстве, замкнуто относительно умножения операторов на ${ displaystyle c}$ -числа и суммирование. Такой набор составляет векторное пространство ${ Displaystyle mathbb {V}}$ . Правило ассоциации, сформулированное с использованием разложения Тейлора, сохраняет операции над операторами. Соответствие можно проиллюстрировать следующей схемой:

{ displaystyle left. { begin {array} {c} { begin {array} {c} left. { begin {array} {ccc} f ( xi) & longleftrightarrow & { hat {f }} g ( xi) & longleftrightarrow & { hat {g}} c times f ( xi) & longleftrightarrow & c times { hat {f}} f ( xi) + g ( xi) & longleftrightarrow & { hat {f}} + { hat {g}} end {array}} right } ; { text {vector space}} ; ; mathbb {V} end {array}} { begin {array} {ccc} {f ( xi) star g ( xi)} & { longleftrightarrow} & ; ; {{ hat { f}} { hat {g}}} end {array}} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; end {array}} right } { text {algebra}}}

Здесь, ${ Displaystyle ^ {;} е ( xi)}$ и ${ Displaystyle ^ {;} г ( xi)}$ функции и ${ displaystyle { hat {f}}}$ и ${ displaystyle { hat {g}}}$ являются ассоциированными операторами.

Элементы основы ${ Displaystyle ^ {;} mathbb {V}}$ помечены каноническими переменными ${ Displaystyle ^ {;} xi _ {я}}$ . Обычно используемый базис Греневольда-Стратоновича выглядит как

{ displaystyle { hat {B}} ( xi) = int { frac {d ^ {2n} eta} {(2 pi hbar) ^ {n}}} exp (- { frac {i} { hbar}} eta _ {k} ( xi - { hat { xi}}) ^ {k}) in mathbb {V}.}

Правило двусторонней ассоциации Вейля-Вигнера для функции ${ Displaystyle ^ {;} е ( xi)}$ и оператор ${ displaystyle { hat {f}}}$ имеет форму

{ displaystyle f ( xi) = operatorname {Tr} [{ hat {B}} ( xi) { hat {f}}],}

{ displaystyle { hat {f}} = int { frac {d ^ {2n} xi} {(2 pi hbar) ^ {n}}} f ( xi) { hat {B} } ( xi).}

Функция ${ Displaystyle ^ {;} е ( xi)}$ предоставляет координаты оператора ${ displaystyle { hat {f}}}$ в основе ${ Displaystyle { шляпа {B}} ( xi)}$ . Основание полное и ортогональное:

{ displaystyle int { frac {d ^ {2n} xi} {(2 pi hbar) ^ {n}}} { hat {B}} ( xi) operatorname {Tr} [{ шляпа {B}} ( xi) { hat {f}}] = { hat {f}},}

{ displaystyle operatorname {Tr} [{ hat {B}} ( xi) { hat {B}} ( xi ^ { prime})] = (2 pi hbar) ^ {n} дельта ^ {2n} ( xi - xi ^ { prime}).}

Обсуждаются также альтернативные операторские базы.^[5]Свобода выбора операторного базиса более известна как проблема упорядочения операторов. Координаты траекторий частиц в фазовом пространстве зависят от операторного базиса.

Звездный продукт

Набор операторов ${ displaystyle Op (L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}))}$ замкнуто относительно умножения операторов. Векторное пространство ${ Displaystyle mathbb {V}}$ тем самым наделяется структурой ассоциативной алгебры. Учитывая две функции

{ Displaystyle f ( xi) = Tr [{ hat {B}} ( xi) { hat {f}}] ~~ mathrm {и} ~~ g ( xi) = Tr [{ hat {B}} ( xi) { hat {g}}],}

можно построить третью функцию

{ Displaystyle е ( xi) звезда g ( xi) = Tr [{ hat {B}} ( xi) { hat {f}} { hat {g}}]}

называется ${ displaystyle star}$ -товар.^[3]Это явно задается

{ Displaystyle е ( хи) звезда г ( хи) = е ( хи) ехр ({ гидроразрыва {я hbar} {2}} { mathcal {P}}) г ( хи). }

куда

{ Displaystyle { mathcal {P}} = - {I} ^ {kl} { overleftarrow { frac { partial} { partial xi ^ {k}}}} { overrightarrow { frac { partial } { partial xi ^ {l}}}}}

- оператор Пуассона. В ${ displaystyle star}$ -продукт разбивается на симметричную и кососимметричную части

{ displaystyle f star g = f circ g + { frac {i hbar} {2}} f wedge g.}

В ${ displaystyle circ}$ -продукт не ассоциативен. В классическом пределе ${ displaystyle circ}$ -продукт становится скалярным продуктом. Кососимметричная часть ${ displaystyle f wedge g}$ известен под именем Кронштейн Мойял. ^[6] Это символ коммутатора Вейля. В классическом пределе скобка Мойала становится скобкой Пуассона. Кронштейн Мойял квантовая деформация скобки Пуассона.

Квантовые характеристики

Переписка ${ displaystyle xi leftrightarrow { hat { xi}}}$ показывает, что преобразования координат в фазовом пространстве сопровождаются преобразованиями операторов канонических координат и импульсов и наоборот. Позволять ${ displaystyle mathbf { hat {U}}}$ - оператор эволюции,

{ displaystyle { hat {U}} = exp { Bigl (} - { frac {i} { hbar}} { hat {H}} tau { Bigr)},}

и ${ displaystyle { hat {H}}}$ гамильтоново. Рассмотрим следующую схему:

{ displaystyle xi { stackrel {q} { longrightarrow}} { строго { xi}}}

{ Displaystyle updownarrow ; ; ; ; ; ; updownarrow}

{ displaystyle { hat { xi}} { stackrel { hat {U}} { longrightarrow}} { строго { hat { xi}}},}

Квантовая эволюция преобразует векторы в гильбертовом пространстве и, согласно правилу ассоциации Вигнера, координаты в фазовом пространстве. В Представительство Гейзенберга, операторы канонических переменных преобразуются как

{ displaystyle { hat { xi}} ^ {i} rightarrow { строго {{ hat { xi}} ^ {i}}} = { hat {U}} ^ {+} { hat { xi}} ^ {i} { hat {U}}.}

Координаты фазового пространства ${ Displaystyle { острый { xi}} ^ {я}}$ которые соответствуют новым операторам ${ Displaystyle { строго {{ шляпа { xi}} ^ {i}}}}$ в старом основании ${ Displaystyle { шляпа {B}} ( xi)}$ даны

{ Displaystyle xi ^ {i} rightarrow { строго { xi}} ^ {i} = q ^ {i} ( xi, tau) = Tr [{ hat {B}} ( xi) { hat {U}} ^ {+} { hat { xi}} ^ {i} { hat {U}}],}

с начальными условиями

{ displaystyle ^ {;} q ^ {i} ( xi, 0) = xi ^ {i}.}

Функции ${ Displaystyle ^ {;} д ^ {я} ( хи, тау)}$ определять квантовый фазовый поток. В общем случае он каноничен до первого порядка по ${ Displaystyle тау}$ .^[7]

Звездная функция

Набор операторов канонических переменных является полным в том смысле, что любой оператор может быть представлен как функция операторов ${ displaystyle { hat { xi}}}$ . Трансформации

{ displaystyle { hat {f}} rightarrow { строго { hat {f}}} = { hat {U}} ^ {+} { hat {f}} { hat {U}}}

индуцировать согласно правилу ассоциации Вигнера преобразования функций фазового пространства:

{ Displaystyle е ( xi) { stackrel {q} { longrightarrow}} { строго {f}} ( xi) = Tr [{ hat {B}} ( xi) { hat {U} } ^ {+} { hat {f}} { hat {U}}]}

{ Displaystyle updownarrow ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , updownarrow}

{ displaystyle { hat {f}} ; ; ; ; { stackrel { hat {U}} { longrightarrow}} , { строго { hat {f}}} ; ; ; ; ; = { hat {U}} ^ {+} { hat {f}} { hat {U}}}

Используя разложение Тейлора, преобразование функции ${ Displaystyle ^ {;} е ( xi)}$ при эволюции можно найти

{ Displaystyle е ( xi) rightarrow { строго {f}} ( xi) эквив Тр [{ hat {B}} ( xi) { hat {U ^ {+}}} f ({ hat { xi}}) { hat {U}}] = sum _ {s = 0} ^ { infty} { frac {1} {s!}} { frac { partial ^ {s } f (0)} { partial xi ^ {i_ {1}} ... partial xi ^ {i_ {s}}}} q ^ {i_ {1}} ( xi, tau) звезда ... star q ^ {i_ {s}} ( xi, tau) Equiv f ( star q ( xi, tau)).}

Составная функция, определенная таким образом, называется ${ displaystyle star}$ -функция. Закон композиции отличается от классического. Однако полуклассическое расширение ${ Displaystyle е ( звезда д ( хи, тау))}$ вокруг ${ Displaystyle е (д ( хи, тау)) ^ {;}}$ формально хорошо определен и включает четные степени ${ displaystyle hbar}$ Только. Это уравнение показывает, что при построении квантовых характеристик физические наблюдаемые могут быть найдены без дальнейшего обращения к гамильтониану. Функции ${ Displaystyle ^ {;} д ^ {я} ( хи, тау)}$ играть роль характеристик^[8] аналогично классические характеристики используется для решения классических Уравнение Лиувилля.

Квантовое уравнение Лиувилля

Преобразование Вигнера эволюционного уравнения для матрицы плотности в представлении Шредингера приводит к квантовому уравнению Лиувилля для функции Вигнера. Преобразование Вигнера эволюционного уравнения для операторов в представлении Гейзенберга,

{ displaystyle { frac { partial} { partial tau}} { hat {f}} = - { frac {i} { hbar}} [{ hat {f}}, { hat { ЧАС}}],}

приводит к тому же уравнению с напротив знака (плюс) в правой части:

{ Displaystyle { frac { partial} { partial tau}} е ( xi, tau) = f ( xi, tau) клин H ( xi).}

${ displaystyle star}$ -функция решает это уравнение в терминах квантовых характеристик:

{ Displaystyle е ( хи, тау) = е ( звезда q ( хи, тау), 0).}

Точно так же эволюция функции Вигнера в представлении Шредингера определяется выражением

{ Displaystyle W ( xi, tau) = W ( star q ( xi, - tau), 0).}

В Теорема Лиувилля классической механики не работает до такой степени, что локально плотность «вероятности» в фазовом пространстве не сохраняется во времени.

Квантовые уравнения Гамильтона

Квантовые уравнения Гамильтона можно получить, применяя преобразование Вигнера к уравнениям эволюции операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов.

{ Displaystyle { frac { partial} { partial tau}} q ^ {i} ( xi, tau) = { zeta ^ {i}, H ( zeta) } | _ { zeta = star q ( xi, tau)}.}

Правая часть рассчитывается как в классической механике. Однако составная функция ${ displaystyle star}$ -функция. В ${ displaystyle star}$ -продукт нарушает каноничность фазового потока сверх первого порядка по ${ Displaystyle тау}$ .

Консервация брекета Мойял

Антисимметричные произведения четного числа операторов канонических переменных являются c-числами как следствие коммутационных соотношений. Эти произведения остаются инвариантными с помощью унитарных преобразований и, в частности,

{ Displaystyle д ^ {я} ( хи, тау) клин q ^ {j} ( хи, тау) = хи ^ {я} клин хи ^ {j} = - {I} ^ {ij}.}

Преобразования фазового пространства, индуцированные оператором эволюции, сохраняют скобку Мойала и не сохраняют скобку Пуассона, поэтому отображение эволюции

{ Displaystyle xi rightarrow { строго { xi}} = q ( xi, tau),}

не каноничен.^[8] Свойства преобразования канонических переменных и функций фазового пространства при унитарных преобразованиях в гильбертовом пространстве имеют важные отличия от случая канонических преобразований в фазовом пространстве:

Закон о составе

Квантовые характеристики вряд ли можно визуально рассматривать как траектории движения физических частиц. Причина кроется в законе звездного состава.

{ Displaystyle д ( хи, тау _ {1} + тау _ {2}) = д ( звезда д ( хи, тау _ {1}), тау _ {2}),}

который нелокален и отличается от закона композиции точек классической механики.

Энергосбережение

Сохранение энергии подразумевает

{ Displaystyle Н ( xi) = H ( звезда q ( xi, tau))}

,

куда

{ Displaystyle Н ( xi) = Tr [{ hat {B}} ( xi) { hat {H}}]}

- функция Гамильтона. В обычном геометрическом смысле ${ Displaystyle ^ {;} ЧАС ( XI)}$ не сохраняется по квантовым характеристикам.

Резюме

Происхождение метода характеристик восходит к матричной механике Гейзенберга. Предположим, что мы решили в матричной механике уравнения эволюции операторов канонических координат и импульсов в представлении Гейзенберга. Эти операторы эволюционируют согласно

{ displaystyle { hat { xi}} ^ {i} rightarrow { hat { xi}} ^ {i} ( tau) = { hat {U}} ^ {+} { hat { xi}} ^ {i} { hat {U}}.}

Известно, что для любого оператора ${ displaystyle { hat {f}}}$ можно найти функцию f (ξ), через которую ${ displaystyle { hat {f}}}$ представлен в виде ${ Displaystyle е ({ шляпа { xi}})}$ . Тот же оператор ${ displaystyle { hat {f}}}$ в момент времени τ равно

{ displaystyle { hat {f}} ( tau) = U ^ {+} { hat {f}} U = U ^ {+} f ({ hat { xi}}) U = f (U ^ {+} { hat { xi}} U) = f ({ hat { xi}} ( tau)).}

Это уравнение показывает, что ${ Displaystyle { шляпа { xi}} ( тау)}$ являются характеристиками, определяющими эволюцию всех операторов в Op(L²(р^п)). Это свойство полностью передается фазовому пространству при квантовании деформации и в пределе час → 0, в классическая механика.

**КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА против КВАНТОВОЙ ДИНАМИКИ**
Уравнение Лиувилля
PDE первого порядка	УЧП бесконечного порядка
${ Displaystyle { frac { partial} { partial tau}} rho ( xi, tau) = - { rho ( xi, tau), { mathcal {H}} ( xi ) }}$	${ Displaystyle { гидроразрыва { partial} { partial tau}} W ( xi, tau) = - W ( xi, tau) клин H ( xi)}$
Уравнения Гамильтона
ОДУ конечного порядка	УЧП бесконечного порядка
${ Displaystyle { frac { partial} { partial tau}} c ^ {i} ( xi, tau) = { zeta ^ {i}, { mathcal {H}} ( zeta) } \| _ { zeta = c ( xi, tau)}}$	${ Displaystyle { frac { partial} { partial tau}} q ^ {i} ( xi, tau) = { zeta ^ {i}, H ( zeta) } \| _ { дзета = звезда q ( xi, tau)}}$
Первоначальные условия	Первоначальные условия
${ Displaystyle ^ {;} с ^ {я} ( хи, 0) = хи ^ {я}}$	${ Displaystyle ^ {;} д ^ {я} ( хи, 0) = хи ^ {я}}$
Закон о составе
Точечная композиция	${ displaystyle star}$ -сочинение
${ Displaystyle ^ {;} с ( хи, тау _ {1} + тау _ {2}) = с (с ( хи, тау _ {1}), тау _ {2}) }$	${ Displaystyle д ( хи, тау _ {1} + тау _ {2}) = д ( звезда д ( хи, тау _ {1}), тау _ {2})}$
Инвариантность
Скобка Пуассона	Кронштейн Мойял
${ Displaystyle ^ {;} {c ^ {i} ( xi, tau), c ^ {j} ( xi, tau) } = { xi ^ {i}, xi ^ {j} }}$	${ Displaystyle д ^ {я} ( хи, тау) клин q ^ {j} ( хи, тау) = хи ^ {я} клин хи ^ {j}}$
Энергосбережение
Точечная композиция	${ displaystyle star}$ -сочинение
${ Displaystyle ^ {;} ЧАС ( xi) = H (с ( xi, тау))}$	${ Displaystyle ^ {;} ЧАС ( xi) = H ( звезда q ( xi, tau))}$
Решение уравнения Лиувилля
Точечная композиция	${ displaystyle star}$ -сочинение
${ Displaystyle ^ {;} rho ( xi, tau) = rho (с ( xi, - tau), 0)}$	${ Displaystyle ^ {;} W ( xi, tau) = W ( star q ( xi, - tau), 0)}$

В таблице сравниваются свойства характеристик в классической и квантовой механике. PDE и ODE указывают уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения, соответственно. Квантовое уравнение Лиувилля представляет собой преобразование Вейля-Вигнера эволюционного уравнения фон Неймана для матрицы плотности в Представление Шредингера. Квантовые уравнения Гамильтона представляют собой преобразования Вейля-Вигнера эволюционных уравнений для операторов канонических координат и импульсов в Представительство Гейзенберга.

В классических системах характеристики ${ Displaystyle ^ {;} с ^ {я} ( хи, тау)}$ обычно удовлетворяют ОДУ первого порядка, например, классическим уравнениям Гамильтона, и решают ОДУ первого порядка, например, классическое уравнение Лиувилля. Функции ${ Displaystyle ^ {;} д ^ {я} ( хи, тау)}$ тоже характеристики, несмотря на то, что ${ Displaystyle ^ {;} д ^ {я} ( хи, тау)}$ и ${ Displaystyle ^ {;} е ( хи, тау)}$ подчиняющиеся УЧП бесконечного порядка.

Квантовый фазовый поток содержит всю информацию о квантовой эволюции. Квазиклассическое разложение квантовых характеристик и ${ displaystyle star}$ -функции квантовых характеристик в степенном ряду в ${ displaystyle hbar}$ позволяет вычислять средние значения зависящих от времени физических наблюдаемых путем решения связанной системы ОДУ конечного порядка для траекторий фазового пространства и полей Якоби.^[9]^[10] Порядок системы ОДУ зависит от усечения степенного ряда.Эффект туннелирования непертурбативен в ${ displaystyle hbar}$ и не охвачен расширением. Плотность квантовой вероятностной жидкости не сохраняется в фазовом пространстве, поскольку квантовая жидкость диффундирует. ^[6]Следовательно, квантовые характеристики необходимо отличать от обеих траекторий движения теория де Бройля - Бома ^[11] и траектории метода интегралов по путям в фазовом пространстве для амплитуд ^[12]и функция Вигнера.^[13]^[14] К настоящему времени только несколько квантовых систем решены явно с использованием метода квантовых характеристик.^[15]^[16]

Смотрите также

Учебники

Х. Вейль, Теория групп и квантовая механика, (Dover Publications, New York Inc., 1931).
В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, (2-е изд. Springer-Verlag, New York Inc., 1989).
Карасев М.В. и Маслов В.П., Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. Переводы математических монографий, 119. (Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1993).

[1] Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1Вт. Дои:10.1007 / BF02055756.

[2] Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке за термодинамическое равновесие». Физический обзор. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv ... 40..749Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.40.749. HDL:10338.dmlcz / 141466.

[groenewold-3] а ^б Groenewold, H.J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–460. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.

[4] Стратонович Р. Л., Сов. Phys. ЖЭТФ 4, 891 (1957).

[5] Мехта, К. Л. (1964). "Фазово-пространственная формулировка динамики канонических переменных". Журнал математической физики. 5 (5): 677–686. Bibcode:1964JMP ..... 5..677M. Дои:10.1063/1.1704163.

[moyal-6] а ^б Мойал, Дж. Э. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества. 45 (1): 99–124. Bibcode:1949PCPS ... 45 ... 99M. Дои:10.1017 / S0305004100000487.

[7] П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Первое издание (Oxford: Clarendon Press, 1930).

[mikaf-8] а ^б Криворученко, М. И .; Фесслер, А. (2007). «Символы Вейля операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов как квантовые характеристики». Журнал математической физики. 48 (5): 052107. arXiv:Quant-ph / 0604075. Bibcode:2007JMP .... 48e2107K. Дои:10.1063/1.2735816.

[9] Криворученко, М. И .; Fuchs, C .; Фесслер, А. (2007). «Квазиклассическое разложение квантовых характеристик для задачи потенциального рассеяния многих тел». Annalen der Physik. 519 (9): 587–614. arXiv:ядерный / 0605015. Bibcode:2007AnP ... 519..587K. Дои:10.1002 / andp.200610251.

[10] Максимов, С. (2009). «Об особой картине динамической эволюции нелинейных квантовых систем в фазовом представлении». Physica D. 238 (18): 1937–1950. Bibcode:2009PhyD..238.1937M. Дои:10.1016 / j.physd.2009.07.001.

[11] П. Р. Холланд, Квантовая теория движения: описание причинной интерпретации де Бройля-Бома квантовой механики, (Издательство Кембриджского университета, 1993), ISBN 0-521-35404-8.

[12] Березин, Ф.А. (1980). «Интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве». Успехи СССР.. 23 (11): 763–788. Bibcode:1980СвФУ..23..763Б. Дои:10.1070 / PU1980v023n11ABEH005062.

[13] Маринов, М. С. (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Письма о физике A. 153 (1): 5–11. Bibcode:1991ФЛА..153 .... 5М. Дои:10.1016/0375-9601(91)90352-9.

[14] Вонг, К. Ю. (2003). «Явное решение временной эволюции функции Вигнера». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика. 5 (3): S420 – S428. arXiv:Quant-ph / 0210112. Bibcode:2003JOptB ... 5S.420W. Дои:10.1088/1464-4266/5/3/381.

[15] Браунс, Г. (2013). «Квантовая динамика в фазовом пространстве: Мои траектории 2». Журнал математической физики. 54 (1): 012105. Bibcode:2013JMP .... 54a2105B. Дои:10.1063/1.4773229.

[16] Браунс, Г. (2017). «Квантовая динамика в фазовом пространстве: Мои траектории 3». Журнал математической физики. 58 (6): 062104. Bibcode:2017JMP .... 58f2104B. Дои:10.1063/1.4984592.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]