Родился сериал - Born series

В Родился сериал^[1] представляет собой разложение различных величин рассеяния в квантовой теории рассеяния по степеням потенциала взаимодействия ${ displaystyle V}$ (точнее в степенях ${ displaystyle G_ {0} V,}$ где ${ displaystyle G_ {0}}$ это свободная частица Оператор Грина ). Это тесно связано с Борновское приближение, который является членом первого порядка ряда Борна. Формально серию можно понимать как степенной ряд представляя константа связи путем замены ${ displaystyle V to lambda V}$. Скорость сходимости и радиус схождения серии Борна связаны с собственные значения оператора ${ displaystyle G_ {0} V}$. В общем, первые несколько членов ряда Борна являются хорошим приближением к расширенной величине для "слабого" взаимодействия. ${ displaystyle V}$и большая энергия столкновения.

Ряд Борна для состояний рассеяния

Ряд Борна для состояний рассеяния имеет вид

${ displaystyle | psi rangle = | phi rangle + G_ {0} (E) V | phi rangle + [G_ {0} (E) V] ^ {2} | phi rangle + [ G_ {0} (E) V] ^ {3} | phi rangle + dots}$

Его можно получить, повторяя Уравнение Липпмана – Швингера

${ displaystyle | psi rangle = | phi rangle + G_ {0} (E) V | psi rangle.}$

Обратите внимание, что Оператор Грина ${ displaystyle G_ {0}}$ для свободной частицы может быть запаздывающий / опережающий или оператор стоячей волны для запаздывающей ${ Displaystyle | psi ^ {(+)} rangle}$ продвинутый ${ Displaystyle | psi ^ {(-)} rangle}$ или состояния рассеяния стоячей волны ${ Displaystyle | psi ^ {(P)} rangle}$Первая итерация получается заменой полного решения рассеяния ${ displaystyle | psi rangle}$ с волновой функцией свободной частицы ${ displaystyle | phi rangle}$ в правой части уравнения Липпмана-Швингера и дает первое Борновское приближение Вторая итерация заменяет первое борновское приближение в правой части, и результат называется вторым борновским приближением. Как правило, n-е борновское приближение учитывает n членов ряда. Иногда используется второе борновское приближение, когда первое борновское приближение обращается в нуль, но более высокие члены используются редко. Формально ряд Борна можно суммировать как геометрическая серия со знаменателем, равным оператору ${ displaystyle G_ {0} V}$, дающее формальное решение уравнения Липпмана-Швингера в виде

${ displaystyle | psi rangle = [I-G_ {0} (E) V] ^ {- 1} | phi rangle = [V-VG_ {0} (E) V] ^ {- 1} V | phi rangle.}$

Серия Борна для Т-матрицы

Ряд Борна можно записать и для других величин рассеяния, таких как Т-матрица который тесно связан с амплитуда рассеяния. Итерация Уравнение Липпмана-Швингера для T-матрицы получаем

${ Displaystyle T (E) = V + VG_ {0} (E) V + V [G_ {0} (E) V] ^ {2} + V [G_ {0} (E) V] ^ {3} + точки}$

Для T-матрицы ${ displaystyle G_ {0}}$ означает только отсталый Оператор Грина ${ Displaystyle G_ {0} ^ {(+)} (E)}$. Стоячая волна оператор Грина дал бы K-матрица вместо.

Родилась серия для полного оператора Грина

Уравнение Липпмана-Швингера для Оператор Грина называется резольвентная идентичность,

${ Displaystyle G (E) = G_ {0} (E) + G_ {0} (E) VG (E).}$

Его итерационное решение приводит к ряду Борна для полного оператора Грина ${ Displaystyle G (Е) = (Е-Н + я эпсилон) ^ {- 1}}$

${ Displaystyle G (E) = G_ {0} (E) + G_ {0} (E) VG_ {0} (E) + [G_ {0} (E) V] ^ {2} G_ {0} ( E) + [G_ {0} (E) V] ^ {3} G_ {0} (E) + точки}$

Смотрите также

• Уравнение Липпмана-Швингера
• Квантовая теория рассеяния
• Т-матрица
• Оператор Грина

Список используемой литературы

• Иоахайн, Чарльз Дж. (1983). Квантовая теория столкновений. Северная Голландия. ISBN  978-0-7204-0294-0.
• Тейлор, Джон Р. (1972). Теория рассеяния: квантовая теория нерелятивистских столкновений. Джон Вили. ISBN  978-0-471-84900-1.
• Ньютон, Роджер Г. (2002). Теория рассеяния волн и частиц. Dover Publications, inc. ISBN  978-0-486-42535-1.

использованная литература