Существование Янга – Миллса и разрыв масс - Yang–Mills existence and mass gap

В математическая физика, то Существование Янга – Миллса и проблема массового разрыва является нерешенная проблема и один из семи Задачи Премии тысячелетия определяется Институт математики Клэя, которая предложила за это решение приз в размере 1 000 000 долларов США.

Проблема формулируется следующим образом:^[1]

Существование Янга – Миллса и массовый разрыв. Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса существует на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ и имеет массовую щель Δ> 0. Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые цитируются в Стритер и Вайтман (1964), Остервальдер и Шрадер (1973) и Остервальдер и Шрадер (1975).

В этом заявлении Теория Янга – Миллса это неабелев квантовая теория поля аналогично тому, что лежит в основе Стандартная модель из физика элементарных частиц; ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ является Евклидово 4-мерное пространство; то разрыв в массах Δ - масса наименее массивной частицы, предсказываемая теорией.

Следовательно, победитель должен доказать, что:

• Теория Янга – Миллса существует и удовлетворяет стандарту строгости, характерному для современных математическая физика, особенно конструктивная квантовая теория поля,^[2][3] и
• Масса наименее массивной частицы силового поля, предсказываемой теорией, строго положительна.

Например, в случае G = SU (3) - сильного ядерного взаимодействия - победитель должен доказать, что глюболы имеют нижнюю границу массы и, следовательно, не могут быть произвольно легкими.

Было показано, что проблема теоретического определения наличия или отсутствия щели в спектре в общем случае алгоритмически неразрешима.^[4]

Фон

[...] пока нет математически полного примера квантовая калибровочная теория в четырехмерном пространство-время, ни даже точное определение квантовой калибровочной теории в четырех измерениях. Изменится ли это в 21 веке? Мы надеемся на это!

— Из официального описания проблемы Института Клея Артур Джаффе и Эдвард Виттен.

Проблема требует построения КТП, удовлетворяющей аксиомам Вайтмана и показывающей существование разрыва массы. Обе эти темы описаны в разделах ниже.

Аксиомы Вайтмана

Проблема тысячелетия требует, чтобы предлагаемая теория Янга-Миллса удовлетворяла Аксиомы Вайтмана или аналогичные строгие аксиомы.^[1] Есть четыре аксиомы:

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Квантовая механика описывается согласно фон Нейман; в частности, чистые состояния задаются лучами, т. е. одномерными подпространствами некоторых отделяемый сложный Гильбертово пространство.

Аксиомы Вайтмана требуют, чтобы Группа Пуанкаре действует унитарно на гильбертовом пространстве. Другими словами, у них есть операторы, зависящие от позиции, которые называются квантовые поля которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре.

Группа пространственно-временных переводов коммутативный, поэтому операторы можно одновременно диагонализовать. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженные операторы, ${ displaystyle P_ {0}, P_ {j}}$, j = 1, 2, 3, которые трансформируются под однородной группой как четырехвектор, называемый четырехвектором энергии-импульса.

Вторая часть нулевой аксиомы Вайтмана состоит в том, что представление U(а, А) удовлетворяет спектральному условию - одновременный спектр энергии-импульса содержится в переднем конусе:

${ displaystyle P_ {0} geq 0, dots, P_ {0} ^ {2} -P_ {j} P_ {j} geq 0.}$

Третья часть аксиомы состоит в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия группы Пуанкаре. Это называется вакуумом.

W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)

Для каждой тестовой функции ж, существует набор операторов ${ Displaystyle A_ {1} (е), ldots, A_ {n} (е)}$ которые вместе с сопряженными к ним определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум. Поля А операторно-оценочные умеренные распределения. Гильбертово пространство состояний натянуто на полиномы, действующие в вакууме (условие цикличности).

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны под действием Группа Пуанкаре, и они преобразуются согласно некоторому представлению S Группа Лоренца, или SL (2,C) если спин не целое число:

${ Displaystyle U (a, L) ^ { dagger} A (x) U (a, L) = S (L) A (L ^ {- 1} (x-a)).}$

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если опоры двух полей космический разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.

Цикличность вакуума и уникальность вакуума иногда рассматриваются отдельно. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты - гильбертово пространство состояний натянуто на асимптотические пространства. ${ displaystyle H ^ {in}}$ и ${ displaystyle H ^ {out}}$, оказавшись при столкновении S матрица. Другое важное свойство теории поля: разрыв в массах что не требуется по аксиомам - этот спектр энергии-импульса имеет промежуток между нулем и некоторым положительным числом.

Массовый разрыв

В квантовая теория поля, то разрыв в массах разница в энергии между вакуумом и следующей по величине энергетическое состояние. Энергия вакуума по определению равна нулю, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, то зазор между массами равен массе самой легкой частицы.

Для данного реального поля ${ Displaystyle фи (х)}$, можно сказать, что теория имеет массовую щель, если двухточечная функция имеет свойство

${ displaystyle langle phi (0, t) phi (0,0) rangle sim sum _ {n} A_ {n} exp left (- Delta _ {n} t right)}$

с ${ displaystyle Delta _ {0}> 0}$ наименьшее значение энергии в спектре гамильтониана и, следовательно, массовая щель. Эта величина, которую легко обобщить на другие области, обычно измеряется в расчетах на решетке. Таким образом было доказано, что Теория Янга – Миллса образует массовый разрыв в решетке.^[5][6]

Важность теории Янга – Миллса

Наиболее известные и нетривиальные (т.е. взаимодействующие) квантовые теории поля в 4-х измерениях эффективные теории поля с отрезать шкала. Поскольку бета-функция положительно для большинства моделей, похоже, что большинство таких моделей имеют Полюс Ландау поскольку совсем не ясно, есть ли у них нетривиальные УФ фиксированные точки. Это означает, что если такой QFT хорошо определен на всех уровнях, так как он должен быть удовлетворен аксиомам аксиоматическая квантовая теория поля, он должен быть тривиальным (т.е. теория свободного поля ).

Квантовая теория Янга-Миллса с неабелев группа датчиков и никакие кварки не являются исключением, потому что асимптотическая свобода характеризует эту теорию, имея в виду, что она имеет тривиальный УФ фиксированная точка. Следовательно, это простейшая нетривиальная конструктивная КТП в 4-х измерениях. (QCD это более сложная теория, потому что она включает кварки.)

Удержание кварка

На уровне строгости теоретическая физика, хорошо установлено, что квантовая теория Янга – Миллса для неабелевой Группа Ли демонстрирует свойство, известное как заключение; хотя правильно математическая физика предъявляет более высокие требования к доказательствам. Следствием этого свойства является то, что выше шкала заключения, цветные заряды связаны между собой трубки с хромодинамическим потоком что приводит к линейному потенциалу между зарядами. Следовательно, бесплатная цветная плата и бесплатно глюоны не может существовать. В отсутствие конфайнмента мы ожидаем увидеть безмассовые глюоны, но поскольку они ограничены, все, что мы увидим, это связанные состояния глюонов с нейтральным цветом, называемые глюболы. Если глюболы существуют, они массивны, поэтому ожидается разрыв масс.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Streater, R .; Вайтман, А. (1964). PCT, спин, статистика и все такое. В. А. Бенджамин.
• Osterwalder, K .; Шредер, Р. (1973). «Аксиомы для евклидовых функций Грина». Коммуникации по математической физике. 31 (2): 83–112. Bibcode:1973CMaPh..31 ... 83O. Дои:10.1007 / BF01645738.
• Osterwalder, K .; Шредер, Р. (1975). «Аксиомы для евклидовых функций Грина II». Коммуникации по математической физике. 42 (3): 281–305. Bibcode:1975CMaPh..42..281O. Дои:10.1007 / BF01608978.
• Боголюбов, Н .; Логунов, А .; Оксак; Тодоров, И. (1990). Общие принципы квантовой теории поля. Kluver.
• Строкки, Ф. (1994). Избранные темы общих свойств квантовой теории поля FF. World Scientific.
• Дынин, А. (2014). «Квантовая динамика Янга-Миллса-Вейля в парадигме Шредингера». Российский журнал математической физики. 21 (2): 169–188. Bibcode:2014RJMP ... 21..169D. Дои:10.1134 / S1061920814020046.
• Дынин, А. (2014). «К проблеме массового разрыва Янга-Миллса». Российский журнал математической физики. 21 (3): 326–328. Bibcode:2014RJMP ... 21..326D. Дои:10.1134 / S1061920814030042.
• Bushhorn, G .; Весс, Дж. (2004). Симпозиум, посвященный столетию Гейзенберга, "Развитие современной физики". Springer.

внешняя ссылка

• Проблемы Премии тысячелетия: Янг – Миллс и массовый разрыв